胡杰，劉娟

(1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，山西 太谷 030801； 2.山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 文理學(xué)院，山西 太谷 030801)

鼠的種類繁多，適應(yīng)能力強(qiáng)，孕期短，產(chǎn)子率高，數(shù)量可在短時(shí)間內(nèi)迅速增加。當(dāng)鼠類數(shù)量超過(guò)經(jīng)濟(jì)臨界值時(shí)，會(huì)造成很大危害，簡(jiǎn)稱為鼠害。在農(nóng)業(yè)上，害鼠幾乎嚙食所有農(nóng)作物，如水稻、馬鈴薯、小麥、玉米、蔬菜、大豆等糧食和經(jīng)濟(jì)作物；在林業(yè)上，害鼠主要啃咬樹(shù)種、成樹(shù)、幼苗等，影響森林更新，固沙植樹(shù)，綠化環(huán)境；在牧草業(yè)上，害鼠主要大量啃食牧草，破壞土壤植被，使草場(chǎng)退化，土壤沙化。鼠害不僅對(duì)農(nóng)業(yè)，林業(yè)，牧草業(yè)造成危害，而且會(huì)對(duì)農(nóng)業(yè)建筑物和一些農(nóng)田水利設(shè)施造成很大危害。故對(duì)鼠害的控制刻不容緩。常用的方法有以下幾種：一是用捕鼠夾、自制土箭等機(jī)械滅鼠的物理防治，常用于倉(cāng)庫(kù)，庭院，作為輔助工具；二是噴灑磷化鋅、殺鼠靈等化學(xué)毒餌的化學(xué)防治，雖能在短時(shí)間內(nèi)能大面積殺死害鼠,但是毒性會(huì)威脅人類及畜類的安全，污染環(huán)境，還會(huì)使害鼠產(chǎn)生抗藥性；三是定期投放天敵(黃鼠狼、蛇)、投放僅對(duì)鼠類有殺傷力而對(duì)人畜無(wú)害的微生物病原體、使用不育劑等的生物防治，雖無(wú)污染性，但是效果不能立刻顯現(xiàn)。所以，結(jié)合生物防治的無(wú)污染性和化學(xué)防治的快速性，一般采取綜合鼠害治理。

由于投放天敵和噴灑毒餌是不連續(xù)的，但是投放和噴灑的瞬時(shí)會(huì)使害鼠數(shù)量和天敵數(shù)量發(fā)生很大變化，故引入脈沖微分方程[1～7]來(lái)研究害鼠防治系統(tǒng)。許多數(shù)學(xué)學(xué)者研究了被捕食者和捕食者之間的功能性反應(yīng)，如Holling-I， Holling-II，Holling-III，Ivlev等功能性反應(yīng)函數(shù)但絕大部分功能性反應(yīng)僅是食餌密度的單調(diào)功能性反應(yīng)函數(shù)[1,3,5]。事實(shí)上由于生物系統(tǒng)的復(fù)雜性很多功能性反應(yīng)函數(shù)還依賴捕食者的密度，同時(shí)也不一定是單調(diào)函數(shù)，比如比率依賴型[8]功能性反應(yīng)。

(1)

故本文在不同固定脈沖時(shí)刻分別投放毒餌和天敵的具有比率依賴型功能性反應(yīng)的如下脈沖微分方程：

(2)

1 預(yù)備知識(shí)

當(dāng)系統(tǒng)(2)中x(t)=0時(shí)，有：

(3)

由脈沖微分方程的不動(dòng)點(diǎn)定理和頻閃映射，得到系統(tǒng)(3)的周期解為：

進(jìn)而得到相應(yīng)的解為：

引理1.1[9]系統(tǒng)(2)前兩個(gè)方程的右端函數(shù)的光滑性使得解存在且唯一。

引理1.2[10]設(shè)z(t)=(x(t)，y(t))為系統(tǒng)(3)的解，且初始條件z(0+)≥0，則對(duì)于所有的t≥0有z(t)≥0。若初始條件z(0+)>0，則對(duì)于所有的t≥0，有z(t)>0。

綜上，可得系統(tǒng)(2)存在鼠害滅絕周期解(0,y(t))。

2 鼠害滅絕周期解的穩(wěn)定性

定理2.1 若參數(shù)滿足

(4)

(5)

令

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，可得如下基解矩陣：

則系統(tǒng)(2)中的脈沖條件變?yōu)椋?/p>

故

為單值矩陣的特征值。由脈沖微分方程的Floquet定理知：

定理2.2 若系統(tǒng)(2)中參數(shù)滿足

(6)

則系統(tǒng)(2)的鼠害滅絕周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：由系統(tǒng)(2)知：

由比較定理知：x(t)≤u(t)，其中有：

故當(dāng)t 充分大時(shí)，對(duì)任意的ε1>0，均有x(t)≤K+ε1。

簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)x(t)≤K+ε1對(duì)任意ε1>0均成立。

(7)

類似地，可假設(shè)(7)式對(duì)t>0成立。

由系統(tǒng)(2)知：

經(jīng)計(jì)算得:

故

x((n+l)T)≤x(lT)ηn→0(n→∞)

對(duì)于t∈[(n+l-1)T,(n+l)T]，有：

0≤x(t)≤x((n+l-1)T)(1-p1)erT，

故x(t)→0(t→∞).

由比較定理知：

(8)

由引理1.3知：

由式子(8)知：

定理得證。

3 數(shù)值分析

進(jìn)一步，取參數(shù)r=25，K=1.5，d=0.15，p1=0.9,p2=0.1,u=8,k=0.5,ω=0.6,c=1,m=0.5,x(0)=1，y(0)=0。經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得T*≈4.6。用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值分析，當(dāng)T=2，從圖1和圖2中容易看出，害鼠數(shù)量經(jīng)過(guò)一系列震蕩很快趨于0，而天敵數(shù)量不停的周期性震蕩最終趨于穩(wěn)定。同樣地，當(dāng)T=5時(shí)，由圖3和圖4知，害鼠和天敵都共存，并且呈周期性震蕩，此時(shí)系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的。

圖1 T=2時(shí)鼠害種群的時(shí)間序列圖Fig.1 Time sequence diagram of harmful rodent pest population when T=2

圖2 T=2時(shí)天敵 種群的時(shí)間序列圖Fig.2 Time sequence diagram of natural enemy population when T=2

圖3 T=5時(shí)鼠害 種群的時(shí)間序列圖Fig.3 Time sequence diagram of harmful rodent population when T=5

圖4 T=5時(shí)天敵和害鼠的相圖Fig.4 The phase diagram of natural enemy population and harmful rodent pest when T=5

4 結(jié)語(yǔ)

中，可以根據(jù)農(nóng)業(yè)、林業(yè)、牧草業(yè)害鼠的具體情況，采取相應(yīng)的生物防治和化學(xué)防治相結(jié)合的綜合鼠害治理方法，選擇相應(yīng)的參數(shù)p1、r、c和m，從而得到臨界值T*。選擇T