寧曉琳

（山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 山西 運城 044004）

漸近線與漸近面[1]是高等數(shù)學(xué)的一個重要概念，二次曲線的漸近線對于確定曲線的走向有非常重要的意義。如果一條曲線的漸近線存在，求出該曲線的漸近線就能知道曲線無線延伸時的變化趨勢，進而可以更加全面和細致地研究曲線的形態(tài)。對于二次曲面的漸近面是同樣的道理。本文探討二次曲線的漸近線與二次曲面的漸近面的求法時,涉及到很多知識，其中提出了利用極限來解決幾何問題的基本思路。[2]極限思想是一種重要的幾何思想,應(yīng)用極限思想探索解題方法,是數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)思想和策略原則之一。同時，本文探討了共焦二次曲面，給出了共焦二次曲面的定義和基本定理，并證明了該定理。

一、二次曲線的漸近線的求法

（一）中心坐標(biāo)法

定理1二次曲線的方程如果能表示為（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）+k=0（a1：a2≠b1：b2）的形式，那么該二次曲線必定有漸近線，并且它的漸近線方程為[3]

例1求二次曲線3x2-2xy-y2+3x+y+1=0的漸近線。

分析：第一步，判斷題目中給出的二次曲線方程是否能表示為（a1x+b1y+c1）·（a2x+b2y+c2）+k=0 的形式。第二步，若能化為上述形式，則判斷所得兩條直線是否相交。第三步，若兩直線相交，即（a1：a2≠b1：b2），那么即為兩條漸近線的方程。3x2-2xy-y2+3x+y+1=（3x+y）（x-y+1）+1 所以，原二次曲線化為（3x+y）（x-y+1）=0。因為 3x+y=0與 x-y+1=0是兩條相交直線，所以，二次曲線3x2-2xy-y2+3x+y-1=0的兩條漸近線的方程分別為：3x+y=0與x-y+1=0。

（二）不變量法

任何一個二次曲線的方程總可以應(yīng)用其三個不變量I1，I2，I3與一個半不變量k1來化簡。

定義1 二次曲線在任意給定的直角坐標(biāo)系中的方程為

由F（x，y）的系數(shù)組成的一個非常數(shù)函數(shù)f，如果經(jīng)過直角坐標(biāo)變換

F（x，y）變 為 F（x1，y1）時 ，有那么這個函數(shù) f叫做二次曲線①在直角坐標(biāo)變換②下的不變量。

例2 求二次曲線3x2-2xy-y2+3x+y+1=0的漸近線。

分析：第一步，寫出題目中二次曲線在直角坐標(biāo)變換下的不變量I2，并判斷它是否為0；第二步，若滿足I2≠0則寫出I3；第三步，根據(jù)漸近線公式求得。

解 先求出不變量I2=-4 I3=-4所以根據(jù)公式得到，所以二次曲線的兩條漸近線分別為：3x+y=0與x－y+1=0。

（三）直徑法

定義2 二次曲線的平行弦的中點的軌跡叫做這個二次曲線的直徑，它所對應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦，直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑。[5]

定義3 我們把二次曲線與非漸近方向X：Y共軛的直徑方向 X′：Y′=－（a12X+a22Y）：（a11X+a12Y）叫做非漸近方向X：Y的共軛方向。

定理3 漸近線是二次曲線上的直徑，它可以看成是與自己共軛的直徑。二次曲線漸近線的方程可以寫成XF1（x，y）+YF2（x，y）=0（其中X：Y是二次曲線的漸近方向）。

例3 求二次曲線F（x，y）=2x2-5xy+2y2+2x+2y=0的漸近線。

因為 Φ（l，m）=2l2-5lm+2m2=0，所以得到 l1:m1=1:2，l2:m2=2:1分別代入直徑方程得二次曲線的漸近線

二、二次曲面的漸近面的求法

（一）定義法求二次曲面的漸近面

根據(jù)二次曲面的漸近方向的定義知道，如果給定二次曲面

那么當(dāng)方向X：Y：Z為二次曲面①的非漸近方向時，直線②與曲面①總有兩個交點。

當(dāng)X：Y：Z為二次曲面①的漸近方向時，直線②與曲面①或者只有一交點，或者沒有交點，或者整條直線在曲面上。

現(xiàn)在我們考慮通過任意給定的點（x0，y0，z0）且以曲面①的任意漸近方向X：Y：Z滿足條件Φ（x-x0，y－y0，z－z0）=0，所以過點（x0，y0，z0）且以漸近方向X：Y：Z為方向的一切直線上的點的軌跡是Φ（x-x0，y－y0，z－z0）=0。

