一種穩(wěn)健自適應(yīng)多波束形成算法

張 琦 唐 斌

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川成都 611731)

1 引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)起源于二十世紀，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶、無線通信等多個領(lǐng)域[1-3]。由于其能在多個期望信號方向形成波束增益，在多個干擾方向自適應(yīng)形成零陷進行抑制的特性，現(xiàn)已被推廣至自適應(yīng)多波束形成領(lǐng)域[4-5]。在實際應(yīng)用中，由于受到載體位置、速度快速變化以及姿態(tài)變化的影響，自適應(yīng)多波束形成只能采用較少采樣快拍數(shù)進行權(quán)值更新訓(xùn)練。在快拍數(shù)較少時，大多數(shù)自適應(yīng)多波束形成算法特征值分解較不穩(wěn)定，極易發(fā)生各波束主波束畸變的情況[6]。另一方面，當多個輸入期望信號功率差異較大時，大多數(shù)自適應(yīng)多波束形成算法對強期望信號波束形成效果會明顯下降，此時強期望信號極易發(fā)生波束畸變、自適應(yīng)零陷深度惡化甚至零陷方位錯亂[7- 8]。

針對以上提出的兩方面問題，有大量學(xué)者已經(jīng)做了相關(guān)研究。文獻[9]中運用的對角加載方法可有效降低多波束形成對快拍數(shù)的依賴度，但其對強期望信號波束穩(wěn)健性的提升不明顯。文獻[10]中運用的非凸約束可提升多波束形成中弱期望信號波束穩(wěn)健性，但是其對強期望信號波束穩(wěn)健性的提升較有限。文獻[11-12]中運用的協(xié)方差矩陣修正的思想可有效提高自適應(yīng)多波束形成中強期望信號波束的穩(wěn)健性，但是其會降低弱期望信號自適應(yīng)波束形成效果。文獻[13]提出的高效快速穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法可有效提高強弱期望信號自適應(yīng)波束的穩(wěn)健性，但是該方法無法運用于小型陣列。以上算法均無法同時提高強弱期望信號的波束穩(wěn)健性，所以實際應(yīng)用中常對強弱期望信號分別采用不同的自適應(yīng)波束形成算法進行多波束合成，這將極大耗費硬件計算資源。

針對此現(xiàn)象，本文結(jié)合子空間變換以及對角加載技術(shù)對協(xié)方差矩陣進行了重構(gòu)，然后運用此協(xié)方差矩陣進行多波束權(quán)值訓(xùn)練。首先，通過子空間變換對信號子空間和干擾子空間進行向量化分析，然后結(jié)合對角加載技術(shù)重構(gòu)出一個新的協(xié)方差矩陣，最后通過重構(gòu)協(xié)方差矩陣訓(xùn)練出的多波束權(quán)值形成穩(wěn)健自適應(yīng)多波束。通過與其他多個算法波束圖的對比分析可知本文算法在較少快拍數(shù)且多個輸入期望信號功率差異較大的情況下，能夠保持各波束主波束無畸變且提升各波束零陷的穩(wěn)健性。隨著期望信號功率的增強，本文算法輸出信干噪比更優(yōu)。

2 數(shù)學(xué)模型

(1)

式中，sl(t)和v(θsl)分別為期望信號和期望信號陣列響應(yīng)，zi(t)和v(θji)分別為干擾信號與干擾信號陣列響應(yīng)，n(t)為噪聲矢量。期望信號，干擾信號與噪聲信號皆互不相關(guān)。陣列響應(yīng)又稱導(dǎo)向矢量，可表示為

(2)

式中θ為信號的入射角。期望信號導(dǎo)向矢量矩陣為V(θs)=[v(θs1),v(θs2),…,v(θsS)]N×S，干擾信號導(dǎo)向矢量矩陣為V(θj)=[v(θj1),v(θj2),…,v(θjP)]N×P，則多波束形成的輸出信號可表示為

y(t)=WHx(t)

(3)

(4)

(5)

式(5)中，dig表示將矩陣對角元素的倒數(shù)排列N行所得新矩陣，F(xiàn)為fT排列N行所得新矩陣，

3 聯(lián)合對角加載與子空間變換的協(xié)方差矩陣重構(gòu)

