遼寧

鄭 金

在解答某些有關(guān)磁場及電磁感應(yīng)的問題時(shí)，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解法，通過對常見的易錯(cuò)問題進(jìn)行分類解答和辨析，查找原因或歸納知識點(diǎn)，有助于對知識的確切理解和靈活運(yùn)用，以防患于未然。下面從六個(gè)方面進(jìn)行舉例分析。

一、有關(guān)電荷量的計(jì)算

【例1】如圖1所示，勻強(qiáng)磁場沿水平方向，其理想邊界水平，豎直寬度為L=0.1 m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1.0 T。有一質(zhì)量為m=0.1 kg、邊長為L=0.1 m、總電阻為R=0.02 Ω 的正方形金屬線框abcd，其下邊到磁場的上邊界距離為h=0.2 m。在線框由靜止開始自由下落的過程中，其平面始終在豎直平面內(nèi)并與磁場方向垂直，ab邊始終保持水平。取g=10 m/s2。求線框在穿越磁場的全過程中通過頂點(diǎn)a的電荷量。

【錯(cuò)解】線框的ab邊進(jìn)入磁場時(shí)的速度為

產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E=BLv=0.2 V

【辨析】由于沒有考慮電流方向的變化而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。線框的兩邊先后切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向相反，則對先后通過頂點(diǎn)a的電荷量取值應(yīng)考慮正負(fù)號，可知在全過程中通過a點(diǎn)的電荷量為零。

【另解】在線框穿越磁場的整個(gè)過程中，穿過線框的磁通量開始時(shí)為零，最后還為零，所以磁通量的變化量為零，可知感應(yīng)電動(dòng)勢的平均值為零，則感應(yīng)電流為零，因此電荷量為零。

【小結(jié)】在計(jì)算一段時(shí)間內(nèi)通過同一電路的電荷量時(shí)要考慮不同時(shí)間段的電流方向的變化，由此考慮到電荷量取值的正負(fù)。如果在不同時(shí)間段通過同一個(gè)導(dǎo)體中的電流方向相反，則應(yīng)對反向電流的大小取負(fù)值。對于大小或方向變化的電流，在求電荷量時(shí)要用電流的平均值。求電荷量還可利用i-t圖象，圖象與坐標(biāo)軸圍成的幾何圖形的面積表示電荷量。例如，對于正弦式交變電流，在一個(gè)周期內(nèi)i-t圖象面積的代數(shù)和為零，所以通過線圈的電荷量為零。

二、有關(guān)磁通量的計(jì)算

【例2】如圖2所示，在同一平面上放有兩個(gè)同心導(dǎo)體圓環(huán)A、B，在下列情形中，關(guān)于磁通量的說法哪些是正確的 ( )

A.若給A通入逐漸增大的電流，則穿過B的磁通量減小

B.若給B通入逐漸減小的電流，則穿過A的磁通量減小

C.若給A通入恒流并增大B的面積，則穿過B的磁通量減小

D.若給B通入恒流并增大A的面積，則穿過A的磁通量減小

【解析】假設(shè)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針，當(dāng)給A環(huán)通電流時(shí)，穿過B環(huán)的磁感線方向只有向外的，若電流增大，則穿過B環(huán)的磁通量增大，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。若A環(huán)中的電流恒定，且B環(huán)的面積增大，則穿過B環(huán)的磁通量也增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。當(dāng)給B環(huán)通電流時(shí)，穿過A環(huán)的磁感線既有向外的，也有向里的。若B環(huán)中的電流減小，則穿過A環(huán)的磁通量減小，故選項(xiàng)B正確。若B環(huán)中的電流恒定，由通電圓環(huán)磁感線的形狀特點(diǎn)可知，內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度大于外部磁感應(yīng)強(qiáng)度，則內(nèi)部磁感線條數(shù)大于外部磁感線條數(shù)，因此若A環(huán)的面積增大，則相互抵消的磁感線條數(shù)增多，那么穿過A環(huán)的磁通量減小，故選項(xiàng)D正確。

【拓展1】若給B環(huán)通入逐漸變化的電流，A環(huán)產(chǎn)生逆時(shí)針的電流，而且具有擴(kuò)張趨勢，那么B環(huán)中的電流是 ( )

A.順時(shí)針增大的電流 B.順時(shí)針減小的電流

C.逆時(shí)針增大的電流 D.逆時(shí)針減小的電流

【解析】由于A環(huán)具有擴(kuò)張趨勢，即欲減少磁通量，表明原來的磁通量是增大的，因此B環(huán)中的電流是增大的；為了減少磁通量，那么A環(huán)產(chǎn)生電流的磁場方向與原來的方向相反，因此是順時(shí)針方向的電流，故選項(xiàng)A正確。還有一種解法，根據(jù)同向電流相吸，異向電流相斥可知，為了減少磁通量，二者電流方向相反，因此B環(huán)中的電流沿順時(shí)針方向，再根據(jù)“增反減同”的規(guī)律可知原來B環(huán)中的電流是增大的。

