，，

(海軍工程大學(xué) a.振動與噪聲研究所; b.船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033)

國內(nèi)外對橡膠材料本構(gòu)模型已有大量研究，主要?dú)w為兩大類：一類是基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的本構(gòu)模型[1]，如Arruda-Boyce模型和Neo-hookean模型；另一類是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的維象理論模型，如M-R模型、多項(xiàng)式模型、Ogden模型等[2-4]。完整的橡膠超彈性本構(gòu)試驗(yàn)應(yīng)該包含能反映橡膠拉伸、壓縮、剪切狀態(tài)下的力學(xué)性能[5]。Treloar[6]最早系統(tǒng)性地研究了橡膠材料的超彈性本構(gòu)理論，設(shè)計(jì)等軸和純剪切本構(gòu)試驗(yàn)方法，較好地描述了橡膠材料的力學(xué)行為。然而，由于橡膠試驗(yàn)比較困難，對設(shè)備和試驗(yàn)環(huán)境有較高要求，目前，僅簡單拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)有國家標(biāo)準(zhǔn)[7]。本文針對船用減振器橡膠部件在實(shí)際小變形工作狀態(tài)，提出利用壓縮試驗(yàn)等效替代等軸拉伸的橡膠材料本構(gòu)試驗(yàn)方法。通過對比橡膠減振器的仿真與試驗(yàn)，分析等效等軸試驗(yàn)描述船用減振器橡膠材料本構(gòu)模型的合理性。

1 試驗(yàn)基礎(chǔ)

基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論研究橡膠材料本構(gòu)模型時(shí)，將橡膠材料的變形看成是各項(xiàng)同性的超彈性均勻變形，因而將應(yīng)變能函數(shù)表示成變形張量或主伸長率的函數(shù)[8]。

W=(I1,I2,I3)

(1)

式中：I與λ之間的關(guān)系為

(2)

其中：I1、I2、I3為3個(gè)應(yīng)變不變量；λ1、λ2、λ3為3個(gè)主方向上伸長比，伸長比定義為

(3)

其中：L為拉伸后的長度；L0為初始長度；εE為工程應(yīng)變。橡膠彈性體一般為近似不可壓縮材料，即I3可去常數(shù)或等于1[8]，對應(yīng)變能沒有影響。對于最一般的類型的均勻應(yīng)變主應(yīng)力，真實(shí)主應(yīng)力σTi為[8]

(4)

式中：pe為不可壓縮引起的靜水壓力。式(4)中的各項(xiàng)相減可消去pe，從而計(jì)算得到3個(gè)方向主應(yīng)力差值為

真實(shí)應(yīng)力與工程應(yīng)力的關(guān)系為

(6)

式中：σEi為λi方向上的工程應(yīng)力；σTi、σTj為2個(gè)不同方向上的真實(shí)應(yīng)力。對于單軸拉壓情況下，式(5)中t2=t3=0，3個(gè)方向上的伸長率為

(7)

聯(lián)立式(5)、(6)、(7)，得到橡膠材料在單軸拉伸下的應(yīng)力應(yīng)-變關(guān)系為

(8)

式中：σEu為單軸拉伸名義應(yīng)力(單位長度上的應(yīng)力)；εEu為名義應(yīng)變。

橡膠材料在等軸拉伸試驗(yàn)下，式(5)中t2=t3，t1=0，3個(gè)方向的主伸長比為

λ1=λ-2，λ2=λ3=λ

(9)

聯(lián)立式(5)、式(6)和式(9)，得到等軸拉伸下工程應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為

(10)

式中：σEb為橡膠試片等軸拉伸工程應(yīng)力；εEb為等軸拉伸工程應(yīng)變。

以應(yīng)變能函數(shù)為基礎(chǔ)，表征橡膠超彈性力學(xué)行為的超彈性本構(gòu)模型已有大量研究，如Ogden模型、Mooney-Rivlin模型、Neo-Hookean模型、Yeoh模型、多項(xiàng)式模型等，不同應(yīng)變條件下，本構(gòu)模型的擬合精度相差很大，多項(xiàng)式模型的應(yīng)變能函數(shù)為

(11)

式中：Cij為Rivlin系數(shù)，定義C00=0，i+j≤N；I1、I2分別為第一和第二Green應(yīng)變不變量；J為橡膠變形前后體積比；Di決定橡膠材料是否可壓縮；N為多項(xiàng)式階數(shù)，橡膠材料為不可壓縮材料，J=1，此時(shí)：

i+j≤N

(12)

聯(lián)立式(8)、(10)和(12)，得到單軸和等軸拉伸下，二階多項(xiàng)式本構(gòu)方程為

(13)

(14)

采用多目標(biāo)優(yōu)化方法[8]，同時(shí)擬合單軸拉伸和等軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到相應(yīng)的橡膠本構(gòu)模型參數(shù)。

