王曉明 朱一心

(首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100048)

0 引 言

《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》自1980年9月10日五屆人大三次會議通過以來，經(jīng)過了六次修正.最近一次修正是2011年6月30日的十一屆人大二十一次會議通過的，主要是將每月應(yīng)納稅收入減除額提高到3 500元(下面行文中不再寫出幣值單位“元”)，將九級累進(jìn)稅率改為七級累進(jìn)稅率.稅法規(guī)定對工薪按照超額累進(jìn)稅率計(jì)算個(gè)人所得稅，個(gè)人所得稅按月繳納，每年有一次獎(jiǎng)金(例如，年終發(fā)放的年度績效獎(jiǎng)金)可以除以12以后計(jì)算稅率. 利用這樣辦法計(jì)算應(yīng)納稅金的獎(jiǎng)金稱為全年一次性獎(jiǎng)金，簡稱“全年獎(jiǎng)”. 不使用這個(gè)權(quán)利發(fā)放獎(jiǎng)金，就是按照獎(jiǎng)金與其他工薪合并的全額對應(yīng)的稅率計(jì)算應(yīng)納稅金.這樣的獎(jiǎng)金就是當(dāng)月獎(jiǎng).也可將獎(jiǎng)金分成兩部分，一部分作全年獎(jiǎng)使用該權(quán)利，另一部分作當(dāng)月獎(jiǎng)不使用該權(quán)利，由此造成獎(jiǎng)金的不同發(fā)放方案可以有不同的計(jì)稅結(jié)果.

本文將討論給定獎(jiǎng)金總額時(shí)當(dāng)月獎(jiǎng)與全年獎(jiǎng)的不同發(fā)放分配方案使得按稅法計(jì)算的應(yīng)納稅金最少因而稅后收入最大，并稱這樣的獎(jiǎng)金發(fā)放方案為最優(yōu)發(fā)放方案，簡稱“最優(yōu)方案”.

2016年以前許多學(xué)者提出了九級稅率下的最優(yōu)方案.張海斌等[1]構(gòu)建個(gè)人所得稅的優(yōu)化模型,并在 Excel中結(jié)合 solver parametersV 7.0對該模型進(jìn)行求解,得出獎(jiǎng)金發(fā)放的最優(yōu)方案；賀株莉[2]把文獻(xiàn)[1]的優(yōu)化模型做了簡化，將其轉(zhuǎn)換成0-1規(guī)劃問題，并利用隱枚舉法進(jìn)行求解.但這種簡化模型只能針對定額獎(jiǎng)金進(jìn)行實(shí)時(shí)求解，并不能給出可直接套用的獎(jiǎng)金發(fā)放分配表，實(shí)際應(yīng)用不太方便.顧峰娟[3]利用分析方法，給出了最優(yōu)方案，并把具體發(fā)放表達(dá)方案細(xì)化到區(qū)間.郜林平[4]考慮全年工薪總量,通過試算挖掘了一系列能引起月工薪和全年獎(jiǎng)所適用稅率發(fā)生變動的全年工薪分界點(diǎn), 對不同范圍下的全年工薪收入, 得出月工薪和全年獎(jiǎng)的分配區(qū)間.賈華芳[5]提出一個(gè)原則， 盡可能降低全年獎(jiǎng)的適用稅率，尤其在求得的全年獎(jiǎng)除以12的商數(shù)高出較低一檔稅率的臨界值不多時(shí), 減少全年獎(jiǎng), 使其商數(shù)調(diào)減至該臨界值, 以降低適用稅率.

本文針對全年獎(jiǎng)最優(yōu)發(fā)放方案，揭示了全年獎(jiǎng)發(fā)放中的湮滅數(shù)，建立模型，通過數(shù)學(xué)證明得到了最優(yōu)方案的發(fā)放原則,分析討論最優(yōu)方案的分段顯式表示，并將最優(yōu)方案歸納成方便財(cái)務(wù)人員使用的表格形式.

為方便討論，將涉及的名詞說明如下：

工薪：公民的工資、薪金所得，簡稱“工薪”.

