徐文愷，趙 鵬，寧麗巧，張 輝

(1.北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044；2.山東建筑大學 交通工程學院，山東 濟南 250101)

城市軌道交通網(wǎng)絡末班車時刻表調(diào)整是指網(wǎng)絡中某線路末班車發(fā)生延誤時，通過調(diào)整末班車在換乘站的到發(fā)時刻，協(xié)調(diào)不同線路末班車在換乘站的銜接關系，實現(xiàn)一定目標下的系統(tǒng)最優(yōu)。末班車間的銜接關系決定著城市軌道交通網(wǎng)絡在運營結(jié)束階段的換乘可達性[1]，在末班車運行延誤的條件下，網(wǎng)絡換乘可達性的變化會導致?lián)Q乘乘客錯失計劃換乘，從而無法經(jīng)由城市軌道交通網(wǎng)絡完成出行。因此，當末班車運行發(fā)生延誤時，有必要結(jié)合乘客需求和運營管理要求，及時調(diào)整網(wǎng)絡末班車時刻表，盡可能保證乘客的正常出行。隨著乘客對城市軌道交通系統(tǒng)服務水平要求的提高，該問題具有重要的研究價值和現(xiàn)實意義。

目前，國內(nèi)外學者主要從末班車換乘銜接的角度研究網(wǎng)絡末班車時刻表問題，期望得到一個更優(yōu)的網(wǎng)絡末班車計劃時刻表，但針對網(wǎng)絡末班車時刻表調(diào)整問題的研究較少。文獻[2]根據(jù)網(wǎng)絡中各線路和換乘站的重要度系數(shù)確定網(wǎng)絡的主協(xié)調(diào)線路和換乘站，以乘客在換乘站的總候車時間最小化為目標，根據(jù)重要度從大到小依次求出各線路末班車在各換乘站的到發(fā)時刻。文獻[3]通過選取主導銜接關系和主協(xié)調(diào)換乘站，以成功實現(xiàn)換乘的末班車乘客數(shù)量最大化為目標構(gòu)建網(wǎng)絡末班車銜接方案優(yōu)化模型，并將問題轉(zhuǎn)化為最大生成樹問題，借鑒Kruskal算法推算出協(xié)同優(yōu)化的網(wǎng)絡末班車時刻表。文獻[4]結(jié)合路徑選擇模型，以乘客換乘等待時間最小化和換乘失敗乘客數(shù)量最小化為目標，設計一種遺傳算法求解出各線路末班車在始發(fā)站的發(fā)車時刻。文獻[5-6]通過選取網(wǎng)絡的關鍵換乘方向，以乘客換乘等待時間最小化和成功換乘銜接關系數(shù)量最大化為目標構(gòu)建網(wǎng)絡末班車協(xié)同優(yōu)化模型。文獻[7]設計一種啟發(fā)式算法優(yōu)化網(wǎng)絡末班車時刻表，案例分析表明該算法明顯優(yōu)于模擬退火算法和遺傳算法。文獻[8]建立以乘客總體換乘不滿意度最小、換乘成功的乘客數(shù)量最多和各線路方向末班車結(jié)束運營時間最早為目標的確定環(huán)境下的末班車時刻表銜接優(yōu)化模型，設計NSGA-II算法求解。文獻[9]從網(wǎng)絡末班車時段出發(fā)，構(gòu)建以總乘客換乘等待時間最小化為目標的末班車時段時刻表協(xié)同優(yōu)化模型。

總之，目前絕大多數(shù)關于網(wǎng)絡末班車問題的研究集中于網(wǎng)絡末班車計劃時刻表的編制優(yōu)化，很少涉及網(wǎng)絡末班車運營過程中遭遇突發(fā)事件延誤后的時刻表調(diào)整問題。但無論是網(wǎng)絡末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化問題還是網(wǎng)絡末班車時刻表調(diào)整問題，換乘乘客都是研究的重點。本文從乘客的角度出發(fā)，以實現(xiàn)換乘的乘客數(shù)量最大化為目標；從運營的角度出發(fā)，以調(diào)整時刻表與計劃時刻表的偏離程度最小化為目標構(gòu)建網(wǎng)絡末班車時刻表調(diào)整模型。通過ε-constraint法[10-11]，將模型轉(zhuǎn)化為單目標混合整數(shù)規(guī)劃模型，并通過不斷調(diào)整ε取值，求出相應的近似Pareto最優(yōu)解，即網(wǎng)絡末班車的時刻表調(diào)整方案。