3.1 對角加載

當采樣快拍數(shù)較少時，采樣協(xié)方差矩陣特征分解所得主特征值及所對應(yīng)的特征向量能較快收斂，而噪聲矢量對應(yīng)的特征值則不能較快收斂，這將降低特征分解的有效性，影響后續(xù)子空間變換的性能，因此對采樣協(xié)方差矩陣先進行對角加載，保證特征分解的有效性是極其必要的。本文針對此情況，討論了一種動態(tài)自適應(yīng)加載值選取方法，首先定義對角加載為

(6)

(7)

式中，B代表協(xié)方差矩陣的估計誤差矩陣，ε為誤差系數(shù)，因此對角加載后的協(xié)方差矩陣可以表示為

(8)

經(jīng)文獻[15]證明得λd的取值范圍為

(9)

式中diag表示將矩陣對角元素依次排列組成的向量，std表示向量中各元素的標準差，trace表示矩陣的跡，由于加載值過大或過小都不利于波束穩(wěn)健性，所以實際應(yīng)用中可以選取式(9)中最大值與最小值的平均值進行對角加載，即

(10)

可見λd的選取不需要任何先驗信息，其隨著采樣協(xié)方差矩陣的變化進行動態(tài)調(diào)整，便于工程應(yīng)用。

3.2 子空間變換

假設(shè)S個期望信號中含有K個功率較強信號，即其功率強于噪聲功率或與干擾功率相近，針對此類信號須先對協(xié)方差矩陣進行重構(gòu)。上一節(jié)通過對角加載有效提升特征值分解收斂速度，此時對對角加載后采樣協(xié)方差矩陣進行特征值分解，分解后所得主特征值對應(yīng)的特征向量代表期望信號與干擾信號導(dǎo)向矢量子空間，則期望信號與干擾信號真實協(xié)方差矩陣(SPI矩陣：signals-plus-interferences 矩陣)可表示為

(11)

(12)

如果接收信號之間互不相關(guān)，則真實SPI矩陣可以寫為

(13)

本文定義關(guān)于方向θ的相關(guān)向量為

c(θ)=vec(v(θ)vH(θ))

(14)

式中vec(·)是將矩陣的每一列堆疊起來組成的列向量，因此，真實SPI協(xié)方差矩陣又能被表示為

(15)

根據(jù)式(15)可以得出vec(Rsj)位于相關(guān)向量的子空間，定義

(16)

T=[r1,r2,…,rc]

(17)

(18)

式(18)中第二個約束條件能夠保證協(xié)方差矩陣估計誤差在相關(guān)向量子空間的補空間中的投影消失。

為簡化式(18)本文定義

(19)

根據(jù)式(19)可以將式(18)重新寫為

(20)

(21)

式(21)可以被簡化為

(22)

(23)

觀察式(23)可得，式(23)的優(yōu)化問題模型與式(12)完全相同，此時可用文獻[7]、[16]中式(12)的最優(yōu)解求解方法對式(23)進行求解。

根據(jù)式(23)可以獲得估計SPI矩陣，采樣協(xié)方差矩陣可以表示為

(24)

(25)

(26)

式中vr為S-K個功率較弱期望信號的導(dǎo)向矢量，則弱期望信號多波束權(quán)值W''表示為

(27)

W=[W',W'']

(28)

下面通過仿真實驗進一步驗證本文算法對自適應(yīng)多波束形成穩(wěn)健性的提升。

4 仿真分析

本文設(shè)定一個陣元數(shù)為16的均勻線陣，陣元間距λ/2。干擾信號到達方向為70°，干噪比為30 dB。期望信號、干擾信號和噪聲三者相互獨立且噪聲為高斯白噪聲，蒙特卡羅次數(shù)設(shè)定為200次。

(1)仿真1

設(shè)定采樣快拍數(shù)為10～100，僅考慮一個期望信號，到達方向為10°，信噪比為12 dB，畫出對角加載前后本文算法的輸出信干噪比對比圖。

從圖1可以看出，當快拍數(shù)較少時，通過子空間變化重構(gòu)所得協(xié)方差矩陣波束形成性能有明顯下降，隨著快拍數(shù)的增加性能逐漸提升并收斂。本文算法結(jié)合對角加載的子空間變換在快拍數(shù)較少時性能更優(yōu)且收斂速度較快，證明對角加載有效的降低了子空間變換對快拍數(shù)的依賴度。

