自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法

王民康，孟海螺，秦紅磊

(1.北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191；2.中國(guó)兵器工業(yè)集團(tuán)第二○五研究所 總體五部，西安 710065)

0 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)由于其全球性、全天候、全時(shí)段、實(shí)時(shí)、高精度的特性得到了廣泛的應(yīng)用，而隨著時(shí)代的發(fā)展，GNSS不斷在各個(gè)領(lǐng)域衍生出新的應(yīng)用。尤其是1996年美國(guó)通訊委員會(huì)頒布了“E911”的行政性命令，要求任何時(shí)間、地點(diǎn)都能通過(guò)手機(jī)追蹤到用戶，使得基于位置的服務(wù)(location based service，LBS)逐漸受到了重視并且需求越來(lái)越大。LBS主要面向的是如手機(jī)和個(gè)人數(shù)字助理等終端，在這些應(yīng)用中，首次定位時(shí)間(time to first fix，TTFF)、成本、功耗成為了接收機(jī)的嚴(yán)格指標(biāo)?，F(xiàn)有的LBS技術(shù)中，主要有到達(dá)時(shí)間(time of arrival，TOA)、入射角(arrival of angle，AOA)、輔助GNSS(assisted-GNSS，A-GNSS)以及用于室內(nèi)定位的無(wú)線保真(wireless fidelity，WiFi)等；這其中，A-GNSS既保留了傳統(tǒng)GNSS技術(shù)的優(yōu)良特性，又有快速定位和高靈敏的優(yōu)勢(shì)，得到了最為廣泛的應(yīng)用[1]。

A-GNSS由輔助服務(wù)器通過(guò)通信網(wǎng)絡(luò)提供給接收機(jī)輔助信息，包括時(shí)間、位置、衛(wèi)星星歷和歷書(shū)等數(shù)據(jù)，以此來(lái)輔助解算相關(guān)信息，降低首次定位時(shí)間。傳統(tǒng)接收機(jī)中，衛(wèi)星的發(fā)射時(shí)間是計(jì)算全偽距和衛(wèi)星位置的前提條件；而A-GNSS中衛(wèi)星發(fā)射時(shí)間可以由精時(shí)間輔助或者解調(diào)導(dǎo)航電文得到。當(dāng)只能得到一個(gè)粗略的輔助時(shí)間，并且無(wú)法解調(diào)得到衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射時(shí)間時(shí)，衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)時(shí)刻的具體位置將不能確定，也就是產(chǎn)生了粗時(shí)段導(dǎo)航問(wèn)題。為了解決粗時(shí)段導(dǎo)航問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]提出了Range Fit方法，引入Lambda-fraction函數(shù)來(lái)求解衛(wèi)星發(fā)射時(shí)刻的毫秒整數(shù)部分；但其要求提供一個(gè)誤差小于150 km的初始用戶位置，且沒(méi)有解決毫秒整數(shù)的模糊問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]提出一種重構(gòu)全偽距的方法來(lái)解決毫秒整數(shù)的模糊問(wèn)題，通過(guò)引入一個(gè)新的變量即粗時(shí)間誤差到導(dǎo)航定位方程中來(lái)解決粗時(shí)間問(wèn)題；算法要求提供一個(gè)100 km誤差以內(nèi)的初始位置和1 min誤差以內(nèi)的初始時(shí)間。文獻(xiàn)[4]在此基礎(chǔ)上，提出了一種不需要初始位置的粗時(shí)段導(dǎo)航算法，先驗(yàn)位置由多普勒定位算出。文獻(xiàn)[5-6]的進(jìn)一步研究使得初始時(shí)間的誤差放寬到12 h，甚至幾天。

但是，相對(duì)于常規(guī)導(dǎo)航定位解算方程，粗時(shí)段導(dǎo)航方程存在著定位精度較差的問(wèn)題[5]。粗時(shí)段導(dǎo)航方程在構(gòu)建狀態(tài)矩陣時(shí)將偽距速率設(shè)為恒定值，而由于衛(wèi)星加速度和衛(wèi)星時(shí)鐘速率變化率的存在，迭代解算時(shí)會(huì)引入線性化誤差。文獻(xiàn)[7]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨著粗時(shí)誤差的增大，粗時(shí)導(dǎo)航解算的定位誤差也隨之增大。此外，文獻(xiàn)[8]證明了由于粗時(shí)導(dǎo)航方程中添加了一個(gè)額外的狀態(tài)，使得所有的精度衰減因子(dilution of precision，DOP)都會(huì)大于或等于原始的四狀態(tài)導(dǎo)航方程對(duì)應(yīng)的值，從而使得最終的定位誤差變大。

