崔鷹飛，陳則王

(南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京 211106)

0 引言

在能源危機和環(huán)境污染日益嚴重的背景下，節(jié)能和環(huán)保是時代的主題，尋求安全、清潔、高效的能源轉(zhuǎn)化和存儲技術(shù)是目前科技領(lǐng)域的研究熱點。電池作為一種電能的存儲和轉(zhuǎn)化載體，能夠在幾乎不付出環(huán)境污染代價的同時以極高的效率轉(zhuǎn)化能量，因而受到科技領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。荷電狀態(tài)估計(state of charge, SOC)是電池管理系統(tǒng)的核心部分，它不僅可以使用戶直觀明確地了解電池電量的使用及剩余情況，還決定著電池的使用性能和安全。由此可見，電池SOC的估算研究有著重要的意義[1]。

目前常用的SOC估計方法大多是基于電池模型實現(xiàn)的。將模型應(yīng)用于電池管理系統(tǒng)當中，不僅要考慮模型的準確性，使模型盡量準確地還原電池的工作情況，還要考慮模型的簡便程度，以使模型的計算合理占用資源，提高效率[2]。常用的電池模型主要有經(jīng)驗模型[3]、等效電路模型[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[5]和電化學模型。經(jīng)驗模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精度受限于訓練樣本，而等效電路模型中的模型參數(shù)并沒有實際物理意義，在復雜工況上誤差較大，且這3種模型都無法分析電池的老化和安全問題。而電化學模型從機理上分析電池特性，模型精度更高。

常用的電池電化學模型有準二維多孔電極模型(P2D model)和單粒子模型 (SP model)。P2D模型[6-7]包含一系列耦合偏微分方程，模型復雜度很高，不適合直接應(yīng)用于電池管理系統(tǒng)。

SP模型[8-9]就是利用單個粒子來代替活性物質(zhì)中的所有粒子，忽略了電解液濃度梯度、液相擴散過電勢、固相濃度在電極厚度方向上的濃度分布，并假設(shè)各電極內(nèi)電化學反應(yīng)均勻，各點反應(yīng)率完全一致，從而減少了偏微分方程的個數(shù)，使計算過程得到簡化。單粒子模型與P2D模型相比，計算過程得到簡化，在中低倍率下能較好地描述電池工作狀態(tài)。

由于實際應(yīng)用中仍然存在需要中低倍率工作的電池，如手機等。本文選用單粒子模型來對電池建模，通過單粒子模型即可根據(jù)電池工作電流求解出相應(yīng)時刻的電池端電壓和活性粒子內(nèi)平均濃度cs,avg,i，而電池SOC可以通過活性粒子內(nèi)平均濃度進行求解。因此可以通過單粒子模型得出電池端電壓與電流以及SOC的關(guān)系方程，將該方程作為擴展卡爾曼濾波的觀測方程，采用擴展卡爾曼濾波算法實現(xiàn)SOC的在線估計，最后基于COMSOL的仿真數(shù)據(jù)來分析SOC估計的精度。

1 鋰電池電化學模型

1.1 偽二維多孔電極模型

鋰電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由正極集流體、正極活性材料、隔膜、負極活性材料、負極集流體、電解液組成[2]。假設(shè)活性粒子為球形顆粒，鋰離子在活性粒子中沿著r方向擴散，這是鋰離子的固相擴散過程。對于鋰離子在電解液中的遷移，即液相擴散過程，偽二維多孔電極模型只考慮x方向上鋰離子的遷移?？偟膩碚f，偽二維多孔電極模型由10個耦合的非線性偏微分方程組成。