1 網(wǎng)絡末班車時刻表調(diào)整模型

在實際運輸生產(chǎn)過程中，當發(fā)生列車運行延誤時，調(diào)度管理人員往往采用趕點、跨站停車、扣車、小交路等措施使列車盡快恢復正點運行，而較少考慮對乘客的影響[12-14]。此外，既有研究中的末班車時刻表模型大多是基于預先確定的主協(xié)調(diào)線路或關鍵換乘方向。本文所構(gòu)建的模型結(jié)合網(wǎng)絡末班車間換乘客流分布，不選擇主協(xié)調(diào)線路或關鍵換乘方向，從乘客以及全局優(yōu)化的角度，協(xié)調(diào)延誤條件下各線路末班車間的銜接關系。

1.1 符號和變量

模型的符號和參數(shù)定義如下：

模型的決策變量定義如下：

1.2 末班車銜接關系

根據(jù)各線路末班車在換乘站的實際到發(fā)時刻，每一個銜接關系c存在以下兩種情景：

圖1 換乘銜接成功

圖2 換乘銜接失敗

( 1 )

( 2 )

( 3 )

1.3 優(yōu)化模型

針對網(wǎng)絡末班車問題，網(wǎng)絡換乘可達性對乘客出行有著十分重要的影響。本模型從乘客和運營兩個角度出發(fā)，建立目標函數(shù)。

( 4 )

( 5 )

式( 4 )從乘客的角度出發(fā)，以換乘成功乘客數(shù)量最大化為優(yōu)化目標。從運營的角度出發(fā)，當發(fā)生列車運行延誤時，調(diào)度管理人員須盡快使列車運行恢復至計劃時刻表，因此，式( 5 )表示調(diào)整時刻表與計劃時刻表的偏離程度最小化。該目標也有利于降低調(diào)整時刻表對非換乘乘客的影響。

模型約束如下：

s.t.

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式( 6 )、式( 7 )為安全性約束，各線路末班車在區(qū)間的運行時間不得小于最短運行時間，在車站的停站時間不得小于最短停站時間[15]。式( 8 )為靈活性約束，對于發(fā)生列車延誤事件后還未從始發(fā)站發(fā)出的末班車，允許調(diào)整其在始發(fā)站的實際發(fā)車時刻。式( 9 )、式(10)即式( 2 )、式( 3 )，用于判斷各線路末班車在換乘站的銜接關系是否成立。式(11)為初始延誤約束，用于輸入列車的延誤時間及位置。式(12)～式(14)為實際問題決策變量約束。

2 模型求解

本文所構(gòu)建的雙目標優(yōu)化模型旨在最大化換乘成功乘客數(shù)量的同時最小化調(diào)整時刻表與計劃時刻表的偏離程度，期望得到一組近似Pareto最優(yōu)解以體現(xiàn)兩個目標函數(shù)之間的均衡，可以直觀地作用于調(diào)度管理人員的決策過程。多目標優(yōu)化模型求解時需要轉(zhuǎn)換為單目標模型，而常用的權(quán)重系數(shù)法存在權(quán)重系數(shù)難以確定的問題。因此，本文采用ε-constraint法求解近似Pareto最優(yōu)解。

選取目標函數(shù)式( 5 )作為ε-constraint，將式( 5 )轉(zhuǎn)換為式(15)。

(15)