【拓展2】若給B環(huán)通入順時(shí)針減小的電流，則A環(huán)有收縮趨勢還是擴(kuò)張趨勢？兩個(gè)圓環(huán)中的電流方向關(guān)系如何？

【解析】為了阻礙磁通量減少，A環(huán)有收縮趨勢，這是因?yàn)椋珺環(huán)產(chǎn)生的磁感線在B環(huán)內(nèi)外的方向相反，A環(huán)的面積越小，則抵消的磁感線越少，磁通量就越大。為了阻礙磁通量減少，二者電流方向相同。

【易錯(cuò)點(diǎn)】對于這類問題，如果不考慮磁感線的方向而根據(jù)磁通量公式Φ=BS盲目地認(rèn)為面積越大磁通量就越大，面積越小磁通量就越小，將得到錯(cuò)誤結(jié)果。

【小結(jié)】對于通電圓環(huán)或一定長度的通電螺線管，內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度大于外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度，則內(nèi)部的磁感線條數(shù)大于外部的磁感線條數(shù)。由于磁感線有一部分是閉合的曲線，則內(nèi)部與外部的磁場穿過某一橫截面的方向相反，那么磁通量可以相互抵消一部分。或者說，穿過某個(gè)面積的磁通量等于兩部分磁通量的代數(shù)和。雖然磁通量是標(biāo)量，但要注意磁通量取值的正負(fù)。

三、有關(guān)磁通量變化量的計(jì)算

【例3】如圖3所示為小型旋轉(zhuǎn)電樞式交流發(fā)電機(jī)的原理圖，矩形線圈的匝數(shù)為N，面積為S，其電阻、電感均不計(jì)，外電路接有電阻R。若線圈以角速度ω在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中繞軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，從圖示位置開始計(jì)時(shí)，則下列說法正確的是 ( )

A.位于中性面時(shí)穿過線圈的磁通量為NBS

B.位于中性面時(shí)穿過線圈的磁通量變化率為0

C.經(jīng)歷半個(gè)周期時(shí)穿過線圈的磁通量變化量為BS

D.經(jīng)歷一個(gè)周期時(shí)通過線圈的電荷量為0

【解析】當(dāng)線圈位于中性面時(shí)，磁場方向與線圈平面垂直，則穿過線圈的磁通量最大，大小為BS，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。此時(shí)線圈不切割磁感線，則感應(yīng)電動(dòng)勢瞬時(shí)值為零，因此磁通量的變化率為零，選項(xiàng)B正確。在半個(gè)周期內(nèi)，線圈平面轉(zhuǎn)過180°，開始時(shí)磁通量的大小為Φ1=BS，最后磁通量的大小仍為BS，考慮到是從平面的另一側(cè)穿過，則此時(shí)磁通量為Φ2=-BS，因此在半個(gè)周期內(nèi)的磁通量的變化量為2BS，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。對于正弦交流電，在一個(gè)周期內(nèi)電流的平均值為零，則通過R的電荷量為0，選項(xiàng)D正確?；蛘哒f，剛開始時(shí)磁通量大小為Φ1=BS，經(jīng)歷一個(gè)周期，磁通量大小仍為BS，而且從線圈的同一側(cè)穿過，因此磁通量的變化量為零，則感應(yīng)電動(dòng)勢的平均值為0，所以通過R的電荷量為0。

【易錯(cuò)點(diǎn)】如果認(rèn)為穿過線圈的磁通量與線圈的匝數(shù)有關(guān)，或者忽視磁通量穿過平面時(shí)的方向，都將得到錯(cuò)誤結(jié)果。

【小結(jié)】由于磁通量具有方向性，所以要明確磁感線是從平面的哪一側(cè)穿過的?；蛘哒f，分別從某平面兩側(cè)穿過時(shí)，磁通量的方向是相反的，因此對應(yīng)磁通量的取值有正負(fù)之分。對于整個(gè)過程，磁通量的變化量只與初、末狀態(tài)的磁通量有關(guān)，而與中間過程無關(guān)，與運(yùn)動(dòng)形式也無關(guān)。

四、有關(guān)公式的應(yīng)用

【例4】如圖4所示，足夠長的兩個(gè)光滑導(dǎo)軌水平放置，間距為L，左端用電阻不計(jì)的導(dǎo)體bc相連，金屬桿ef可以在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌單位長度的電阻為r0。整個(gè)裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增加且B=kt，其中k為常數(shù)。若金屬桿ef在水平外力的作用下，以速度v沿導(dǎo)軌向右做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=0時(shí)，ef與bc相距非常近，求在時(shí)間t0內(nèi)通過金屬桿的電荷量。