簡單來說，準二維多孔電極模型即可以根據(jù)電流輸入來模擬仿真得出對應(yīng)時刻的電池端電壓、相關(guān)鋰離子濃度等信息。由于在鋰電池電化學建模領(lǐng)域存在相關(guān)參數(shù)獲取困難的問題，一般通過將P2D模型仿真結(jié)果作為一個參考值來驗證其他簡化模型的精度高低，因此本文將準二維仿真得到的端電壓以及基于準二維模型采用安時積分法求出的SOC作為參考值來驗證本文提出的SOC估計算法的準確性。具體的控制方程見表1。相關(guān)參數(shù)見表2(參數(shù)來源于COMSOL仿真軟件以及文獻[6])。

表1 偽二維數(shù)學模型各區(qū)域的控制方程及邊界條件

表2 電池模型參數(shù)

續(xù)表2

1.2 單粒子模型

圖1 鋰電池結(jié)構(gòu)原理示意圖

單粒子模型指的是利用一個球形粒子來代表整個電極而建立的一種電池簡化數(shù)學模型。建立電池單粒子模型的第一個前提條件是假設(shè)整個電池內(nèi)(正極、隔膜和負極)各處的液相濃度值均是一個常量;另一個前提條件是假設(shè)一個電極內(nèi)各處的固相電勢相等?；谶@些假設(shè)條件可知一個電極內(nèi)各處的反應(yīng)離子流密度也相等，這樣電極內(nèi)一個活性粒子的電化學特性就可以代表整個電極的特性，進而得到了電池的單粒子模型。由于單粒子模型假設(shè)電極內(nèi)各處的反應(yīng)離子流密度相等，則正負極集流體邊界處的反應(yīng)離子流密度為：

(1)

式中：I為電池工作電流，放電為正，充電為負，A為電極有效面積；Ri為活性粒子顆粒半徑；li為極板厚度；εi為材料孔隙率；εf,i為填充物質(zhì)體積分數(shù)；F為法拉第常數(shù)；p為正極，n為負極。

這里利用三參數(shù)拋物線近似法[10]來簡化固相擴散過程，進而求解得到固相粒子表面鋰離子濃度。則粒子表面鋰離子濃度可以通過下式近似求解。

(2)

(3)

式中：cs,avg,i為正負極活性粒子內(nèi)平均鋰離子濃度；cs,0,i為固相初始鋰離子濃度；Ri為正負極活性粒子顆粒半徑；ji為正負極反應(yīng)離子流密度；cs,surf,i為正負極活性粒子表面鋰離子濃度；Ds,i為正負極固相擴散系數(shù)；qi,avg(t)為是固相擴散過程中粒子內(nèi)鋰離子體積平均濃度流量；n為負極區(qū)域，p為正極區(qū)域。

在恒流放電工況下，qi,avg(t)的計算式為：

(4)

(5)

在其他任何充放電工況下，qi,avg(t)的計算式為：

(6)

活性粒子的表面濃度決定了鋰電池的開路電壓，如式(7)所示。

(7)

式中:UP為正極開路電壓，Un為負極開路電壓。根據(jù)Bulter-Volmer方程，可以推導出反應(yīng)極化過電勢如式(8)所示。

(8)

(9)

在單粒子模型中，認為電池的歐姆極化過電勢主要是SEI膜歐姆極化過電勢。歐姆極化過電勢表示為：

ηSEI=RSEI,pFjp-RSEI,nFjn

(10)

則電池端電壓可以表示為：

U=Up(cs,avg,p)-Un(cs,avg,n)-ηact-polarzation-ηSEI

(11)

本文將SOC定義為：

(12)

(13)

(14)

式中：cs,avg,i為正負極固相平均鋰離子濃度；cs,max,i為正負極固相最大鋰離子濃度；θ100%為荷電狀態(tài)為100%時的化學計量比；θ0%為荷電狀態(tài)為0%時的化學計量比；n為負極；p為正極。

則式(11)可以記為:

V=Up(SOC)-Un(SOC)+f(C)

(15)

式中C為放電倍率。

2 基于EKF的鋰離子電池SOC估計方法

2.1 安時計量法

通過對運行時間內(nèi)流過電池的電流進行積分，計算出流入或者流出電池的電量，如果已知電池的初始SOC值，便可用初始SOC值加上或者減去流過電池的電量，得到電池剩余電量。

