為論題活動(dòng)的有趣互動(dòng)喝彩*
——一道原創(chuàng)向量題的論題比賽實(shí)錄與思考

☉浙江省鄞州中學(xué) 楊 潔

☉浙江省寧波市教育局教研室 任偉芳

作為教研活動(dòng)的一種創(chuàng)新嘗試，寧波市教育局教研室近日舉行了以“學(xué)科核心素養(yǎng)背景下的新高考研討活動(dòng)”為主題的原創(chuàng)題目論題比賽.相對(duì)于由一個(gè)人展示的說(shuō)題比賽活動(dòng)，論題需要兩位或兩位以上教師共同展示，是說(shuō)題的升級(jí)版，形式新穎，對(duì)教師綜合素質(zhì)要求高.比賽要求參賽教師結(jié)合近年浙江高考的命題特點(diǎn)自主命題，并在命題的基礎(chǔ)上選取一道有意義的原創(chuàng)試題在現(xiàn)場(chǎng)對(duì)題目進(jìn)行有情景的論題展示.每組團(tuán)隊(duì)須在15分鐘內(nèi)完成論題展示.經(jīng)過(guò)層層選撥，最后有七個(gè)隊(duì)進(jìn)入決賽，在決賽現(xiàn)場(chǎng)選手們的論題展示形式豐富多彩，主要有論壇答辯、師生角色答疑、教研沙龍等形式，精彩紛呈的論題情境引起了參會(huì)一線教師的濃厚興趣和陣陣掌聲.筆者所在的組在比賽中別出心裁地以論壇答辯的模式，對(duì)一道原創(chuàng)平面向量題進(jìn)行“編—辯—變”，得到了評(píng)委和與會(huì)教師的一致好評(píng)，最終獲得了一等獎(jiǎng)中的第一名.下面是本組論題的實(shí)錄和比賽后的思考，愿與大家分享.

一、論題比賽現(xiàn)場(chǎng)實(shí)錄

本組參賽選手一共由四位教師組成，展示中所扮演的角色分別是：①論壇主持人：對(duì)論壇節(jié)目進(jìn)行介紹，調(diào)節(jié)現(xiàn)場(chǎng)論題氛圍，促進(jìn)嘉賓之間的交流和內(nèi)容的總結(jié)，由筆者擔(dān)任；②特約嘉賓一：命題專家兼教師，主要從命題角度分析題意和考查目標(biāo)；③特約嘉賓二：一線任課教師，主要分析題目的解法和試題的教學(xué)價(jià)值；④特約嘉賓三：高三學(xué)生代表，代表多數(shù)學(xué)生提出對(duì)試題的質(zhì)疑和做題時(shí)遇到的障礙，由老師扮演，問題來(lái)自該位老師所教班級(jí)學(xué)生做了這道題目后提出問題的大數(shù)據(jù)分析收集.

（一）“編”考題

首先，主持人向與會(huì)老師介紹了“論壇”的參賽形式，并言辭幽默地對(duì)臺(tái)上角色進(jìn)行介紹，調(diào)節(jié)氣氛，進(jìn)入主題.

主持人：尊敬的各位老師大家下午好，本組論題比賽將以“論壇辯題”的形式，以“編—辯—變”為主線展開.今天迎來(lái)了三位嘉賓：一號(hào)嘉賓，命題專家兼教師董老師，高端大氣上檔次；二號(hào)嘉賓，一線任課教師賴?yán)蠋?，低調(diào)奢華有內(nèi)涵；三號(hào)嘉賓，高三學(xué)生代表陳同學(xué)，賣萌嘟嘴剪刀手.

主持人：三位嘉賓，你們好！（相互握手）歡迎來(lái)到論題特約論壇，此次嘉賓給大家?guī)?lái)的是一道原創(chuàng)的平面向量題.

題目 已知向量a，b，滿足a·b=0，且|a-b|=|a-2c|=2，則a·c的范圍是______.

主持人：請(qǐng)問此試題適合考查的對(duì)象是高幾學(xué)生？

嘉賓1：試題適合浙江高三學(xué)生考評(píng)，學(xué)生已完成一輪復(fù)習(xí)，知識(shí)體系已經(jīng)完整，切入點(diǎn)相對(duì)多.嘉賓2：嗯，是的，不過(guò)作為向量壓軸小題，易丟分，對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是很有難度的.

主持人：縱觀浙江高考平面向量客觀題的命題特點(diǎn)，穩(wěn)定中凸顯變化，變化中追求創(chuàng)新，那么請(qǐng)問兩位嘉賓，此命題的命題特色和考查目標(biāo)是什么？

嘉賓1：請(qǐng)看題，此題符合浙江高考命題特點(diǎn)——簡(jiǎn)潔、清晰、明了.