本文針對(duì)粗時(shí)段導(dǎo)航解算中存在的定位誤差問(wèn)題，提出一種自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法。該算法通過(guò)每次迭代時(shí)更新衛(wèi)星發(fā)射時(shí)間和位置以及偽距速率來(lái)減小線性化誤差，并在解出精時(shí)間后重新推入四狀態(tài)導(dǎo)航方程以解決DOP問(wèn)題。

1 粗時(shí)段導(dǎo)航

(1)

因此，新的偽距殘差可以表示為

(2)

式中：δxxyz為三維向量，是δx的空間元素[δx，δy，δz]T；ε(k)為測(cè)量誤差；δb為公共偏差的狀態(tài)更新量。

那么擴(kuò)展到N顆可用衛(wèi)星的情況，可得一個(gè)新的矩陣方程組

δρ=Hδx+ε

(3)

從幾何矩陣H中可以看出，至少需要獨(dú)立的5行變量才能求解出δx；因此粗時(shí)段導(dǎo)航需要至少5顆不同的可用衛(wèi)星。

然而，由于多數(shù)情況下完整的偽距測(cè)量值ρ(k)沒(méi)有得到，僅能由捕獲或跟蹤得到擴(kuò)頻碼碼相位值，測(cè)量偽距將是一個(gè)亞毫秒值。由于未知的常見(jiàn)偏差的存在，使得粗時(shí)段導(dǎo)航還存在著毫秒整數(shù)模糊的問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]給出一種重構(gòu)全偽距的方法來(lái)解決整毫秒模糊問(wèn)題，流程如下：

(4)

3)計(jì)算按照仰角排序列表中的下一顆衛(wèi)星k的整毫秒偽距值N(k)。其重構(gòu)的全偽距和其期望偽距的關(guān)系為

(5)

式(5)和式(4)相減可得：

(6)

式(6)消除了公共偏差b。當(dāng)-d(k)+ε(k)-d(0)+ε(0)的絕對(duì)值小于0.5個(gè)光毫秒時(shí)，k號(hào)衛(wèi)星的整毫秒偽距可以估計(jì)為

(7)

從而得到k號(hào)衛(wèi)星的全偽距ρ(k)=N(k)+z(k)。

4)更新參考衛(wèi)星為上一個(gè)計(jì)算完的衛(wèi)星，然后到步驟3)，計(jì)算下一顆衛(wèi)星的全偽距。

要使得重構(gòu)全偽距算法有效，從式(7)中可知，先驗(yàn)位置和時(shí)間引起的誤差需要在150 km以內(nèi)。通常在A-GNSS系統(tǒng)中，先驗(yàn)的位置和時(shí)間信息可由通信網(wǎng)絡(luò)提供，位置可通過(guò)Cell-ID等技術(shù)得到，一般精度可達(dá)3 km；而GSM網(wǎng)絡(luò)可提供1～2 s的時(shí)間精度，可滿足上述約束條件。一般來(lái)講，100 km以內(nèi)的先驗(yàn)位置誤差和1 min以內(nèi)的先驗(yàn)時(shí)間誤差可以使得上述重構(gòu)全偽距算法一直有效。

2 粗時(shí)段導(dǎo)航算法中的定位誤差分析

2.1 粗時(shí)段導(dǎo)航中的線性化誤差

粗時(shí)段導(dǎo)航通過(guò)添加粗時(shí)間這個(gè)新的狀態(tài)來(lái)解決粗時(shí)間的問(wèn)題。在第1節(jié)中可以看到粗時(shí)段導(dǎo)航的4個(gè)步驟，當(dāng)計(jì)算得到狀態(tài)更新向量之后，將會(huì)調(diào)整先驗(yàn)狀態(tài)，也就是先驗(yàn)位置、公共偏差和粗時(shí)間。幾何矩陣H中的接收機(jī)與衛(wèi)星連線單位矢量e(k)會(huì)依據(jù)先驗(yàn)狀態(tài)進(jìn)行更新；而一般來(lái)講，粗時(shí)段導(dǎo)航中，衛(wèi)星的位置在每次迭代中不會(huì)更新，依靠幾何矩陣H中第5個(gè)狀態(tài)v(k)來(lái)補(bǔ)償衛(wèi)星位置引起的誤差。通常v(k)也不會(huì)每次迭代都更新，而是在粗時(shí)段導(dǎo)航定位解算過(guò)程中保持不變。衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)存在加速度和加加速度，速度并非恒定值，對(duì)衛(wèi)星的速度進(jìn)行建模，可以表示為