圖1 對角加載前后本文算法的輸出信干噪比對比圖

(2)仿真2

設(shè)采樣快拍數(shù)為16，期望信號到達方向分別為-30°和10°，信噪比分別為-30 dB和25 dB，比較幾種不同算法的歸一化強期望信號波束圖。

從圖2可以看出，在期望信號較強且快拍數(shù)較少的情況下，文獻[14]經(jīng)典算法主波束消失，文獻[9]、[12]算法主波束保持穩(wěn)定但干擾方向零陷嚴重偏移，本文算法不僅主波束穩(wěn)定且在干擾方向零陷依然存在，波束旁瓣較其他算法更低，雖然本文算法穩(wěn)健性有所提升，但是當期望信號功率與干擾信號功率強度越接近時，本文算法性能也將快速下降。

(3)仿真3

設(shè)定采樣快拍數(shù)為16，期望信號到達方向分別為-30°和10°，信噪比分別為-30 dB和25 dB，比較幾種不同算法的歸一化弱期望信號波束圖。

從圖3可以看出，在期望信號較弱且快拍數(shù)較少的情況下，文獻[14]算法主波束偏移且零陷深度明顯惡化，文獻[9]、[12]算法與本文算法均能保持主波束恒定且干擾方向零陷穩(wěn)定存在，但是本文算法的自適應(yīng)零陷更深，另一方面也可看出針對弱期望信號波束形成，強期望信號已被視為干擾信號在其方向形成零陷對其進行抑制，與前文分析一致。

圖2 快拍數(shù)較少情況下不同算法強期望信號波束圖

圖3 快拍數(shù)較少情況下不同算法弱期望信號波束圖

(4)仿真4

設(shè)定采樣快拍數(shù)為16，僅考慮一個期望信號，到達方向為10°，信噪比為-25～25 dB，比較幾種不同算法的輸出信干噪比對比圖。

從圖4可以看出，隨著期望信號信噪比的提升，文獻[14]經(jīng)典算法在期望信號較強時性能下降最快；文獻[9]算法對強期望信號波束形成效果有所提升，但是當期望信號信噪比大于10 dB時，性能也開始下降；文獻[12]算法在期望信號信噪比大于10 dB時，性能開始快速下降，且在期望信號信噪比較低時性能低于其他算法；本文算法在期望信號由弱到強期間一直保持輸出信干噪比的穩(wěn)定性，抗干擾性能較其他三種算法更優(yōu)。

圖4 不同算法的輸出信干噪比對比圖

(5)仿真5

設(shè)定采樣快拍數(shù)為16，僅考慮一個期望信號，已知期望到達方向為10°，信噪比為-25～25 dB，期望信號實際到達方向與已知方向存在5°的偏差，畫出本文算法的輸出信干噪比圖。

從圖5可以看出，當期望信號到達角存在偏差時，本文算法性能有明顯下降，且隨著期望信號信噪比的提升，性能惡化越嚴重。由于期望信號到達角存在偏差，當期望信號較強時，本文算法會將此強期望信號視為干擾信號對其進行抑制，導(dǎo)致主波束發(fā)生嚴重畸變。由于此類情況在實際應(yīng)用中常有發(fā)生，所以可運用文獻[16]中的迭代算法對期望信號導(dǎo)向矢量進行迭代修正，以此獲得最優(yōu)的波束形成效果，可見，在實際應(yīng)用中，本文算法尚需進一步的完善與改進。

圖5 期望信號到達方向存在偏差時本文算法輸出信干噪比對比圖

綜上所述，本文算法波束方向圖可同時保持強弱期望信號主波束與干擾方向零陷的穩(wěn)健性且通過對比不同算法的輸出信干噪比可得本文算法的抗干擾性能更優(yōu)，所以本文算法較好的解決了在快拍數(shù)較少情況下，同時對強弱期望信號進行波束形成的問題，但是針對期望信號導(dǎo)向矢量存有誤差等實際情況，本文算法尚有不足。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)多波束形成算法，該算法結(jié)合子空間變換與對角加載技術(shù)，降低了自適應(yīng)多波束形成對采樣快拍數(shù)的依賴性，并且在多個輸入期望信號功率差異較大情況下，有效的抑制多波束畸變零陷偏移等多波束惡化情況的發(fā)生，提高了多波束的穩(wěn)健性。通過多個對比實驗驗證了本文算法較其他多個穩(wěn)健多波束形成算法穩(wěn)健性更優(yōu)，抗干擾性能更好。本文算法可同時提高多個強弱期望信號自適應(yīng)波束的穩(wěn)健性，有廣闊的工程應(yīng)用前景，但是針對期望信號到達方向未知或者存有偏差的情況，本文算法尚需進一步改進和完善。

[1] Brennan L E, Mallet J D, Reed I S. Adaptive arrays in airborne MTI radar[J]. IEEE Transactions Antennas & Propagation, 1976, 24(5): 607- 615.

