薛永生，高玉章

（1.海軍裝備部飛機辦公室，北京100071，2.海軍航空大學青島校區(qū)，山東青島266041）

雷達雜波是建立與實際雷達工作環(huán)境相一致模型的重要組成部分[1]。在低仰角或高分辨率雷達情況下，Weibull分布模型可以在很寬的條件范圍內(nèi)很好地與實驗數(shù)據(jù)相匹配[2]。目前，使用無記憶非線性變換法（ZMNL）[3-4]進行Weibull雜波模擬的關鍵之處，在于確定非線性變換前后相關系數(shù)的關系[5]。為了快速地求解相關的非線性函數(shù)，目前常用迭代的方法來代替查表、分段近似[6]、多項式擬合[7]等方法。但是當前的迭代方法[8]多為隱格式迭代法，收斂速度較慢，且在實際應用時需要更多的初始條件。因此，有必要變換問題的求解角度，引入高效的非線性迭代算法來解決這一問題。

第一類算子方程問題是最優(yōu)化理論中的一個重要問題，在信號處理和圖像重建等領域有著廣泛的應用[9-10]。傳統(tǒng)的Landweber算法雖然可以用來進行逼近第一類算子方程問題的數(shù)值解，但由于收斂速度慢，提出了一些改進的方案，如預處理方法[11]、最大期望法[12]、時變步長法[13]、一維搜索法[14]等。但均未見在迭代結(jié)構(gòu)和自適應步長方面有系統(tǒng)的優(yōu)化。

本文針對Landweber算法[11]，提出了一種具備粘滯迭代格式和自適應步長的迭代算法，并將ZMNL方法中相關系數(shù)非線性關系的求解轉(zhuǎn)化為第一類算子方程問題。利用給定分布的相關函數(shù)和所提出的顯格式迭代算法對相關高斯分布的相關系數(shù)進行了求解。計算機仿真結(jié)果表明，該算法與以往的隱函數(shù)迭代算法相比較，能夠在有效地提高雜波的模擬精度的同時，明顯地減少迭代的次數(shù)。

1 相關Weibull分布雷達雜波產(chǎn)生模型

1.1 無記憶非線性變換法

無記憶非線性變換法原理如圖1所示。

圖1 ZMNL法原理圖Fig.1 Diagram of ZMNL schematic

基本思想[8]是，高斯隨機序列{vi}線性變換后得到{wi}，{wi}仍服從高斯分布。FG(?)與F-1(?)聯(lián)合構(gòu)成非線性變換G(?)，F(xiàn)G(?)對于服從高斯分布序列的隨機值求其分布函數(shù)，得到0、1之間的均勻分布序列，這樣零記憶非線性變換后得到的{zi}為相關Weibull分布隨機序列。序列{zi}的自相關函數(shù)S與序列{wi}的自相關函數(shù)ρ必然存在非線性關系。只要已知S就可以求得ρ，進而可以譜分解得到H(w)。

1.2 相關Weibull分布雜波模型

Weibull分布[15]模型能很好地描述地雜波、海雜波，其概率密度函數(shù)可表示為：

式（1）中：q是表征尺度的參數(shù)；p是控制分布尾部形狀的參數(shù)。

Weibull分布隨機變量z可以用2個正態(tài)分布隨機變量w1和w2表示，即非線性變換

式中，w1,i和w2,i（i=1,2,…）相互獨立且滿足同一正態(tài)分布N(0,σ2)，并且有q=(2σ2)1/p。

Weibull分布的產(chǎn)生框圖[16]，如圖2所示。

圖2 Weibull分布產(chǎn)生原理圖Fig.2 Diagram of Weibull distribution produces schematic

相關系數(shù)Sij與正態(tài)分布相關系數(shù)ρij的關系[17]：

式（3）中：Γ為Gamma函數(shù)；2F為高斯超幾何分布函數(shù)。

式中，(a,n)=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)，當n=0 時，(a,0)=1，a≠0。

2 基于自適應粘滯Landweber算法的雜波模擬方法

在給定所需產(chǎn)生的Weibull雜波的情況下，需要根據(jù)雜波的相關函數(shù)Sij得到相關高斯序列的相關系數(shù)ρij，由于式（3）中用到高斯超幾何函數(shù)和伽瑪函數(shù)這些特殊函數(shù)，所以無法直接求得相應的ρ顯示封閉解。本文以一種具備粘滯迭代格式和自適應步長的Landweber改進算法給出S到ρ的顯示迭代格式。

2.1 自適應粘滯Landweber算法

設C={P∈?M}和Q={b|b∈?M}分別是Hilbert空間H1和H2中的非空閉凸子集，A:C→Q為有界線性算子，尋找滿足下面第一類算子方程條件的x，

可用Landweber迭代算法[11]求解。

Landweber算法。設x0是任意的，且n=0,1…,計算：

式（6）中：A為M×N實矩陣；γ∈(0,2/L)，L為矩陣ATA的最大特征值‖x*-x‖。

為逼近最優(yōu)解，可令式（6）的停止規(guī)則為：

式（7）為最小約束問題，因而Landweber算法可轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問題，式（7）的梯度為：

可見，在上述算法中，步長參數(shù)γ為定值或取決于ATA和A的范數(shù)的實序列{γn}。若‖A‖容易計算，則上述算法是容易執(zhí)行的，且一般取步長為1/‖A‖2。但是大多數(shù)情況下，很難計算‖A‖。依據(jù)文獻[18]中的方法，下面給出步長參數(shù)γ的自適應值，從而避免了計算‖A‖，并給出粘滯迭代格式如下。