應(yīng)稅所得：工薪減除規(guī)定的免稅款項(xiàng)，稱為應(yīng)納稅所得額，簡稱“應(yīng)稅所得”.稅法規(guī)定，應(yīng)稅所得超過3 500部分開始征收個(gè)人所得稅，為方便起見，本文所稱應(yīng)稅所得為減除3 500以后的.2016年“兩會”期間，財(cái)政部發(fā)布消息，可能對個(gè)人所得稅征收條款進(jìn)行修訂，對不同的群體增加免稅款項(xiàng)，提高起征點(diǎn).本文的基本方法對于以上修訂后的個(gè)人所得稅征收辦法也是適用的.

應(yīng)納稅金：應(yīng)稅所得乘以規(guī)定稅率計(jì)算得出應(yīng)納個(gè)人所得稅金額，簡稱“應(yīng)納稅金”.

稅后所得：應(yīng)稅所得減除應(yīng)納稅金后，得到“稅后所得”，即“稅后所得=應(yīng)稅所得-應(yīng)納稅金”.實(shí)際上，稅后所得=工薪-應(yīng)納稅金.為了計(jì)算公式書寫方便，本文將免稅款項(xiàng)視作沒有，將應(yīng)稅所得視作減除了3 500以后的，即“應(yīng)稅所得=工薪-3 500”，因此“稅后所得=應(yīng)稅所得-應(yīng)納稅金”，實(shí)際稅后所得=稅后所得+3 500.

扣除數(shù)：為方便計(jì)算，稅法對于每級稅率都給出了速算扣除數(shù)，簡稱“扣除數(shù)”，即把應(yīng)稅所得乘以達(dá)到最高級的稅率計(jì)算應(yīng)納稅金時(shí)，多計(jì)算的數(shù)值.“應(yīng)納稅金=應(yīng)稅所得×稅率-扣除數(shù)”“稅后所得=應(yīng)稅所得×(1-稅率)+扣除數(shù)”.

全年獎(jiǎng)：根據(jù)稅法，個(gè)人所得稅按月繳納，每年有一次獎(jiǎng)金(例如，年終發(fā)放的年度績效獎(jiǎng)金)可以除以12以后計(jì)算稅率(將年度績效獎(jiǎng)金視同每月績效獎(jiǎng)金的積累，每月發(fā)一次獎(jiǎng)金的積累)，利用這樣辦法計(jì)算應(yīng)納稅金的獎(jiǎng)金稱為全年一次性獎(jiǎng)金，簡稱“全年獎(jiǎng)”.

當(dāng)月獎(jiǎng)：與全年獎(jiǎng)相對應(yīng)，在發(fā)放當(dāng)月與其他工薪合并納稅的獎(jiǎng)金.

本文將討論全年獎(jiǎng)發(fā)放的最優(yōu)方案，先對速算扣除數(shù)做一點(diǎn)介紹.

1 速算扣除數(shù)

每月應(yīng)稅所得按照以下超額累進(jìn)稅率交納個(gè)人所得稅，見表1(為說明問題，增加一列級差值).

表1 個(gè)人所得稅稅率表

非專業(yè)人員對于其中扣除數(shù)的含義不了解，因此有類似這樣的擔(dān)心：應(yīng)稅所得為1 500時(shí)稅率為3%，應(yīng)納稅金45；如果應(yīng)稅所得為1 501，稅率為10%，應(yīng)納稅金為150.1，稅后所得不是反而少了嗎？這種擔(dān)心當(dāng)然是因?yàn)閷τ诳鄢龜?shù)不理解造成的，下面將作說明.

X4=35 000=1 500+3 000+4 500+26 000

=x1+x2+x3+x4.

按照超額累進(jìn)計(jì)稅辦法，對應(yīng)于當(dāng)月應(yīng)稅所得x需要交納的應(yīng)納稅金

上述表達(dá)式T=T(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，其計(jì)算含義是清楚的，體現(xiàn)了個(gè)人所得稅按照超額累進(jìn)稅率納稅的原則.利用符號，數(shù)學(xué)表達(dá)可以簡化為

Xt

在實(shí)際計(jì)算中，利用速算扣除數(shù)可以減少計(jì)算操作.事實(shí)上，當(dāng)稅率為10%時(shí)，有以下等式：

x1r1+(x-1 500)r2 =xr2-1 500(r2-r1)

其含義是，當(dāng)應(yīng)稅所得超過1 500不超過4 500時(shí)，1 500應(yīng)該按照3%納稅，超過1 500部分應(yīng)該按照10%納稅；為了計(jì)算方便，如果將所有應(yīng)稅所得都按照10%納稅，那么1 500部分就多納稅7%，應(yīng)該在計(jì)算值中予以扣除，即扣除1 500×(10%-3%)=105.因此稅率為3%時(shí)的扣除數(shù)就是105.