(8)

式中：v(tm)為衛(wèi)星在時(shí)刻tm時(shí)的速度；v0為參考時(shí)刻的速度；t為時(shí)間單位；a(t)為與時(shí)間有關(guān)的加速度。

表1給出了在不同的粗時(shí)誤差下五狀態(tài)粗時(shí)段導(dǎo)航的3維定位精度比較，所采用的數(shù)據(jù)為62 MHz采樣的實(shí)際GPS L1靜態(tài)數(shù)據(jù)，每隔1 s時(shí)間獲取一次碼相位測(cè)量數(shù)據(jù)，來(lái)進(jìn)行粗時(shí)段導(dǎo)航定位。

從表1中可知：當(dāng)粗時(shí)誤差較小時(shí)可以得到較好的定位精度；當(dāng)粗時(shí)誤差較大時(shí)，定位誤差增大，定位結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。這與文獻(xiàn)[7]中結(jié)果類(lèi)似。可見(jiàn)粗時(shí)段導(dǎo)航中的線性化誤差不能忽略。

表1 不同粗時(shí)誤差下粗時(shí)段導(dǎo)航算法定位精度

2.2 粗時(shí)間精度衰減因子

粗時(shí)段導(dǎo)航由于在幾何矩陣H中多加了1個(gè)狀態(tài)，進(jìn)而影響了精度衰減因子，使得當(dāng)衛(wèi)星數(shù)較少時(shí)粗時(shí)段導(dǎo)航幾何精度衰減因子(geometric dilution of precision，GDOP)比四狀態(tài)的GDOP大；而衛(wèi)星數(shù)較多時(shí)二者差距較小。由式(3)可以得到狀態(tài)更新量估計(jì)值

(9)

可見(jiàn)，定位誤差與幾何矩陣相關(guān)。而由于幾何矩陣增加了1個(gè)狀態(tài)，會(huì)使得所有的DOP值大于或等于原來(lái)的值。定義GDOP[9]為

(10)

式中：G=(HTH)-1為權(quán)系數(shù)陣；trace()為求矩陣跡的運(yùn)算。

(11)

式中：M=HTH；P=HTv；N=vTv。

進(jìn)一步展開(kāi)可得

(M-PN-1PT)-1=M-1+
M-1P(N-PTM-1P)-1PTM-1

(12)

由于式(12)右邊第二部分為半正定矩陣，其跡大于等于0；因此有

(13)

圖1 四狀態(tài)導(dǎo)航和五狀態(tài)粗時(shí)段導(dǎo)航可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)目和HDOP值比較

圖1展示了常規(guī)四狀態(tài)導(dǎo)航和五狀態(tài)粗時(shí)段導(dǎo)航各自的水平精度衰減因子(horizontal dilution of precision，HDOP)的對(duì)比，同時(shí)給出了可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)量的變化趨勢(shì)。從圖中可以看到五狀態(tài)促使到導(dǎo)航的HDOP總是大于或等于四狀態(tài)導(dǎo)航的HDOP，滿足理論分析?？捎眯l(wèi)星多的情況下二者HDOP接近，可用衛(wèi)星少時(shí)二者差距較大；從而導(dǎo)致五狀態(tài)粗時(shí)段導(dǎo)航定位誤差比傳統(tǒng)四狀態(tài)導(dǎo)航的定位誤差大：因此在解決粗時(shí)段導(dǎo)航問(wèn)題時(shí)不能忽略DOP問(wèn)題。

