二次曲面拋物截面存在性定理*

安佰玲，張德燕

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

二次曲面是空間結(jié)構(gòu)中最常見的函數(shù)曲面，在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)和機(jī)械制圖中有重要應(yīng)用.不少學(xué)者將二次曲面應(yīng)用于研究參數(shù)曲面的擬合、復(fù)雜三維幾何體的建模及曲面拼接問題[1-5]，研究這些問題的過程中，都離不開二次曲面與平面的截線形狀及參數(shù)方程的討論.此外，討論二次曲面上的具有某種幾何特征的平面截線存在性問題，對(duì)于研究二次曲面的幾何性質(zhì)與形狀具有重要的理論價(jià)值.目前，關(guān)于二次曲面平面截線的存在性及其應(yīng)用研究大多集中在圓或橢圓截線上[6-9]，因?yàn)檫@類二次曲線的代數(shù)方程比較容易構(gòu)造.而關(guān)于拋物線截面的存在性及其代數(shù)方程求解問題的研究成果不多，因此，筆者擬利用2種方法給出二次曲面拋物線截面存在的條件及其代數(shù)形式.

1 預(yù)備知識(shí)

為了敘述方便，作以下約定：

定義1設(shè)二次曲面S:F(x,y,z)=0，若平面π:lx+my+nz+p=0與S的交線為拋物線，則稱平面π為二次曲面S的拋物截面.

引理1[10]對(duì)于二次曲面S：F(x,y,z)=0，設(shè)λ1,λ2,λ3為實(shí)對(duì)稱矩陣A*的特征值，則存正交變換X=QY，使得S的方程變?yōu)?/p>

f(x′,y′,z′)=λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+ax′+b′y+cz′+d=0，

其中X=(x,y,z)T,Y=(x′,y′,z′)T，(a,b,c)T=2QTξ，d=a44.

二次曲面Σ:f(x′,y′,z′)=0與S:F(x,y,z)=0僅相差一個(gè)正交變換X=QY，因此二次曲面S拋物截面的求解可轉(zhuǎn)化二次曲面Σ拋物截面的求解，所求的拋物截面也相差一個(gè)正交變換X=QY.

引理2[11]在xoy平面上，二次曲線φ(x,y)=0為拋物線?I2=0,I3≠0.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1對(duì)于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，若二次曲面Σ存在拋物截面，設(shè)α，β為拋物截面上的正交單位向量，β沿拋物線的對(duì)稱軸方向，則λ1,λ2,λ3不能同時(shí)為正或者同時(shí)為負(fù)，且：

(1)λ1,λ2,λ3均不為0且非同號(hào)(不妨設(shè)λ1λ2>0，其他情形同理可得).

①當(dāng)λ1=λ2時(shí)，

其中θ∈[0,2π).

②當(dāng)λ1≠λ2時(shí)，

(2)λ1,λ2,λ3中有1個(gè)為0且其余2個(gè)同號(hào)(不妨設(shè)λ3=0，其他情形同理可得).此時(shí)，

α=(cosθ,sinθ,0)，β=(0,0,1)，

其中θ∈[0,2π).

(3)λ1,λ2,λ3中有1個(gè)為0且其余2個(gè)異號(hào)(不妨設(shè)λ3=0，其他情形同理可得).此時(shí)，

①β2=0，α=(cosθ,sinθ,0)，其中θ∈[0,2π).

(4)λ1,λ2,λ3中有2個(gè)為0(不妨設(shè)λ1=λ2=0，其他情形同理可得).此時(shí)，

其中|m|≤1,θ∈[0,2π).

證明設(shè)二次曲面

Σ：f(x,y,z)=λ1x2+λ2y2+λ3z2+ax+by+cz+d=0，

(1)

平面π與曲面Σ交于拋物線Γ，P0(x0,y0,z0)為拋物線的頂點(diǎn)，α=(α1,α2,α3)，β=(β1,β2,β3)，由題意可得拋物線的參數(shù)方程為

(2)

其中t∈R，λ為不等于0的常數(shù).將方程組(2)代入(1)式，可得

若二次曲面Σ存在拋物截面，則存在P0(x0,y0,z0)∈Σ，α，β，使得方程F(t)=0有無窮多解，結(jié)合α，β的幾何特征，可得

(3)

及

(4)

若Σ存在拋物截面π，則必然存在α，β滿足方程組(3)，顯然λ1,λ2,λ3均不為0且同號(hào)時(shí)，方程組(3)中的第1個(gè)方程無解，因此二次曲面Σ無拋物截面.

(1)λ1,λ2,λ3均不為0且非同號(hào)時(shí)，不妨設(shè)λ1λ2>0.由方程組

可得α1β1∶α2β2∶α3β3=(λ2-λ3)∶(λ3-λ1)∶(λ1-λ2).

①若λ1=λ2,由于β3≠0，否則β1=β2=0，于是α3=0，可得

其中θ∈[0,2π).

②若λ1≠λ2,由βi≠0,i=1,2,3，可得

(2)λ1,λ2,λ3中有1個(gè)為0且其余2個(gè)同號(hào)時(shí)，不妨設(shè)λ3=0.由方程組

可得β1=β2=0，β3=±1.再由方程組

(3)λ1,λ2,λ3中有1個(gè)為0且其余2個(gè)異號(hào)時(shí)，不妨設(shè)λ3=0.由方程組

可得

①若β2=0，則β1=0，β3=±1，α=(cosθ,sinθ,0)，θ∈[0,2π).