主持人：嗯，確實(shí)是.本題的三維目標(biāo)是什么？

嘉賓1：知識(shí)與技能：掌握向量運(yùn)算的幾何意義，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的綜合應(yīng)用等內(nèi)容；過(guò)程與方法：學(xué)生在自主探究的過(guò)程中，感受數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，提高分析問題和解決問題的能力；情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)生在方法相互探討中，經(jīng)歷成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和探究欲，拓展思維的深刻性和廣闊性.

主持人：本題有哪些命題特色？

嘉賓1：（1）關(guān)注基礎(chǔ)落實(shí).本題在解法中涵蓋了向量的線性運(yùn)算，平面向量的向量數(shù)量積的代數(shù)、幾何意義.題目取材于人教版教材必修4第109頁(yè)的例1，是對(duì)課本例題的深入挖掘.命題追求解法多，入口寬，對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)能力提出了一定的要求，為高三向量復(fù)習(xí)指明了方向.（2）關(guān)注能力提升.波利亞認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是教會(huì)學(xué)生思考，向量問題之所以難，在于學(xué)生在解題思路形成過(guò)程中產(chǎn)生了困惑.而本題的四種解法的教學(xué)能對(duì)向量解題起到舉一反三作用，為學(xué)生形成思路、跳出茫茫題海鋪平了道路.（3）關(guān)注核心素養(yǎng).本題著重考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（二）“辯”思路

此環(huán)節(jié)主持人在論題過(guò)程中對(duì)題目本身提出種種疑問并及時(shí)總結(jié)，三位嘉賓在論思路過(guò)程中重構(gòu)了不同層次學(xué)生的解題思路與解題障礙，通過(guò)相互質(zhì)疑，突出探究過(guò)程，碰撞出思維的火花.這里為體現(xiàn)論的過(guò)程，特選取主要對(duì)話如下.

主持人：各位專家教師和學(xué)生代表，能跟大家分享下學(xué)生的答題情況嗎？

嘉賓2：（思路1）從學(xué)生做題情況來(lái)看，學(xué)生主要會(huì)從向量運(yùn)算的幾何意義去考慮問題：

令a，b，c向量公共起點(diǎn)O，由向量垂直和向量減法運(yùn)算的幾何意義可知，O在以AB為直徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，2c的終點(diǎn)C2在以A為圓心，2為半徑的大圓上運(yùn)動(dòng).

圖1

先讓C2在半徑為2的大圓上動(dòng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)—同向時(shí)，取到最大值；再讓O在半徑為1的小圓上動(dòng)（如圖2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到B時(shí)取到最大值為取到最小值時(shí)，必定有反向.又因?yàn)閨=2，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)O在的中點(diǎn)時(shí)，

圖2

主持人：感謝這位嘉賓，剛從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)和幾何變化角度進(jìn)行分享，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng).那么這位學(xué)生嘉賓，請(qǐng)問你有什么疑問嗎？

嘉賓3：（思路2）由垂直關(guān)系自然嘗試建系、設(shè)點(diǎn).如圖3所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系

圖3

設(shè)A（a，0），B（0，b），C2（a+2cosθ，2sinθ），

因?yàn)閍2+b2=4，

所以a∈［-2，2］，cosθ∈［-1，1］.

那么，數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a，cosθ的二元函數(shù)最值問題，之后就會(huì)遇到困難……

經(jīng)過(guò)討論，然后如下解決了（學(xué)生代表表現(xiàn)靈光一現(xiàn)狀）

嘉賓1：（思路3）不錯(cuò)，這位學(xué)生嘉賓，看到這個(gè)函數(shù)還可以脫離圖形，直接利用已知向量形式對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而問題轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)最值問題.

2a·c=［a-（a-2c）］·a=|a|2-2|a|cosθ，θ表示a-2c與a的夾角，下同上.

主持人：真好，向量不愧是集幾何形式和代數(shù)形式于一身，不僅能從幾何角度去思考，還能很好地用代數(shù)方法解決，這里綜合考查了學(xué)生的化歸能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

嘉賓2：（思路4）等等，主持人，說(shuō)起代數(shù)角度，學(xué)生最容易做的嘗試應(yīng)該是對(duì)等式兩邊進(jìn)行平方.|a-2c|2=|a|2+4|c|2-4|a||c|cosφ=4.