式中：F*為僅考慮目標函數(shù)式( 5 )的條件下模型求得的最優(yōu)值；ε為調(diào)度管理人員對調(diào)整時刻表與計劃時刻表偏離程度的容忍度，0≤ε≤εmax，εmax為調(diào)度管理人員對偏離程度的最大容忍度。

采用ε-constraint法，將本文所構(gòu)建模型轉(zhuǎn)換為以換乘成功乘客數(shù)量最大化為目標的單目標混合整數(shù)線性規(guī)劃模型(MILP)，通過改變ε的取值，使用Cplex軟件編程求解出相應的近似Pareto最優(yōu)解。模型的求解過程如圖3所示。

圖3 模型求解

3 案例分析

本文以北京地鐵網(wǎng)絡為研究對象，驗證模型的有效性。截至2017年6月底，除機場線外，北京地鐵網(wǎng)絡共包含18條雙線線路，53座換乘站，路網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖4所示。由于客流特征等因素的不同，不同的線路有不同的運營時間范圍，各線路的末班車計劃時刻表詳見北京地鐵官方網(wǎng)站。

圖4 北京地鐵路網(wǎng)(不包括機場線)

換乘客流量是決定一個末班車銜接關系是否要滿足的關鍵因素。但清分后的地鐵自動售檢票(AFC)數(shù)據(jù)只能給出一段時間內(nèi)每一個換乘方向的換乘客流量，無法準確得到來自某列車的換乘客流量。因此，在現(xiàn)有的技術條件下我們無法準確獲得來自末班車的換乘客流量。本文以各線路最后30 min的AFC數(shù)據(jù)為基礎生成在各個換乘站從末班車下車去往其他線路的換乘客流量。由于本文所提出的模型并不需要提前選取實際路網(wǎng)中的主協(xié)調(diào)線路或關鍵換乘方向，所以基于AFC數(shù)據(jù)生成的換乘客流數(shù)據(jù)雖然與實際不符，但并不影響驗證模型的有效性。

3.1 隨機延誤情景分析

為驗證模型的有效性，本文隨機生成若干延誤情景，每個延誤情景隨機選擇北京地鐵網(wǎng)絡中的某條線路，假設該線路的末班車發(fā)生延誤，延誤時間設置為3～10 min。具體延誤情景見表1。

表1 延誤情景

通過在3.1 GHz CPU, 8 GB RAM臺式電腦上使用Cplex軟件編程求解每一個末班車延誤問題，所有問題均在2 s內(nèi)求得最優(yōu)解，可以滿足實際運輸生產(chǎn)過程中實時性的要求。為驗證模型的有效性，設置對比方案，各方案詳細求解結(jié)果見表2，括號中的百分比代表相對于方案A的提高比例。

方案A：列車運行延誤后不進行任何調(diào)整，仍然按照計劃時刻表中的區(qū)間運行時間和停站時間運行。

表2 求解結(jié)果

求解結(jié)果表明，在任意延誤情景下，方案B都不比無調(diào)整的方案A差，而方案C都要優(yōu)于方案A。這也說明在末班車延誤的條件下，調(diào)度管理人員一定要及時響應，科學調(diào)整末班車時刻表，保證系統(tǒng)的服務水平。相對于方案B，方案C的優(yōu)化效果更加明顯：在換乘成功乘客數(shù)量上，方案C與方案A相比有1.95%～7.61%的增長，而方案B最高也僅有2.06%的提高。方案C可以明顯提高末班車延誤后系統(tǒng)的服務水平，更好地保證乘坐末班車換乘乘客的正常出行。求解結(jié)果證明了本文所提出方法的準確性和有效性。

3.2 近似Pareto最優(yōu)

