例談向量高考復(fù)習(xí)中的六種策略

周建平

(浙師大附中(金華二中)　321004)

策略一、“投影”思想

a·b=|a||b|cosθ(其中θ為a與b的夾角)

A．b2-a2B．a(chǎn)2-b2

C．a(chǎn)2+b2D．a(chǎn)b

策略二、“幾何”思想

利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合也是處理向量問題的重要方法，因此要靈活構(gòu)建平面或空間圖形，凸顯向量幾何本色.縱觀歷年向量高考試題，大多數(shù)題目都有一定的幾何背景，這種命題風(fēng)格充分體現(xiàn)了對向量本質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的考查，突出了對考生思維靈活性和空間想象能力的檢測.

例3 (2008年浙江·理9 )已知a、b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是().

解析由(a-c)·(b-c)=0知，向量(a-c)⊥(b-c)，故聯(lián)想到直徑上的圓周角．構(gòu)造圓O，使向量(a-c)和(b-c)的夾角恰為直徑上的圓周角(如圖4).

例4(2010年浙江·理16)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°， 則|α|的取值范圍是____.

策略三、“坐標(biāo)”思想

由于向量既具有代數(shù)的特征，又具有幾何的特征，故很多向量題，通過巧妙建立平面直角系或空間直角坐標(biāo)系，構(gòu)建代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁.坐標(biāo)思想應(yīng)該是處理向量問題的主要方法，只要能夠建立平面直角或空間直角坐標(biāo)系，把點的坐標(biāo)表示出來，則向量的坐標(biāo)就可以求出來，“坐標(biāo)法”是解決向量問題的一條重要途徑，其優(yōu)點是思維方式比較“固定”，學(xué)生容易掌握，關(guān)鍵是合理建立直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確算出關(guān)鍵點的坐標(biāo).為強化學(xué)生的“坐標(biāo)”意識，可以經(jīng)常提醒學(xué)生，當(dāng)用別的方法難以奏效時，不妨用“坐標(biāo)法”來嘗試一下.

A．13 B．15 C．19 D．21

策略四、 “平方”思想

對含有向量關(guān)系的等式兩邊同時進(jìn)行平方，實質(zhì)是把向量問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題 .

例9(2017年浙江·理17)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最大值是.

策略五、“基底”思想

根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)的任一向量p都可以用兩個不共線的向量a、b唯一的線性表示為p=xa+yb(x，y∈R).一般地，常選兩個模長與夾角已知或易求的向量a、b作為基底，從而將其他“未知向量”化為a、b這兩個“已知向量”，從而實現(xiàn)化繁為簡、化零亂為有序.(空間向量基本定理：p=xa+yb+zc(x，y,z∈R)).

A．20B．15C．9D．6

策略六、“極化恒等式”思想

(數(shù)量積等于中線的平方減去底邊一半的平方)如圖10，極化恒等式的幾何意義非常明顯，它將數(shù)量積與三角形法則緊密的聯(lián)系起來.

C．AB=ACD．AC=BC

總之，向量復(fù)習(xí)強調(diào)關(guān)注學(xué)生“六種策略”的培養(yǎng)，有了這“六種策略”，學(xué)生就能形成“向量思想”，能夠在解決實際問題時迅速找到思維的突破口，形成有效的思維.需要指出的是，這“六種策略”對應(yīng)著六種不同的解題方法，每一種方法都有其優(yōu)勢和局限性.學(xué)生在面對具體問題時要能夠迅速作出判斷，選擇“最優(yōu)化”的解題策略.