本文基于安時積分法估計出的SOC作為SOC參考值，如式(16)所示。

(16)

式中Ck為k時刻放電倍率。

2.2 基于EKF的SOC估計方法

卡爾曼濾波算法通過采用遞推線性最小方差估計方法，利用系統(tǒng)可觀測的輸出估計誤差去修復不可觀測的狀態(tài)估計誤差?？柭鼮V波主要用于估計線性時變模型，而當被估計的系統(tǒng)模型是非線性的時候，就需要使用擴展卡爾曼濾波來對系統(tǒng)進行估計?？柭鼮V波是一個遞推的過程，而本文采用卡爾曼濾波，則可以根據(jù)電流量輸入依次遞推求解相應(yīng)時刻的SOC值，即可實現(xiàn)SOC的在線估計。

鋰離子電池SOC在線估計的離散空間狀態(tài)方程與觀測方程如式(17)、式(18)。

(17)

Vk=Up(SOCk)-Un(SOCk)+f(Ck)+νk

(18)

式(17)為狀態(tài)方程，可以記為：

xk=f(xk-1,uk-1)+wk

(19)

式(18)為觀測方程，可以記為：

Yk=h(xk,uk)+vk

(20)

式中：xk是狀態(tài)變量(SOC)，Yk是觀測量(端電壓)，uk是輸入量(充放電倍率)，f和h是傳遞函數(shù)，wk與vk分別是系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，默認為互不相關(guān)高斯白噪聲。

定義：

xk=SOCk

(21)

uk=Ck

(22)

(23)

(24)

(25)

EKF濾波算法的循環(huán)遞推計算如下:

1) 初始化狀態(tài)變量x0和協(xié)方差P0

x0=E[x(0)]

(26)

P0=E[(x(0)-x0)(x(0)-x0)]

(27)

2) 狀態(tài)預測

(28)

3) 觀測預測

Yk=h(xk,uk)

(29)

4) 求協(xié)方差矩陣預測

(30)

5) 求Kalman增益

(31)

6) 狀態(tài)更新

(32)

7) 協(xié)方差更新

(33)

3 仿真驗證與分析

由于單粒子模型在中低倍率工況下精度高，因此本文選取0.2C恒流放電工況和0.5C恒流放電工況來驗證本文所提出的SOC估計算法的有效性。由于安時積分法在初始值準確的情況下求出的SOC是準確的，仿真實驗已知電池初始SOC，因此可采用安時積分法求出的SOC當做真實值，來對本文提出的SOC估計方法的精度進行比較分析。而另外安時積分法又不存在修正能力，本文又對初始值存在誤差情況下的安時積分法求解出的SOC與本文提出的方法進行了比較，來分析本文提出的SOC估計方法的誤差修正能力。SOC估計曲線和曲線細節(jié)圖如圖2-圖4所示。

圖2 初始SOC存在0.1誤差下0.2C恒流放電工況SOC估計曲線

圖3 初始SOC存在0.1誤差下0.5C恒流放電工況SOC估計曲線

圖4 初始SOC存在0.1誤差下0.5C恒流放電工況SOC估計曲線細節(jié)圖

從圖2和圖3可以看出，本文所采取的SOC估計算法精度較高，且有一定的誤差修正能力。當SOC初始值存在10%的誤差情況下，AH法嚴重偏離真實值，而本文采取的擴展卡爾曼濾波法能夠較好修正SOC值。從圖4可以看出，EKF遞推到第4步時SOC誤差<2%。

4 結(jié)語

1) 在電池單粒子模型的基礎(chǔ)上，采用擴展卡爾曼濾波實現(xiàn)SOC在線估計，精度較高。

2) 當SOC初始值不準確時，本文采用的擴展卡爾曼濾波法具有很好的魯棒性，能夠準確地校正SOC，使之回歸真值附近。