自適應粘滯Landweber算法。設x0∈C，n=0,1,2,… ，計算：

如果對于某一n≥1，xn+1=xn，則xn是一個近似解，迭代停止；否則令n=n+1，繼續(xù)式（10）計算xn+2。

2.2 問題轉(zhuǎn)化及算法實現(xiàn)

針對式（3）中的反函數(shù)求取問題，可以應用上節(jié)的顯式非線性迭代算法來求解。首先，需要把由S求ρ的非線性問題轉(zhuǎn)化成為第一類算子方程問題；然后，用相關的算法進行迭代運算。

式（3）可表示成：

于是可將式（12）的反問題轉(zhuǎn)化成第一類算子方程問題表述如下：

C為高斯分布相關系數(shù)空間；定義A=[C?Tii]1≤i≤N為N×N階對角矩陣，其中算子Tii可表示為：

定義Q={S∈RN}，為Weibull分布相關函數(shù)空間。其中，N為脈沖數(shù)。于是對上述非線性問題可以表述為尋找滿足AP=S的向量P，使得P∈C。

利用自適應粘滯Landweber算法實現(xiàn)Weibull隨機序列的具體仿真步驟如下：

1）對給定雜波的相關函數(shù)序列Sij，利用自適應粘滯Landweber算法求出相關系數(shù)序列ρij；

2）產(chǎn)生獨立高斯分布的隨機序列{vi}，利用步驟1）得到的相關系數(shù)序列ρij通過AR模型得到濾波器系數(shù)，調(diào)制出需要的相關正態(tài)序列{ui}；

3）利用式q=(2σ2)1p得到w1,w2～N(0,σ2)中的σ2，產(chǎn)生的w1、w2高斯序列由非線性變換式（2）得到Weibull分布序列{zi}，i=1,2,…,N。

3 仿真結(jié)果與分析

為證明利用文中所述非線性迭代算法進行系統(tǒng)辨識，從而模擬相關非高斯雷達波的有效性。本文仿真時假定功率譜為高斯狀，其歸一化相關函數(shù)為[19]：

式（13）中：σv為雜波速度的均方根值；λ為工作波長；τ=k?PRI，k=0,1,…,N，PRI為脈沖重復間隔，N為脈沖數(shù)。

仿真時參數(shù)λ=0.03，σv=1 m/s，PRI=0.001 s，N=32。

在仿真過程中，考慮到計算量以及字長等的限制，迭代次數(shù)是有限制的。為保證迭代結(jié)果是收斂的且達到一定的精度，對式（12）進行計算次數(shù)限制，

取K=100以保證計算精度。

在利用Landwever算法和自適應粘滯Landweber算法進行計算時，由于A的定義中含有算子Tii，因此近似的取A=C?IN×N，從而令定步長γ=1/‖A‖2。在改進的算法中，取ηn=1/n，αn=1/n。

在雷達雜波模擬過程中，取p=1.5，q=2.2。分別利用2.1節(jié)中的顯式非線性迭代算法與文獻[8]中的隱函數(shù)迭代方法進行仿真。對于隱函數(shù)迭代、Landwever算法各取迭代次數(shù)n=10，對于本文中提出的自適應粘滯Landweber算法僅取n=4。相關函數(shù)序列Sij和ρij的關系曲線如圖3所示。從圖3中可以看出，改進的YLS算法僅用4次迭代就能達到隱函數(shù)迭代10次的效果，而Landwever算法的迭代效果最不理想。

圖3 不同迭代算法相關函數(shù)序列Sij和ρij的關系曲線Fig.3 Different iterative algorithms of the relation curve of the correlation function sequenceSijandρij

圖4為不同算法仿真得到Weibull分布雜波的歸一化功率譜密度函數(shù)曲線與理論曲線的對比圖。從中可以看出，在采用10次迭代的情況下，自適應粘滯Landweber算法的迭代值較好，在僅用4次迭代的情況下，就達到了與理論曲線最好的擬合程度。

圖4 不同迭代算法Weibull雜波功率譜密度函數(shù)曲線比較Fig.4 Comparison of power spectral density function of Weibull hybrid power spectrum in different iteration algorithms

通過對上述不同迭代算法的仿真結(jié)果進行比較，可以得出自適應粘滯Landweber算法模擬產(chǎn)生相關Weibull分布雜波序列不僅準確有效，而且需要更少的迭代次數(shù)。因此，利用該算法產(chǎn)生的Weibull分布序列時域波形如圖5所示。

圖5 相關Weibull分布雜波時域波形Fig.5 Correlation Weibull distribution cluster time domain waveform

4 結(jié)論

本文在基于ZMNL方法模擬Weibull分布雷達雜波的模型中，利用求解正態(tài)分布相關系數(shù)存在高度非線性的特點，將該非線性問題轉(zhuǎn)化成為第一類算子方程問題。針對Landweber算法的迭代效率低和步長計算的復雜性，提出了一種具備粘滯迭代格式和自適應步長的迭代算法，并用來求解正態(tài)分布的相關系數(shù)。該方法以顯格式的迭代算法代替以往的隱格式的迭代算法，使得問題的求解更加直觀、清晰，可以降低雜波數(shù)據(jù)模擬的運算量。將改進的迭代算法與以往的迭代算相比較，計算機仿真結(jié)果表明文中所提出的迭代算法不僅能有效地提高雜波模擬精度，而且能有效地減少迭代次數(shù)。這為高效地解決相關Weibull分布雷達雜波模擬問題提供了參考。