②若β2≠0，則β1≠0，由λ1α1β1+λ2α2β2=0，可得

(4)λ1,λ2,λ3中有2個(gè)為0時(shí)，不妨設(shè)λ1=λ2=0.將λ1，λ2代入(3)式，可得β3=0.由方程組

根據(jù)定理1，可得二次曲面Σ:f(x,y,z)=0拋物截面存在的必要條件，以及拋物截面法向量n=α×β必須滿足的解析條件，但即使λ1,λ2,λ3,n滿足定理1中的條件，其對(duì)應(yīng)的平面也未必是Σ的拋物截面，還取決于方程組(4)的解的存在情況.

由定理1可得以下結(jié)果：

推論1設(shè)二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，若λ1,λ2,λ3不同時(shí)為正或者同時(shí)為負(fù)，對(duì)于任意滿足定理1中條件的α，β，存在λ≠0使得方程組(4)有解，則二次曲面Σ存在法向量為n=α×β的拋物截面，其拋物線的參數(shù)方程如方程組(2)所示.

除了利用拋物線的參數(shù)方程探求二次曲面拋物截面存在的解析條件，還可以結(jié)合拋物線在坐標(biāo)面上的投影方程及其不變量給出解析條件.利用這種方法容易判別二次曲面是否具有平行于坐標(biāo)面或坐標(biāo)軸的拋物截面.

定理2平面π：lx+my+nz+p=0(n≠0)與二次曲面Σ:f(x,y,z)=0交于拋物線

(5)

的充要條件是

證明令

(6)

將方程組(6)代入方程組(5)，可得

顯然，方程組(6)對(duì)應(yīng)R3中一個(gè)仿射坐標(biāo)變換.根據(jù)經(jīng)典二次曲線理論[10]，拋物線在仿射變換下仍然是拋物線.證畢.

定理3對(duì)于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,有：

(1)二次曲面Σ存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面的充要條件是λ1=0，a≠0或λ2=0，b≠0或λ3=0，c≠0.

(3)二次曲面Σ存在與z軸相交的拋物截面z=lx+my+p的充要條件是λ3(λ1m2+λ2l2)=-λ1λ2,并且

A11l2+A22m2+A33p2+2A12lm+2A13lp+2A23mp+2A14l+2A24m+2A34p+A44≠0，

(7)

其中A11=λ1c2+λ3b2,A22=λ3a2+λ1c2,A33=-4λ1λ2λ3,A12=-λ3ab,A13=2aλ2λ3,A23=2bλ1λ3，A14=acλ2,A24=bcλ1,A34=-2cλ1λ2,A44=λ2a2+λ1b2，均為常數(shù).

證明(1)二次曲面Σ存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面(不妨設(shè)其為平行于xoy面的拋物截面z=k)的充要條件為存在k，使得

是拋物線.由定理2，Γk是拋物線當(dāng)且僅當(dāng)

同理，二次曲面Σ存在平行于xoz面的拋物截面的充要條件為

λ1=0,λ3≠0,a≠0或λ3=0,λ1≠0,c≠0；

二次曲面Σ存在平行于yoz面的拋截面的充要條件為

λ2=0,λ3≠0,b≠0或λ3=0,λ2≠0,c≠0.

綜上所述，二次曲面Σ存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面的充要條件為

λ1=0，a≠0或λ2=0，b≠0或λ3=0，c≠0.

(2)y=kx+m,k≠0是二次曲面Σ拋物截面的充要條件為存在k,m，使得

是拋物線.由定理2，Γk是拋物線當(dāng)且僅當(dāng)

(3)z=lx+my+p是二次曲面Σ的拋物截面的充要條件為存在l,m,p，使得

是拋物線.由定理2，Γk是拋物線當(dāng)且僅當(dāng)

其中A11=λ1c2+λ3b2,A22=λ3a2+λ1c2,A33=-4λ1λ2λ3,A12=-λ3ab,A13=2aλ2λ3,A23=2bλ1λ3,A14=acλ2,A24=bcλ1,A34=-2cλ1λ2,A44=λ2a2+λ1b2，均為常數(shù).證畢.

由定理3可得以下結(jié)果：

推論2二次曲面Σ:f(x,y,z)=0存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面的充要條件是λ1，λ2，λ3中至少有1個(gè)為0，并且為0的二次項(xiàng)對(duì)應(yīng)變量的一次項(xiàng)不為0.

推論3對(duì)于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，有：

(1)若λ3=0，λ1λ2=0，c≠0或者λ3=0，c≠0，λ1λ2>0，則對(duì)于?k≠0,m∈R,y=kx+m均為二次曲面的拋物截面.

(3)若λ3≠0,λ1=λ2=0，則對(duì)于?k(a+bk≠0),m∈R,y=kx+m均為二次曲面的拋物截面.

推論4對(duì)于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，有：

(1)若λ1=λ2=0，則對(duì)于?l,m,p滿足bl-am≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(2)若λ3=λ1=0，a≠0，則對(duì)于?l,m,p滿足2cl+a≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(3)若λ3=λ2=0，則對(duì)于?l,m,p滿足c2l2+(mc+b)2≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(4)若λ1=0，λ2λ3≠0，a≠0，則對(duì)于?l,m,p滿足l=0,λ3m2+λ2≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(5)若λ2=0，λ1λ3≠0，b≠0，則對(duì)于?l,m,p滿足m=0,λ3l2+λ1≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

3 5種典型二次曲面的拋物截面

5種典型二次曲面包括橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面和雙曲拋物面，根據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)方程、定理1、定理3及推論2～4，容易得到這5種典型二次曲面的拋物截面有以下結(jié)論(結(jié)論僅針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程)：

(1)橢球面不存在拋物截面.