即a11（x－x0）2+a22（y－y0）2+a33（z－z0）2+2a12（x－x0）（y-y0）+2a13（x-x0）（z－z0）+2a23（y－y0）（z－z0）=0

這是一個關(guān)于 x－x0，y－y0，z－z0的二次齊次方程，所以它是一個以（x0，y0，z0）為頂點的錐面，錐面上每一條母線的方向，都是二次曲面的漸近方向。

（二）中心法求雙曲面的漸近錐面

假設(shè)雙曲面的一般方程是

假設(shè)雙曲面的中心是p0（x0，y0，z0），那么雙曲面F的中心方程組就是：

定理4 雙曲面F的漸近錐面方程是：

這里p0（x0，y0，z0）是雙曲面F的中心。

證明 因為雙曲面①和漸近錐面③有一樣的二次項系數(shù)與一次項系數(shù)，所以由②可以知道，雙曲面①和漸近錐面③有相同的中心p0（x0，y0，z0）。

用②化簡，①和③將分別變成以下形式：

如果 a12≠0，a13≠0，a23≠0 那么將④和⑤做同樣的旋轉(zhuǎn)變換，用②化簡，④和⑤將分別變成：

所以方程⑧是⑦的漸近錐面方程，因為經(jīng)過坐標(biāo)變換后，新得到的方程與原方程所表示的圖像相同，所以根據(jù)這個原理，③是①的漸近錐面方程。

三、共焦二次曲面的基本定理

定義4 給定不同的實數(shù)a，b，c∈R，對于任意實參數(shù) k∈R，k?{a，b，c}，有以下的二次曲面

其中，矩陣Ak的定義如下

對于不同的k，曲面xTAkx=1是一族共焦二次曲面。

共焦二次曲面基本定理 給定實數(shù)a，b，c∈R，a＜b＜c，在共焦二次曲面族 xTAkx=1 中，對于每一個點 u=（u,v,w）∈R3，都存在三個曲面通過點 u，這三個曲面對應(yīng)的參數(shù) k1，k2，k3∈R 滿足 k1＜c＜k2＜b＜k3＜a。三個曲面在點u處的切面互相垂直，點u的坐標(biāo)（u,v,w）與共焦坐標(biāo)（k1，k2，k3）的關(guān)系如下：

證明 已知 c＜b＜a，令 u=（u，v，w）是任意點，我們需要找到合適的k，使uTAku=1，即

因此，我們定義多項式φu（k）如下：

φu（k）是關(guān)于k的三次多項式，其系數(shù)為1，并滿足以下關(guān)系式

多項式φu（k）有三個不同的實根k1，k2，k3，滿足 k1＜c＜k2＜b＜k3＜a。三個曲面在點 u 處的切面分別是xTAk1u=1，xTAk2u=1以及xTAk3u=1。對于任意的實數(shù) k 與 l，其中 k≠1，k，l?{a，b，c}有以下的部分分?jǐn)?shù)恒等式AkAl=（Ak-At）/（k-l）。

于是，有

由此可知，Ak1u與Ak2u互相垂直，即切面xTAk1u與xTAk2u互相垂直。同理可知，切面xTAk1u，xTAk2u與xTAk3u互相垂直。由于三次多項式φu（k）的首項系數(shù)是 1，并有三個不同的根 k1，k2，k3，因此有φu（k）=（k-k1）（k-k2）（k-k3）。將φu（k）中的k替換為a，b，c，我們有

四、結(jié)束語

本文對求解二次曲線的漸近線與二次曲面的漸近面作了較詳細的分析與研究。同時，探討了共焦二次曲面，給出了共焦二次曲面的定義和基本定理，并證明了該定理。