[2] Kim S M, Baek M W, Nahm S H. Visible light communication using TDMA optical beamforming[J]. EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, 2017, 56.

[3] Agrawal S, Rana V, Jagannatham AK. Queuing analysis for multiple-antenna cognitive radio wireless networks with beamforming[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2017, 24(3): 334-338.

[4] 李鵬程,田玉坤,楊峰，等. 基于LCMV的衛(wèi)星導(dǎo)航多波束形成抗干擾技術(shù)[J]. 電子信息對抗技術(shù), 2016, 31(4): 47-51.

Li Pengcheng, Tian Yukun, Yang Feng, et al. Anti-jamming technology of satellite navigation multiple beam forming based on LCMV[J]. Electronic Information Warfare Technology, 2016, 31(4): 47-51. (in Chinese)

[5] 林森. 偽隨機碼加權(quán)的自適應(yīng)多波束形成新方法[J]. 無線電通信技術(shù), 2015, 41(1): 35-37.

Lin Sen. Novel adaptive multibeam forming method based on pseudo-random noise codes weighting[J]. Radio Communication Technology, 2015, 41(1): 35-37. (in Chinese)

[6] Habets E, Benesty J, Naylor P A. A speech distortion and interference rejection constraint beamformer[J]. IEEE Transactions on Audio, Speech, and Language Processing, 2012, 20(3): 854- 867.

[7] Feldman D D, Griffiths L J. A projection approach for robust adaptive beamforming[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(4): 867- 876.

[8] Widrow B, Duvall K M, Gooch R P, et al. Signal cancellation phenomena in adaptive antennas: causes and cures[J]. IEEE Transactions Antennas & Propagation, 1982, 30(3): 469- 478.

[9] Carlson B D. Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arrays[J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems, 1988, 24(4): 397- 401.

[10] Vorobyoy S A, Gershman A B, Luo Z Q. Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization: A solution to the signal mismatch problem[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2003, 51(2): 313-324.

[11] Hassanien A, Vorobyoy S A, Wong K M. Robust adaptive beamforming using sequential quadratic programming: an iterative solution to the mismatch problem[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2008, 15: 733-736.

[12] Khabbazibasmenj A, Vorobyoy S A, Hassanien A. Robust adaptive beamforming based on steering vector estimation with as little as possible prior information[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(6): 2974-2987.

[13] Rahmani M, Bastani M H, Shahraeeni S. Two layers beamforming robust against direction-of-arrival mismatch[J]. IET Signal Processing, 2014, 8(1): 49-58.

[14] Lorenz R, Boyd S P. Robust minimum variance beamforming[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53(5): 1684-1696.

[15] Ma N, Goh J T. Efficient method to determine diagonal loading value[C]∥IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Hong Kong, 2003, 5(5): 341-344.

[16] Zhuang J. Robust adaptive array beamforming with subspace steering vector uncertainties[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2012, 19(12): 785-788.

[17] Khabbazibasmenj A, Vorobyov S A, Hassanien A. Robust adaptive beamforming based on steering vector estimation with as little as possible prior information[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(6):2974-2987.

[18] Mostafa R, Mohammad H B. Robust and rapid converging adaptive beamforming via a subspace method for the signal-plus-interferences covariance matrix estimation[J]. IET Signal Processing, 2014, 8(5): 507-520.

[19] 關(guān)剛強,聶俊偉,黃仰博，等. 子空間投影后波束形成的導(dǎo)航接收機抗干擾性能分析[J]. 國防科技大學(xué)學(xué)報, 2016, 38(3): 50-54.

Guan Gangqiang, Nie Junwei, Huang Yangbo, et al. Performance analysis of anti-jamming algorithm in GNSS receiver utilizing subspace projection and beamforming[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2016, 38(3): 50-54. (in Chinese)

[20] 鮑曉紅,黃繡坤. 一種新的二維空間譜估計方法—二維組合陣列ESPRIT[J]. 信號處理, 1992, 8(1): 24-30.

Bao Xiaohong, Huang Xiukun. A new method of two-dimensional spatial spectrum estimation based on ESPRIT using combined array[J]. Signal Processing, 1992, 8(1): 24-30. (in Chinese)