3 自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法

為了解決粗時(shí)段導(dǎo)航中的線性化誤差和DOP問(wèn)題，以盡可能地提高其定位精度，本文提出一種自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法。在每次得到狀態(tài)更新解之后，重新計(jì)算衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射時(shí)間，并重新計(jì)算衛(wèi)星位置和速度，更新幾何矩陣H，逐次逼近最終解，解決線性化誤差。在五狀態(tài)解算完成之后，檢驗(yàn)衛(wèi)星數(shù)和DOP，如果不滿足要求，自適應(yīng)推入四狀態(tài)導(dǎo)航方程重新解算，解決DOP問(wèn)題。圖2給出了該算法的實(shí)現(xiàn)流程。

算法具體步驟如下：

1)由輔助網(wǎng)絡(luò)得到先驗(yàn)位置和一個(gè)粗略的時(shí)間作為初始解，設(shè)初始公共偏差為0。

2)利用當(dāng)前的時(shí)間解和重構(gòu)的全偽距計(jì)算各衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射時(shí)間，并由輔助星歷計(jì)算各衛(wèi)星的位置、速度、衛(wèi)星時(shí)鐘偏差速率和偽距誤差校正量。再利用當(dāng)前用戶位置解和衛(wèi)星位置計(jì)算預(yù)期偽距，計(jì)算誤差校正后的測(cè)量全偽距。

圖2 自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法流程

3)對(duì)式(3)引入加權(quán)系數(shù)，使得其誤差的方差進(jìn)一步減小，可得

WH·δx=Wδρ

(14)

δx=(HTCH)-1H-1C·δρ

(15)

式中：C=WTW；H為改進(jìn)的五狀態(tài)幾何矩陣。五狀態(tài)幾何矩陣H表示為

(16)

也就是說(shuō)，在每次最小二乘運(yùn)算迭代時(shí)會(huì)根據(jù)當(dāng)前計(jì)算得到的用戶位置解和時(shí)間解更新五狀態(tài)幾何矩陣H各參數(shù)。同理，每次迭代時(shí)的偽距殘差為

(17)

4)計(jì)算后驗(yàn)殘差，如果足夠小，則輸出當(dāng)前解最后用戶的位置和時(shí)間解結(jié)果；否則，根據(jù)當(dāng)前解重新計(jì)算各衛(wèi)星信號(hào)發(fā)射時(shí)間，返回步驟2)。

5)由于五狀態(tài)導(dǎo)航的DOP值始終大于或等于四狀態(tài)導(dǎo)航；當(dāng)由上述加權(quán)五狀態(tài)粗時(shí)段導(dǎo)航方程求得用戶位置和時(shí)間解之后，將其解結(jié)果作為四狀態(tài)的初始狀態(tài)，進(jìn)行四狀態(tài)導(dǎo)航方程解算。文獻(xiàn)[10]表明，當(dāng)衛(wèi)星發(fā)射時(shí)間精確到10 ms以內(nèi)時(shí)可以保證四狀態(tài)導(dǎo)航方程有效；從而可以通過(guò)將五狀態(tài)粗時(shí)段導(dǎo)航方程再次推入到四狀態(tài)導(dǎo)航方程中進(jìn)行解算，來(lái)降低粗時(shí)段導(dǎo)航中的各DOP值，進(jìn)而提高定位精度。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法的效果，本文進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。采用自研多模多頻點(diǎn)GNSS信號(hào)采集器獲取實(shí)際環(huán)境中的GPS L1的靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行算法驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

信號(hào)的采樣率為62 MHz，中頻為4.17 MHz。算法為每隔1 s獲取一次碼相位測(cè)量量，碼相位由高靈敏捕獲模塊得到，并經(jīng)過(guò)碼相位精化方法提高捕獲所得碼相位的精度。先驗(yàn)位置給定為距離信號(hào)采集地點(diǎn)約430 m的位置，信號(hào)采集處的精確位置事先由高精度載波相位差分接收機(jī)測(cè)得，分別取粗時(shí)誤差為0、10、20、30、40、50、60 s來(lái)驗(yàn)證本文算法在不同粗時(shí)誤差下的定位性能。

圖3給出了當(dāng)粗時(shí)誤差為60 s時(shí)，自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法在緯度、經(jīng)度和高度3個(gè)方向上的定位結(jié)果，并給出了與真值的對(duì)比。