嘉賓3：是呀，但是平方后處理不下去了……（賣萌，苦思冥想狀）

嘉賓2：考慮到|a|∈［0，2］，故嘗試以|a|為主元進(jìn)行配方，再想辦法得到a·c的范圍，如下.|a-2c|2=（|a|-2|c|cosφ）2+（2|c|sinφ）2=4，得-2≤|a|-2|c|cosφ≤2，兩邊同乘|a|可得，-2|a|≤|a|2-2a·c≤2|a|. 整理后，2a·c≥|a|2-2|a|≥

主持人：是的，兩邊平方法在各類向量題中也經(jīng)常出現(xiàn)，具有較廣的教學(xué)意義，平方后的處理因題而異，能對(duì)不同層次的學(xué)生思維進(jìn)行提升和拓展.

（三）“變”推廣

此環(huán)節(jié)中一位嘉賓提出變式，其他嘉賓質(zhì)疑變式來(lái)源以及變式的教學(xué)意義.

推廣1：從題目本身角度進(jìn)行變式.下面變式分別從改變題目中的條件（系數(shù)或夾角），改變所求的目標(biāo)，條件與結(jié)論互換角度進(jìn)行了題目的變式.

變式1：已知向量a，b，滿足a·b=0，且|a-b|=|a-4c|=2，則a·c的范圍是______.

變式2：已知向量的a，b，夾角為60°，且|a-b|=|a-2c|=2，則a·c的范圍是______.

變式3：已知向量a，b，滿足a·b=0，且|a-b|=|a-2c|=2，則b·c的范圍是______.

變式4：已知a，b，滿足a·b=0，且|a-b|=|a-2c|=k，若a·c∈［-2，6］恒成立，則k的范圍是______.

推廣2：從解法模型角度進(jìn)行研究：

本題在解法中體現(xiàn)了二元函數(shù)最值問題的求法，這在近年高考與模擬題中也有所體現(xiàn).

可以發(fā)現(xiàn)，近年來(lái)與此相關(guān)的試題有很多，其具有很廣的教學(xué)價(jià)值，教師在教學(xué)中可以加以滲透.在此環(huán)節(jié)中現(xiàn)場(chǎng)PPT展示了若干相類似的高考真題和模擬題.

回顧現(xiàn)場(chǎng)，參賽教師整個(gè)過(guò)程語(yǔ)言幽默，輕松愉快，邏輯清晰，重點(diǎn)突出，精彩地完成了論題過(guò)程，贏得與會(huì)老師的陣陣掌聲.

二、對(duì)論題比賽價(jià)值的思考

相對(duì)于說(shuō)題，論題比賽不僅在形式上更加新穎活潑，在內(nèi)容上所強(qiáng)調(diào)的點(diǎn)也有所不同.筆者結(jié)合此次論題比賽的親身經(jīng)歷，對(duì)論題活動(dòng)的價(jià)值進(jìn)行以下思考.

（一）論題有說(shuō)題優(yōu)點(diǎn)并且有趣、有情境

論題與說(shuō)題類似，教師在論題前也需要進(jìn)行的一系列準(zhǔn)備工作，如查閱資料、理論學(xué)習(xí)、考試題研究等，這都有利于提高教師命題、解題水平，有利于提升教師的教研水平.在現(xiàn)場(chǎng)論題展示活動(dòng)中，教師同樣展示了自身教育理論功底、學(xué)科知識(shí)掌握程度、解題方法理解能力、對(duì)教學(xué)前瞻性理念的探求.論題是說(shuō)題的升級(jí)版，是一種新的教研模式嘗試，由多位教師合作參與，即重視多種不同解法的闡述，同時(shí)突出不同角度思維的探究過(guò)程，不但能在豐富有趣的情境中提升教師專業(yè)水平，論題中不同角色的扮演還能促進(jìn)在課堂中自然順暢地落實(shí)核心素養(yǎng).

（二）論題凸顯了探究過(guò)程有利于思維在碰撞中升華

相對(duì)于說(shuō)題只需要由一人講座，論題比賽的現(xiàn)場(chǎng)需要由多人一起展示.問題的切入點(diǎn)不同必然呈現(xiàn)出不同的解題思路，論題中不僅要像說(shuō)題那樣說(shuō)出各種解題方法，還需要在多人互動(dòng)合作中道明各種方法的來(lái)源和探究的過(guò)程.以本組現(xiàn)場(chǎng)論題比賽展示的第二個(gè)環(huán)節(jié)“論思路”為例，不同嘉賓之間的相互提問和相互補(bǔ)充過(guò)程不僅清晰地道出了題目的題意、目標(biāo)、一題多解，更重要的是重構(gòu)了不同解題思路的來(lái)源和解題障礙.論的過(guò)程即是探究過(guò)程的再現(xiàn)，非常有利于理順解題的思路來(lái)源，深層次揭示求解數(shù)學(xué)題的思維過(guò)程和題后的隱形問題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于思維在交流碰撞中產(chǎn)生火花.