容易推出t>1時(shí)，第t級的扣除數(shù)的表達(dá)式為

扣除數(shù)的含義是，對于本來應(yīng)該按照低檔級稅率納稅的應(yīng)稅所得，如果被按照高檔級稅率計(jì)算納稅額了，應(yīng)該補(bǔ)償回來的數(shù)額.扣除數(shù)的本質(zhì)仍然是對于應(yīng)稅所得的超額部分實(shí)行高稅率納稅.

2 全年獎(jiǎng)的納稅

這個(gè)辦法意味著不是以全年獎(jiǎng)x而是以x的十二分之一對應(yīng)的稅率計(jì)算應(yīng)納稅金.不使用這個(gè)權(quán)利發(fā)放獎(jiǎng)金，就是按照獎(jiǎng)金x對應(yīng)的稅率計(jì)算應(yīng)納稅金.也可將獎(jiǎng)金分成兩部分，一部分作全年獎(jiǎng)使用該權(quán)利，另一部分作當(dāng)月獎(jiǎng)不使用該權(quán)利，這使得納稅方案有討論的空間.

問題存在的原因是可以分析的，為了方便說明避免在表達(dá)式中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，我們將全年獎(jiǎng)記作12x，當(dāng)Xt

T(12(Xt+Δx))=12(Xt+Δx)rt+1-st+1

= (12Xtrt-st)+[12Xt(rt+1-rt)-

(st+1-st)]+12Δxrt+1

=T(12Xt)+[12Xt(rt+1-rt)-

Xt(rt+1-rt)]+12Δxrt+1

=T(12Xt)+11Xt(rt+1-rt)+12Δxrt+1.

當(dāng)Δx很小時(shí)，T(12(Xt+Δx))-T(12Xt)≈11Xt(rt+1-rt)=11(st+1-st).

因此全年獎(jiǎng)的少量增長，會引起應(yīng)納稅金大幅增長，導(dǎo)致稅后所得不升反降.相對于12Xt來說，超額納稅率為11Xt(rt+1-rt)/12Xt=11(rt+1-rt)/12.

《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》中，提供了超額累進(jìn)稅率法和比例稅率法兩種方法，顯然全年獎(jiǎng)納稅方法不是比率稅法，也不同于超額累進(jìn)稅率法.如果按照超額累進(jìn)稅率納稅辦法，首先應(yīng)該將1到12月每個(gè)月的工薪收入少于3 500的差額都在全年獎(jiǎng)中扣除，然后作計(jì)稅基礎(chǔ)，而不是僅扣除當(dāng)月工薪少于3 500的差額得出計(jì)稅基礎(chǔ)12(Xt+Δx)(這一點(diǎn)本文忽略不考慮，假定每個(gè)月的工薪都超過了3 500).其次，既然意圖將全年獎(jiǎng)當(dāng)成全年的績效，對于12(Xt+Δx)，相當(dāng)于每個(gè)月發(fā)放當(dāng)月獎(jiǎng)Xt+Δx，按照超額累進(jìn)稅率納稅法，每個(gè)月應(yīng)納稅金應(yīng)該為(Xt+Δx)rt+1-st+1，12個(gè)月應(yīng)納稅金應(yīng)該為12(Xt+Δx)rt+1-12st+1，而不是12(Xt+Δx)rt+1-st+1.目前稅法規(guī)定的全年獎(jiǎng)納稅辦法，比超額累進(jìn)稅率多繳納稅金11st+1.