圖4給出了粗時(shí)誤差為60 s時(shí)自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法和無(wú)粗時(shí)誤差時(shí)四狀態(tài)導(dǎo)航定位結(jié)果的均方根誤差(root mean square error，RMSE)的對(duì)比。此處四狀態(tài)導(dǎo)航解算中所用碼相位結(jié)果與粗時(shí)段導(dǎo)航中所用碼相位相同。

圖3 粗時(shí)誤差為60 s時(shí)改進(jìn)粗時(shí)段導(dǎo)航算法定位結(jié)果

圖4 粗時(shí)誤差60 s時(shí)自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航與無(wú)粗時(shí)誤差四狀態(tài)導(dǎo)航定位精度對(duì)比

從圖3和圖4可以看出：自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航在粗時(shí)誤差大到60 s時(shí)仍能獲得較高精度的定位結(jié)果；經(jīng)度和緯度方向上定位結(jié)果的RMSE均大約為2.2 m左右，高度方向上定位結(jié)果的RMSE大約為5.2 m左右，并且該定位結(jié)果與無(wú)粗時(shí)誤差時(shí)常規(guī)四狀態(tài)導(dǎo)航定位結(jié)果基本相同。可見(jiàn)，自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法在有較大粗時(shí)誤差時(shí)仍能獲得與常規(guī)四狀態(tài)導(dǎo)航定位接近的較高的定位精度。

表2給出了在不同粗時(shí)誤差下，自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法定位結(jié)果的RMSE之間的對(duì)比。

表2 不同粗時(shí)誤差下自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法定位結(jié)果的RMSE

從表2可以看到：當(dāng)粗時(shí)誤差從0～60 s變化時(shí)，自適應(yīng)粗時(shí)段導(dǎo)航算法都能夠獲得較高的定位精度；緯度和經(jīng)度定位結(jié)果的RMSE都在2.5 m以內(nèi)，高度的RMSE在6 m以內(nèi)，這與四狀態(tài)導(dǎo)航方程所得到的定位結(jié)果接近。這表明本文所提出的算法克服了在較大粗時(shí)誤差下粗時(shí)段導(dǎo)航存在的線性化誤差以及五狀態(tài)導(dǎo)航定位比四狀態(tài)導(dǎo)航定位DOP大的問(wèn)題，獲得了較高的定位精度，保證了粗時(shí)段導(dǎo)航在大粗時(shí)誤差或者可用衛(wèi)星數(shù)較少時(shí)仍能獲得與常規(guī)定位解算接近的較好的定位結(jié)果。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)GNSS導(dǎo)航定位中粗時(shí)段導(dǎo)航存在的大粗時(shí)誤差下線性化誤差問(wèn)題和DOP問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法。在粗時(shí)段導(dǎo)航算每次迭代運(yùn)算時(shí)，同時(shí)更新衛(wèi)星狀態(tài)和幾何矩陣，并在解算完成后自適應(yīng)推入四狀態(tài)導(dǎo)航算法重新解算，保證了在較大粗時(shí)誤差下或者衛(wèi)星數(shù)較少時(shí)粗時(shí)段導(dǎo)航仍可獲得較高的定位精度。通過(guò)采用實(shí)際GPS數(shù)據(jù)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該算法的有效性和可靠性。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明：自適應(yīng)逐次逼近的粗時(shí)段導(dǎo)航算法在0 s的粗時(shí)誤差下能夠獲得與常規(guī)四狀態(tài)導(dǎo)航算法近似的定位精度；緯度和經(jīng)度定位結(jié)果的RMSE在2.2和1.8 m左右，高度定位結(jié)果的RMSE在5.2 m左右，算法連續(xù)測(cè)試了20 min左右的數(shù)據(jù)，具有連續(xù)可用性；隨著粗時(shí)誤差的增大，定位精度基本保持不變，在較大粗時(shí)誤差下仍能獲得與粗時(shí)誤差為0 s時(shí)接近的定位結(jié)果。

本文提出的自適應(yīng)逐次逼近粗時(shí)段導(dǎo)航算法使得在存在粗時(shí)間問(wèn)題時(shí)GNSS導(dǎo)航定位方法仍然可行，并且在惡劣環(huán)境下，如大粗時(shí)誤差或可用衛(wèi)星少時(shí)，仍能得到較好的效果，擴(kuò)展了粗時(shí)段導(dǎo)航的應(yīng)用場(chǎng)景，增大了GNSS導(dǎo)航定位的可用性。