找尋那最初的“模樣”
——絕對值函數(shù)最值問題的探討

浙江省上虞中學(xué) 李益鋒 (郵編：312300)

摘 要 含絕對值的函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一種較常見的函數(shù),其最值問題在習(xí)題和高考中也是屢見不鮮.然而學(xué)生遇到這類問題時,往往無從下手,仔細研究后并不是無章可循.筆者對一類含絕對值函數(shù)最大值中的最小值從絕對值幾何意義角度進行了研究,得出了一個簡單、實用的結(jié)論,值得推廣,以慰讀者.

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合;絕對值函數(shù);最值互嵌

含絕對值的函數(shù)通常是指有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號之內(nèi)的一類函數(shù),簡稱絕對值函數(shù). 縱觀近幾年的高考試卷，有關(guān)含絕對值函數(shù)的問題呈現(xiàn)出綜合性強、立意新穎、難度大等特點.如果絕對值函數(shù)再加上求最值，就使題目難度更加大了，讓人感到無從下手.其實，這類含有絕對值最值問題，也并非沒有規(guī)律可循.我們只要找準做題的切入點，就能把絕對值這層保護膜打開，找到題目最初的模樣，順利地找到思路并解決問題.下面就2016年浙江學(xué)考第18題的講解，來探求這一類絕對值函數(shù)最值問題簡捷解法.

1 考題呈現(xiàn)

C.(-∞,1〗 D.(-∞,2]

這是2016年4月浙江學(xué)考第18題，下面通過三個不同的視角來剖析此題.

視角一 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

此題本質(zhì)為最值互嵌問題，所以可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.因為存在x0∈2〗，使得f(x0)≥m成立，所以可將此題轉(zhuǎn)化為求M(a,b)=f(x)max≥m,在?a>0,b∈R成立，進而轉(zhuǎn)化為求M(a,b)min≥m.

視角二 利用絕對值三角不等式

因為f(x)max=max{f(1)，f(2)}=M(a,b)≥m恒成立，

視角三 利用數(shù)形結(jié)合

圖1

2 解法拓展

對此類含絕對值函數(shù)最大值中的最小值問題，我們可從絕對值幾何意義角度進行研究,把視角三的解法推廣成一般情況，可得到如下定理：

定理 設(shè)f(x)在閉區(qū)間[m,n]上連續(xù)，則

這個式子的含義即在數(shù)軸上的點f(x)∈[f(x)min,f(x)max]與b之間的距離的最大值的最小值是在當b落在區(qū)間[f(x)min,f(x)max]中點時取得的，且此時這個最大值的最小值等于區(qū)間長度的一半.

特別地當f(m)=f(n)時，我們還可以得到如下的推論：

3 解法應(yīng)用

利用以上定理與推論，我們就可以快速地求解以下題目：

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-ax-b|,x∈[0,1],其中a、b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為______.

思路分析1 構(gòu)造“平口單峰函數(shù)y=x2-x.

思路分析2 設(shè)g(x)=x2，h(x)=ax+b，則f(x)=|g(x)-h(x)|,再利用實數(shù)之差的絕對值的幾何意義求解.

圖2

4 解法延伸

例4 設(shè)f(x)=4x+1+a·2x+b,(a、b∈

通過上面的幾個問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，通過實數(shù)之差的絕對值的幾何意義解題，使一些比較復(fù)雜的絕對值問題得到巧妙解決，避免了煩瑣的分類討論.這正體現(xiàn)了一個重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算．我們抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，不僅溝通了知識的聯(lián)系，而且也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有較深刻的理解和掌握.