（三）論題引導(dǎo)教師換位思考，提高試題教學(xué)價(jià)值

論題現(xiàn)場(chǎng)中的不同角色，命題者或教師或?qū)W生等，對(duì)話中能生動(dòng)清晰地反映不同角度的思考過(guò)程，暴露對(duì)題目的不同理解，給與會(huì)教師一種身臨其境，真正走入題中的真實(shí)感.參賽教師要做好角色轉(zhuǎn)變，在論題前需要深入了解所扮演的角色的思維習(xí)慣和思考方向.以文中論壇出現(xiàn)的角色——三位嘉賓（命題專家、專業(yè)教師、學(xué)生代表）為例，賽前幾位教師做了如下工作：嘉賓之命題專家需要研讀考綱，針對(duì)高考中平面向量的高頻考點(diǎn)命制試題，明確命題目標(biāo)、命題意圖；嘉賓之專業(yè)教師需要根據(jù)學(xué)情對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)，研究試題的變式和教學(xué)價(jià)值；嘉賓之學(xué)生代表需要融入學(xué)生之中，了解學(xué)生的各種解題方向以及每個(gè)方向中可能出現(xiàn)的不同障礙，分析錯(cuò)解形成的原因等.當(dāng)然，這幾方面的準(zhǔn)備由整組幾位參賽教師合作參與.對(duì)于論題者，參賽教師不僅提高了自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的熟練程度，還引導(dǎo)其在備課中換位思考，多角度分析，加強(qiáng)了對(duì)學(xué)情及最新高考命題動(dòng)態(tài)和趨勢(shì)的洞察力.對(duì)于聽者，在生動(dòng)的對(duì)話展示中不易產(chǎn)生聽覺疲憊，能更容易抓住題目的核心價(jià)值，得到理論滋養(yǎng)和案例示范兩方面的收益.最后結(jié)合評(píng)題教師的專業(yè)反饋，集體的智慧得以充分發(fā)揮，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的效果.

（四）論題能研討課堂預(yù)設(shè)，促進(jìn)教學(xué)互動(dòng)

年輕教師在教學(xué)中容易發(fā)生教學(xué)條理不清晰，教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)挖掘不深刻，內(nèi)容和內(nèi)容之間的聯(lián)系剖析不透徹，教學(xué)重點(diǎn)抓不準(zhǔn)，教學(xué)節(jié)奏控制不住，課堂中的即時(shí)教學(xué)機(jī)會(huì)抓不住，教學(xué)引導(dǎo)不到位而造成的教學(xué)超時(shí)或教學(xué)縮水等情況.筆者認(rèn)為，這是由于教師在備課過(guò)程中缺少課堂預(yù)設(shè)造成的，這預(yù)設(shè)中包括對(duì)不同學(xué)生解題方法、思維障礙的預(yù)設(shè)，缺少這方面的預(yù)設(shè)，課堂中就容易出現(xiàn)學(xué)生理解不是很透徹，或講了但選擇的方法不夠自然，導(dǎo)致學(xué)生不易掌握的現(xiàn)象.在此次論題展示中，嘉賓學(xué)生代表的語(yǔ)言和肢體動(dòng)作的表現(xiàn)，如苦思冥想狀，赤裸裸地將學(xué)生可能出現(xiàn)的最大解題障礙暴露出來(lái)，引起了大家對(duì)問題的關(guān)注.經(jīng)常參與這樣生動(dòng)的論題，教師必然更容易發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維障礙，設(shè)身處地地去從學(xué)生的角度思考問題.在課堂教學(xué)中，教師也就能更好地實(shí)現(xiàn)與學(xué)生的思維碰撞，產(chǎn)生有效的互動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生敢于對(duì)問題加以探索和創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生潛能，最終促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.

總之，本次在創(chuàng)新命題基礎(chǔ)上舉行的論題活動(dòng)的嘗試給教師教研活動(dòng)帶來(lái)了一個(gè)全新的視角，有利于教師專業(yè)化素養(yǎng)發(fā)展.通過(guò)創(chuàng)新命題，選取有價(jià)值的題目，以論題的形式予以互動(dòng)和交流，這樣既提高了教師對(duì)有價(jià)值試題的探究能力，使得命題水平得到進(jìn)一步的提升，也大大提高了教師在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維能力培育，使得教學(xué)更加有效.論題為學(xué)科的教研活動(dòng)提供了一種實(shí)用有效的創(chuàng)新模式，可以在備課組、教研組、區(qū)市這幾個(gè)層面開展論題教研活動(dòng)，精彩的論題比賽定會(huì)獲得更多一線老師的喝彩.