可見全年獎(jiǎng)的納稅辦法，不是超額累進(jìn)稅率納稅法，但用了超額累進(jìn)稅率的概念.這種納稅方法中，在每個(gè)稅級點(diǎn)上都會發(fā)生稅前收入增加但稅后所得減少的情形.于是要考慮在獎(jiǎng)金總額不變的情況下，尋找全年獎(jiǎng)與當(dāng)月獎(jiǎng)的分配方案，使得應(yīng)納稅金最小.

3 湮滅數(shù)

設(shè)全年獎(jiǎng)為Q=12x，當(dāng)x=Xt時(shí)，稅后所得為G(12Xt)=12Xt(1-rt)+st.

當(dāng)x=Xt+Δx時(shí)，稅后所得為

G(12(Xt+Δx))=G(12Xt)+12Δx(1-rt+1)-11(st+1-st).

稅后所得增加

G(12(Xt+Δx))-G(12Xt)=12Δx(1-rt+1)-11(st+1-st).

當(dāng)全年獎(jiǎng)增加12Δx≤11(st+1-st)/(1-rt+1)時(shí)，增加量全用于納稅還不夠，稅后所得減少11(st+1-st)-12Δx(1-rt+1).我們將11(st+1-st)/(1-rt+1)=11Xt(rt+1-rt)/(1-rt+1)稱為第t級全年獎(jiǎng)湮滅數(shù)，記為Zt.

表3 湮滅數(shù)

由上述討論所知，湮滅數(shù)來源于對全年獎(jiǎng)沒有按照超額累進(jìn)稅率納稅辦法的原理提高速算扣除數(shù)計(jì)稅，但又按照超額累進(jìn)稅率納稅辦法的計(jì)算形式計(jì)稅.

湮滅數(shù)來自全年獎(jiǎng)多繳納的應(yīng)交稅金，如果把湮滅數(shù)Zt當(dāng)作當(dāng)月獎(jiǎng)金發(fā)放，假設(shè)當(dāng)月其他工薪不少于3 500，則湮滅數(shù)對應(yīng)的稅率最高為45%，湮滅數(shù)×對應(yīng)稅率-扣除數(shù)≤應(yīng)納稅金≤湮滅數(shù)×45%，相應(yīng)的稅后所得是對湮滅數(shù)的挽救，如果當(dāng)月其他工薪恰好是3 500時(shí)，用當(dāng)月獎(jiǎng)來代替全年獎(jiǎng)，各級湮滅數(shù)的挽救率是相當(dāng)大的.

表4 各級湮滅數(shù)用當(dāng)月獎(jiǎng)挽救

當(dāng)全年獎(jiǎng)可能被湮滅時(shí)，可能采取的做法是把全年獎(jiǎng)中的一部分按照全年獎(jiǎng)發(fā)放，其余部分按照當(dāng)月獎(jiǎng)發(fā)放.在引言部分我們已經(jīng)提到了很多學(xué)者已有的納稅方案,下面來闡述本文的方法.

4 全年獎(jiǎng)的最優(yōu)方案

4.1 優(yōu)化模型

假定發(fā)放全年獎(jiǎng)當(dāng)月的其他工薪為3 500，全年獎(jiǎng)的最優(yōu)發(fā)放即為對于任意固定的獎(jiǎng)金Q∈[0,+∞)，尋找最優(yōu)方案，使得繳納的稅金最少，從而可建立如下優(yōu)化模型：

Obj：minT=f(x)+g(y),

St：12x+y=Q,x≥0，y≥0.

其中f(x)=12xrt-st，x∈(Xt-1,Xt]，是全年獎(jiǎng)12x對應(yīng)的應(yīng)納稅金，f(x)為[0,+∞)上以Xt(t=1,2…6)為跳躍間斷點(diǎn)的分段線性函數(shù)，Xt處的躍度為11(st+1-st)，如圖1所示.

圖1 全年獎(jiǎng)12x的應(yīng)納稅金函數(shù)f(x)

g(y)=yrn-sn，y∈(Xn-1,Xn]，是當(dāng)月獎(jiǎng)y對應(yīng)的應(yīng)納稅金，g(y)為[0,+∞)上的分段區(qū)間線性的連續(xù)函數(shù)，如圖2所示.