對不可壓縮材料，單軸壓縮與等軸拉伸的應(yīng)力狀態(tài)相同，其應(yīng)力-應(yīng)變對應(yīng)等價(jià)關(guān)系為[9]

(15)

式中：σEc、εEc為通過單軸壓縮試驗(yàn)計(jì)算得到的橡膠材料壓縮應(yīng)力和應(yīng)變；σEb、εEb為橡膠材料等效等軸拉伸應(yīng)力和應(yīng)變。等軸拉伸試驗(yàn)可得到橡膠材料純的壓縮應(yīng)力狀態(tài)和精確的試驗(yàn)結(jié)果，但是比單軸壓縮試驗(yàn)復(fù)雜得多，國內(nèi)此試驗(yàn)條件尚不成熟。因此，本文利用橡膠單軸壓縮試驗(yàn)與等軸拉伸試驗(yàn)等價(jià)性原理，提出一種以單軸壓縮等效代替等軸拉伸的本構(gòu)試驗(yàn)方法。

2 參數(shù)識別

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

橡膠材料單軸拉伸試驗(yàn)參考GB/T 528—2009進(jìn)行[10]。橡膠樣件為啞鈴狀，見圖1。

圖1 橡膠簡單拉伸試驗(yàn)樣品

試件厚度為(2.0±0.2) mm，試件長度為(25±0.5) mm，狹窄部分的寬度為(6.0±0.4 mm)。橡膠試件的拉伸試驗(yàn)在SANS拉伸試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，采用帶有傳感器的引伸計(jì)測量大變形部分伸長量，見圖2。

圖2 橡膠單軸拉伸試驗(yàn)現(xiàn)場

橡膠材料的單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)康氖菫榱双@得完全的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，由于填充橡膠存在Mullins效應(yīng)和遲滯效應(yīng)[11]，試驗(yàn)中表現(xiàn)為載荷位移不同步。為了減小這種由于材料本身因素的影響而造成的試驗(yàn)誤差，采用準(zhǔn)靜態(tài)拉伸速率對橡膠試片進(jìn)行拉伸試驗(yàn)。單軸拉伸試驗(yàn)所獲得的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系見圖3。

圖3 橡膠單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變變化

橡膠彈性體材料的拉伸與壓縮應(yīng)力-應(yīng)變變化具有很大差別，僅有拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)不能很好地確定橡膠材料的本構(gòu)模型。因此，對減振器橡膠材料本構(gòu)描述時(shí)，必須包含能反映橡膠材料壓縮性能的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

橡膠材料的壓縮性能數(shù)據(jù)通過單軸壓縮試驗(yàn)獲得。在壓縮試驗(yàn)中，由于橡膠試件側(cè)邊無法實(shí)現(xiàn)自由膨脹，使試件無法實(shí)現(xiàn)完全的單向壓縮，因而單軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)僅可近似地替代橡膠材料的壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行橡膠材料本構(gòu)模型的擬合。這種橡膠材料單軸壓縮試驗(yàn)通常用于計(jì)算精度要求不高的工程應(yīng)用中。

單軸壓縮試驗(yàn)參考GB/T 7757—93開展[12]。橡膠試件采用如圖4所示的圓柱體，其直徑為(29.0±0.5)，高度為(12.5±0.5) mm。試件表面光滑平整，上下表面平行。試驗(yàn)在SANS試驗(yàn)機(jī)上完成，見圖5。試驗(yàn)以10 mm/min的速度壓縮試件，再以相同的速度放松試件，連續(xù)反復(fù)地壓縮和放松試件共4次，取最后一次壓縮試件的數(shù)據(jù)為有效數(shù)據(jù)。單軸壓縮試驗(yàn)所獲得的應(yīng)力-應(yīng)變變化見圖6。利用式(15)，得到等效等軸應(yīng)力-應(yīng)變變化見圖7。

圖4 圓柱體單軸壓縮試件

圖5 橡膠單軸壓縮試驗(yàn)現(xiàn)場

圖6 單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變變化

圖7 等效等軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變變化

2.2 試驗(yàn)結(jié)果擬合

利用最小二乘法同時(shí)擬合式(13)和式(14)，比較階次N不同時(shí)本構(gòu)模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合程度，發(fā)現(xiàn)當(dāng)N=2時(shí)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與多項(xiàng)式本構(gòu)模型已經(jīng)有較高的擬合度，擬合曲線見圖8。

圖8 二階多項(xiàng)式模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合

如圖8所示，二階多項(xiàng)式模型與單軸拉伸等效等軸拉伸試驗(yàn)曲線擬合接近度較高，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)幾乎重合，因而選擇二階多項(xiàng)式模型作為減振器橡膠材料的超彈性本構(gòu)模型是合理的。擬合結(jié)果得到二階多項(xiàng)式模型的參數(shù)如下。

