直觀 轉化 通法

孫民政

摘 要 在函數(shù)問題的研究過程中，數(shù)形結合的思想非常重要，這一點大家都有共識，但是實際教學中，如何分析問題，合理轉化，找到這類問題的通性通法是關鍵，本文通過一道正反比例函數(shù)的面積問題對此進行說明。

關鍵詞 數(shù)形結合；轉化；通法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）01-0173-01

隨著現(xiàn)代通訊手段的日益發(fā)達，信息傳播的速度越來越快，信息的保有量也呈幾何級數(shù)的爆發(fā)式增長，在數(shù)學教育領域，各類教輔書、試卷集、練習冊、題庫……可謂題海無涯，無邊無際。作為教師的我們，難道非要把學生帶入題海，才能提高他們的學習成績和數(shù)學能力嗎？答案顯然是否定的。數(shù)學解題不在量多，而在求精，要能啟迪學生思維，探尋數(shù)學的本源，培養(yǎng)分析問題，轉化問題的思維方法，總結歸納解決各類問題的通性通法，做到融會貫通，才是正道。唯有如此，才能真正做到“做一抵十”，才能真正落實“減負增效”的教學要求，才能真正培養(yǎng)出有價值的數(shù)學素養(yǎng)。筆者最近正在教授滬教版八上《正反比例函數(shù)》，接下來就以一道正、反比例函數(shù)應用的面積問題為例，展開分析。

例：如圖，直線 （a>0）與雙曲線 交于兩點，且點A的坐標為（4，2），點B的坐標為（n，-2）。

（1）求a，n的值；（2）若雙曲線 的上點C的縱坐標為8，求△ABC的面積。

解：（1）把A（4，2）代入 ，得 ，

把A（4，2）代入 ，得 ， ，

把B（n，2）代入 ，得n=-4， ，n=-4

（2）∵C的縱坐標為8， ，∴ 即C（1，8）

解答到這里對絕大多數(shù)同學沒有什么困難，用的知識就是簡單的數(shù)形結合和待定系數(shù)法，同學們容易理解，計算也基本沒問題。因為A、B、C三個點都是在象限內，而且△ABC中沒有與坐標軸平行的邊，所以接下來求△ABC的面積不少同學開始一籌莫展了。

筆者接下來引導同學思考，觀察△ABC的形狀象什么三角形？用什么方法可以證明你的猜想呢？這個猜想得證了對求解的結論有幫助嗎？于是有了解法一。

解法一：

， ，

， （兩點之間距離公式）

這種方法雖然是一種特殊方法，但是它的直觀性很強，最容易想到了，這就啟示我們對一些“看起來有點像”的特征，不妨先驗證之，再運用這種特殊性質解決問題，在直角坐標系中，兩點之間距離公式和勾股定理是常用的工具。簡言之，“特殊圖形直觀解”。

倘若圖形的特殊性驗證不出具有什么性質，這類問題又該如何處理呢？接下來看兩種通法——割補法。

解法二：（割法）

如圖2，過C點做X軸的垂線，與直線AB交于點D。

把x=1代入 ，得 ，

一般來說，對于懸空三角形，如果能通過三角形與坐標軸的交點將其分割成兩個三角形，分別求解，那是最好；如果不能，我們常常過三角形的一個頂點做x軸或y軸的垂線，將三角形分割成兩部分，并以分割線為底，兩點橫坐標（或縱坐標）之差為高，分別求解。

解法三：（補法）

如圖3，過A點做x軸的垂線，過B點分別做x軸、y軸的垂線，過C點做y軸的垂線，它們兩兩相交于G、E、F點。

，

這種方法對于坐標系中復雜的三角形、四邊形的面積求解是非?？焖儆行У?，關鍵點在于正確的找到矩形的四個頂點的坐標，并求出相應線段的長度。當然，如果把△ABC的面積看作是梯形BCFG的面積減去△ABG和△ACF的面積之和也是可以的。簡言之，“一般圖形通法解”。

題目是做不完，也講不完的，作為老師，如果我們能夠科學歸納，精講精練，合理變式，通過做一道題，講清一類問題，做一道題，領會一種方法，那何嘗不是教師之幸，學生之福呢？