Pareto最優(yōu)是指資源有限的條件下一種理想的資源分配狀態(tài)，當多目標模型中某個目標函數(shù)的函數(shù)值變優(yōu)時必然會導致其他目標函數(shù)的函數(shù)值變差，此時對應的解即Pareto最優(yōu)解，Pareto最優(yōu)解也是資源利用效率最高的解。在給定路網(wǎng)及延誤情景的條件下，調(diào)度管理人員對調(diào)整時刻表與計劃時刻表偏離程度的容忍度越高，調(diào)整時刻表與計劃時刻表的偏離程度越大，相反，各線路末班車在換乘站實現(xiàn)換乘銜接的可能性越大。本文以延誤情景1為例，通過改變ε的取值(εmax=0.5，Δε=0.05)，求出相應的近似Pareto最優(yōu)解，見表3。繪制換乘成功乘客數(shù)量與偏離程度散點圖，如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)一個明顯的趨勢：隨著偏離程度的增加，換乘成功乘客數(shù)量明顯提高。而每一個近似Pareto最優(yōu)解代表一個時刻表調(diào)整方案，調(diào)度管理人員在實際運輸生產(chǎn)過程中要權(quán)衡各方案的優(yōu)劣，并選擇一個最有利的方案。

表3 近似Pareto最優(yōu)解(情景1)

圖5 換乘成功乘客數(shù)量與偏離程度散點圖

為輔助調(diào)度管理人員決策，本文引入?yún)?shù)總運行時間tTotal，是指所有線路末班車從始發(fā)站到終點站的運行時間之和。

(16)

根據(jù)式(16)計算無調(diào)整方案A的總運行時間為99 900 s，計算各近似Pareto最優(yōu)解的總運行時間見表3。以高偏離容忍度(ε=0.5)求出的時刻表調(diào)整方案，換乘成功乘客數(shù)量比方案A增加515 (+6.03%)人，而總運行時間僅增加1 227 s。考慮到北京地鐵包括18條雙線線路、36列末班車，平均每列末班車運行時間僅增加34 s，幾乎可以忽略不計。這也說明調(diào)整時刻表對非換乘乘客的影響較小。在其他延誤情景下，也得到了相似的結(jié)果。因此，當網(wǎng)絡中發(fā)生末班車運行延誤時，調(diào)度管理人員應該更多的從乘客的角度出發(fā)，選擇換乘成功乘客數(shù)量更多的時刻表調(diào)整方案。

4 結(jié)論

在網(wǎng)絡化運營條件下，換乘銜接質(zhì)量是衡量城市軌道交通服務水平的重要指標。而針對末班車銜接優(yōu)化問題，末班車銜接合理與否直接關系到網(wǎng)絡換乘可達性的高低。一旦換乘乘客錯過其銜接線路的末班車，則意味著該乘客無法通過軌道交通系統(tǒng)完成出行，將嚴重降低系統(tǒng)的服務水平。

本文針對城市軌道交通網(wǎng)絡末班車延誤問題，以換乘成功乘客數(shù)量最大化和調(diào)整時刻表與計劃時刻表偏離程度最小化為目標構(gòu)建了末班車時刻表調(diào)整模型，并采用ε-constraint法將模型轉(zhuǎn)換為單目標混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，使用Cplex軟件可快速求出最優(yōu)解。在以北京地鐵網(wǎng)絡為研究對象的案例分析中，隨機生成末班車延誤情景，使用模型求解出的調(diào)整時刻表能夠使換乘成功乘客數(shù)量增加1.95%～7.61%。在給定延誤情景的條件下，改變ε取值，可使用模型求得相應的近似Pareto最優(yōu)解，為調(diào)度管理人員提供決策支持。

案例分析結(jié)果表明，隨著調(diào)整時刻表與計劃時刻表偏離程度的增加，換乘成功乘客數(shù)量明顯增加，而末班車的運行時間沒有明顯變化：ε=0.5時，換乘成功乘客數(shù)量增加了6.03%，而平均每列末班車的運行時間僅增加了34 s，對非換乘乘客影響較小。因此，隨著乘客對軌道交通系統(tǒng)服務水平要求的日益提高，當網(wǎng)絡中發(fā)生末班車延誤時，調(diào)度管理人員應該在整合分析歷史客流數(shù)據(jù)、末班車延誤數(shù)據(jù)的基礎上，合理確定ε取值，選擇更有利于乘客的末班車時刻表調(diào)整方案。