【錯(cuò)解】在t時(shí)刻的磁通量為

Φ=BS=kt·Lvt=kLvt2

則在t0時(shí)間內(nèi)磁通量的變化量為

在t0時(shí)刻回路的電阻為R=2r0vt0

【解析】在t時(shí)刻的磁通量為

ΔΦ=BS=kt·Lvt=kLvt2

此時(shí)回路的電阻為R=2r0vt0

由于電流強(qiáng)度恒定，所以在時(shí)間t0內(nèi)通過金屬桿的電荷量為

五、有關(guān)歐姆定律的應(yīng)用

【例5】如圖5所示，在跟勻強(qiáng)磁場垂直的平面內(nèi)放置一個(gè)折成α角的裸導(dǎo)線MON，在其上面放置另一根與ON垂直的裸導(dǎo)線PQ，PQ緊貼MO、ON，并以平行于ON的速度v，從頂角O開始向右勻速滑動(dòng)。設(shè)裸導(dǎo)線單位長度的電阻為R0，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，求回路中的感應(yīng)電流的大小。

【解法1】設(shè)PQ從頂角O開始向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Δt，則

【解法2】回路中的電動(dòng)勢為

E=Blv=B·ab·v=Bv2tanα·Δt

【辨析】兩種解法所得結(jié)果不同，原因是在應(yīng)用歐姆定律時(shí)，電動(dòng)勢與電阻的取值性質(zhì)不對應(yīng)。在解法1中，電動(dòng)勢為平均值，電阻為瞬時(shí)值，因此是錯(cuò)誤的。在解法2中，電動(dòng)勢和電阻都是瞬時(shí)值，因此是正確的。

【小結(jié)】在應(yīng)用歐姆定律求感應(yīng)電流時(shí)，要注意物理量的統(tǒng)一性，不能混雜。即對直流電而言，三個(gè)量都為平均值或都為瞬時(shí)值。對交流電而言，若為純電阻電路，則物理量同為最大值、有效值或瞬時(shí)值；若為非純電阻電路，則不能同為瞬時(shí)值，因?yàn)橛袝r(shí)電流與電壓存在相位差。

六、有關(guān)楞次定律的應(yīng)用

【例6】如圖6所示，在水平面上有一個(gè)圓形導(dǎo)體環(huán)，在其內(nèi)部的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，其方向垂直于水平面向里，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增大時(shí)，則下列判斷正確的是 ( )

A.導(dǎo)體環(huán)上無感應(yīng)電流，也無擴(kuò)張的趨勢

B.導(dǎo)體環(huán)上有感應(yīng)電流，但無收縮的趨勢

C.導(dǎo)體環(huán)上有感應(yīng)電流，也有擴(kuò)張的趨勢

D.導(dǎo)體環(huán)上有感應(yīng)電流，也有收縮的趨勢

【錯(cuò)解】當(dāng)圓形磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度增大時(shí)，圓形導(dǎo)體環(huán)的磁通量增加，產(chǎn)生感應(yīng)電流，由楞次定律可知，感應(yīng)電流的方向沿逆時(shí)針方向。另一方面，利用楞次定律的等效形式可知，為了阻礙磁通量的增加，導(dǎo)體環(huán)有收縮的趨勢以使其面積減小，故選項(xiàng)D正確。

【辨析】雖然圓形導(dǎo)體環(huán)中有感應(yīng)電流，但導(dǎo)體環(huán)所處的位置沒有磁場，因此不能受到安培力的作用，則沒有收縮趨勢。再者，即使圓環(huán)面積略微變小了，但其面積仍然大于磁場的橫截面，則磁通量不變。

【另解】由于磁通量增大，則圓環(huán)產(chǎn)生感應(yīng)電流的磁場方向與原來磁場的方向相反，因此感應(yīng)電流的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向?；蛘哒f，變化的磁場在其周圍產(chǎn)生感生電場，電場線為系列同心圓，沿逆時(shí)針方向，由于線圈導(dǎo)體位于電場中，則其自由電荷受到電場力的作用，發(fā)生定向移動(dòng)，在線圈中形成電流，沿逆時(shí)針方向。由于整個(gè)通電線圈在電場中不會受到電場力的作用，則沒有收縮或擴(kuò)張的趨勢，故選項(xiàng)B正確。

【小結(jié)】這類問題既可應(yīng)用麥克斯韋的電磁場理論解答，也可應(yīng)用原始的楞次定律進(jìn)行解答，但不能利用楞次定律的等效形式來解答。在利用楞次定律的等效形式解題時(shí)，要注意線圈是否位于磁場中，若在磁場之外，則不受安培力的作用。若線圈在電場中，也不受電場力的作用。