C10=0.278 32 MPa；

C01=0.467 64 MPa；

C20=-5.142 4×10-2MPa；

C11=0.389 94 MPa；

C02=-0.464 08 MPa。

3 有限元模型建立

船用橡膠減振器幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，有限元建模較為困難且容易產(chǎn)生計(jì)算誤差，因此有必要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)簡化。在利用Pro/E建立幾何模型時(shí)，將對減振器力學(xué)性能影響較小的結(jié)構(gòu)忽略(如包覆在金屬表面，防止金屬腐蝕的橡膠薄層等)，將幾何模型保存為sat格式導(dǎo)入到ABAQUS中，并賦予部件材料屬性。

已知船用橡膠減振器的金屬件為Q235，材料性能E=210 GPa，μ=0.3。減振器橡膠部件采用C3D8H八節(jié)點(diǎn)六面體雜交三維應(yīng)力單元，支撐軸和限位器等金屬部件采用C3D8R非協(xié)調(diào)八節(jié)點(diǎn)六面體單元[13]。

橡膠減振器在生產(chǎn)過程中，橡膠材料與金屬件表面經(jīng)過特殊的硫化處理，其接觸面粘接強(qiáng)度甚至比橡膠材料本身強(qiáng)度更高，此外，金屬件強(qiáng)度遠(yuǎn)大于橡膠材料的強(qiáng)度，因此，可將橡膠與金屬件接觸面定義為綁定約束。建立與實(shí)際工況相似的有限元分析模型見圖9。

圖9 橡膠減振器有限元簡化模型

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

船用橡膠減振器的靜態(tài)壓縮試驗(yàn)在美國MTS液壓試驗(yàn)機(jī)上完成，靜態(tài)測試采用的是力控制，將減振器下端與夾具擰緊，上端用裝有力傳感器的壓頭進(jìn)行壓縮加載，見圖10。試驗(yàn)開始前，將力值和位移值清零。由于橡膠材料具有遲滯效應(yīng)和Mullins效應(yīng)，加載卸載路徑不重合，會形成閉合的遲滯環(huán)。不能單獨(dú)以某一條加載或卸載曲線作為衡量橡膠減振器靜態(tài)性能的指標(biāo)，需要綜合考慮加載和卸載的影響。循環(huán)加載、卸載4次，得到遲滯回線見圖11。

圖10 橡膠減振器靜態(tài)試驗(yàn)現(xiàn)場

圖11 橡膠減振器力-位移的變化

以遲滯中線作為衡量減振器靜態(tài)性能的指標(biāo)，得到橡膠減振器的靜剛度為786.44 N/mm。有限元模型中，在橡膠減振器上端施加3 000 N向下的軸向力，得到靜態(tài)仿真結(jié)果見圖12。

圖12 3 000 N垂向壓力下仿真結(jié)果

從圖12可以看出，橡膠減振器的垂向靜變形為3.710 mm，計(jì)算得到靜剛度為808.63 N/mm，與試驗(yàn)結(jié)果偏差在3%左右，與實(shí)測值較為接近。

船用橡膠減振器垂向力-位移仿真及試驗(yàn)對比見圖13。可以看出，橡膠減振器小變形時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果幾近相同；當(dāng)靜變形逐漸增大到大于4 mm時(shí)，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的偏差逐漸增大。分析偏差隨垂向位移增大的原因是，有限元模型是將橡膠材料當(dāng)做理想的超彈性不可壓縮材料，而實(shí)際橡膠材料除具有超彈性外，還具有粘彈性，橡膠材料變形量增大，蠕變性能和粘彈性對力學(xué)性能的影響逐漸突出。

圖13 橡膠減振器靜態(tài)仿真與試驗(yàn)對比

5 結(jié)論

根據(jù)單軸壓縮與等軸拉伸等價(jià)關(guān)系，提出了以單軸壓縮等效代替等軸拉伸的本構(gòu)試驗(yàn)方法。橡膠減振器仿真和試驗(yàn)結(jié)果對比表明，以單軸壓縮試驗(yàn)獲取橡膠材料本構(gòu)參數(shù)的方法是合理的。與已有橡膠材料本構(gòu)試驗(yàn)方法相比，本方法對試驗(yàn)設(shè)備要求更低，操作更簡便，適用于一般橡膠產(chǎn)品的本構(gòu)模型研究。但由于壓縮試件內(nèi)摩擦力作用，單軸壓縮無法獲取純的壓縮應(yīng)力狀態(tài)和精確的試驗(yàn)結(jié)果，因而在精確研究橡膠材料本構(gòu)模型時(shí)，需要進(jìn)一步對單軸壓縮試件內(nèi)摩擦力特性進(jìn)行具體分析。