例談高中解析幾何常考的幾種問題

◎盧桂英

一、解析幾何?？嫉膸追N問題以及應(yīng)對方法

1.求參數(shù)的值的問題 求參數(shù)值的問題一直是高考中最重要的考點(diǎn)之一，常常會以選擇題的形式出現(xiàn)在試卷之中。求參數(shù)值問題主要考察我們對曲線的性質(zhì)的認(rèn)識能力，應(yīng)對這種問題，我們應(yīng)當(dāng)從曲線的性質(zhì)入手，根據(jù)他們的變量關(guān)系構(gòu)造方程[1]。

【2016年2卷4題】圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1，則a=

【解析】圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)化方程為（x-1）2+（y-4）2=4，所以圓心為（1，4），，由此我們可解得a

2.存在性問題 存在性問題是解析幾何中考察考生對曲線性質(zhì)以及平面坐標(biāo)系的認(rèn)識深度的重要題型，學(xué)生們需要根據(jù)平時所學(xué)的知識并運(yùn)用幾何思想來分析問題。存在性問題多以是否存在這樣的常數(shù)作為問題的核心探索思路，例如是否存在這樣的常數(shù)，這樣的點(diǎn)這樣的直線或者這樣的圓。我們只要根據(jù)掌握的圓錐曲線的基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)選解題方法，這類問題自然就迎刃而解了[2]。

（I）當(dāng)K=0時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（II）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng) K變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

【解析】針對于（II）的問題，我們可以先做出簡單判斷，然后利用設(shè)而不求的思想將點(diǎn)代入曲線C的方程，將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，化幾何問題為代數(shù)問題，設(shè)出M，N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，將直線PM，PN的斜率和用a表示出來，直線PM和PN斜率為0，即可求出a，b關(guān)系，從而找出合適條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。

存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè) P（0，b）為符合題意的點(diǎn)，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為 k1，k2，

將y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0。

x1+x2=4k，x1x2=-4a

當(dāng)b=-a時，有k1+k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)

所以∠OPM=∠OPN，所以 P（0，-a）符合題意。

3.考察圓錐曲線的基本概念和性質(zhì) 圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)是整個解析幾何的基礎(chǔ)，隨著近幾年高考題目的不斷改革，高考中解析幾何的問題也隨之從探索性問題轉(zhuǎn)變到考察學(xué)生的基礎(chǔ)性問題上來，考察圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)的相關(guān)問題逐年增多?？忌鷤兂３Ｈ菀讓㈦p曲線與橢圓和圓的相關(guān)公式混淆，造成失分。

【解析】這是一道標(biāo)準(zhǔn)的考察考生圓錐曲線基本概念與性質(zhì)的題目。做題時我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)題意，找到合適方法與公式進(jìn)行運(yùn)算。

根據(jù)橢圓的對稱性，必過P3，P4，又因為P4橫坐標(biāo)為1，所以橢圓必不過P1，過P2，P3，P4三點(diǎn)將P2與P3的坐標(biāo)代入橢圓方程可得a2=4，b2=1

4.利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題 這部分問題通常放在高考試卷的最后，也就是我們俗稱的壓軸題，它考察了學(xué)生對直線與橢圓的理解能力以及運(yùn)用雙曲線和平面向量等綜合知識去解決實際問題的能力。想解決這部分問題，要求學(xué)生們對數(shù)形結(jié)合，方程轉(zhuǎn)化有比較深入的理解，同時要具備很強(qiáng)的綜合分析和探索能力[4]。

【2016年三卷20題】已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)。

（I）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR//FQ；

（II）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求 AB中點(diǎn)的軌跡方程。

記過A，B兩點(diǎn)的直線為L，則L的方程為2x-（a+b）y+ab=0。

由于F在線段AB上，故1+ab=0.

記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則

所以可證明AR//FQ.

（Ⅱ）設(shè) l與 x軸的交點(diǎn)為 D（X1，0），

設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E（x，y）.

當(dāng)AB與x軸不垂直時，由KAB=KDE可得.

當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2=x-1

5.最大（小）值問題 最大（?。┲祮栴}也就是我們常說的最值問題，其出題形式多為求解某變量的最大值或者最小值，或者是取值范圍。我們可以通過代入法來建立關(guān)于求解目標(biāo)的變量函數(shù)，通過運(yùn)用基本的不等式或者構(gòu)造函數(shù)的方法來解函數(shù)的最值。

（I）當(dāng) t=4，AM=AN時，求△AMN的面積；

（II）當(dāng)2AM=AN時，求k的取值范圍。

二、結(jié)束語

隨著近年來高考的不斷改革，解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的難度在不斷下降，然而它的分值比重仍然很大，一般會占據(jù)22分左右，所以解析幾何的教學(xué)應(yīng)當(dāng)引起我們足夠的重視。只要牢牢掌握圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)，配合相應(yīng)的解題思路以及數(shù)形結(jié)合的思想，就能將參數(shù)值問題、存在性問題、最值問題以及綜合應(yīng)用問題完美解決，保證了學(xué)生分?jǐn)?shù)的提升。