圖2 當(dāng)月獎(jiǎng)y的應(yīng)納稅金函數(shù)g(y)

將全年獎(jiǎng)為12x，當(dāng)月獎(jiǎng)為y的發(fā)放方案記為方案(12x，y).當(dāng)Q=12x+y不變時(shí)，12x和y合理分配使T達(dá)到最小值的方案就是最優(yōu)方案.

對于兩種方案(12x，Q-12x)與(12x′，Q-12x′)，若繳納的稅金相同，就稱它們同優(yōu);若前一種比后一種繳納的稅金更少，就稱方案(12x，Q-12x)

優(yōu)于(12x′，Q-12x′).

需要說明的是，按照前面的假定，當(dāng)月其他工薪超過3 500，將y按照當(dāng)月獎(jiǎng)發(fā)放，對應(yīng)的稅率會受到當(dāng)月其他工薪影響，優(yōu)化模型中假設(shè)對應(yīng)其他工薪3 500是為了計(jì)算和說明的方便.

4.2 級差函數(shù)

為了便于后續(xù)討論，定義如下級差函數(shù)：

k(t)=f(12Xt)-f(12Xt-1)，h(y,t)=g(y+12xt)-g(y)，xt=Xt-Xt-1,t=1,2,…6,y∈[0,+∞).

k(t)和h(y,t)分別用于描述全年獎(jiǎng)和當(dāng)月獎(jiǎng)應(yīng)納稅金的級差變化，而h(y,t)-k(t)用于描述從方案(12Xt，Q-12Xt)變化到方案(12Xt-1，Q-12Xt-1)時(shí)應(yīng)納稅金的變化量.

易知，對于固定的t，h(y,t)是連續(xù)函數(shù)，也是關(guān)于y的單調(diào)不減函數(shù),且當(dāng)y∈[X6,+∞),h(y,t)為常數(shù).所以對于固定的t有h(0,t)≤h(y,t)≤h(X6,t).

通過簡單計(jì)算可知，當(dāng)t=1,2,4,5時(shí)，h(0,t)>k(t)；當(dāng)t=6時(shí),h(X6,t)

例如t=4，k(4)表示從方案(12X4，Q-12X4)變化到(12X3，Q-12X3)全年獎(jiǎng)對應(yīng)應(yīng)納稅金的減少量，h(y,4)表示當(dāng)月獎(jiǎng)對應(yīng)應(yīng)納稅金的增加量，由表5知h(y,4)-k(4)>0，所以總應(yīng)納稅金增加了，因此方案(12X4，Q-12X4)優(yōu)于(12X3，Q-12X3).

表5 函數(shù)h(y,t)與k(t)大小關(guān)系表

4.3 最優(yōu)方案的判別原則

定理1若最優(yōu)方案(12x，y)對應(yīng)稅級為(t，n)，則t≤n.

證明假定t>n.將方案調(diào)整為同級方案(12x-12Δx，y+12Δx)，對應(yīng)稅級(t′，t′)，其中t≥t′≥n.則全年獎(jiǎng)對應(yīng)應(yīng)納稅金f減少，減少量記為Δf；當(dāng)月獎(jiǎng)對應(yīng)應(yīng)納稅金g增加，增加量記為Δg，總應(yīng)納稅金T的變化量ΔT=Δg-Δf.

顯然有Δg≤12Δxrt′，Δf≥12Δxrt′，因此ΔT=Δg-Δf≤0，應(yīng)納稅金T不發(fā)生變化或者減少. 所以稅級為(t，n)(t>n)的方案可以調(diào)整為同級方案.因此最優(yōu)方案的稅級一定滿足t≤n，得證.

定理2若最優(yōu)方案(12x，y)對應(yīng)稅級為(t，n),且t

證明設(shè)兩種方案(12Xt，Q-12Xt)和(12x′，Q-12x′)的應(yīng)納稅金分別為T，T′，對應(yīng)稅級均為(t，n).其中x′≠Xt，Xt-1

因?yàn)閠0,從而T′>T.方案(12Xt，Q-12Xt)優(yōu)于(12x′,Q-12x′).所以若最優(yōu)方案的稅級為(t，n),且t

定理3(1)方案(12X4，Q-12X4)優(yōu)于(12Xi，Q-12Xi)，i=0,1,2,3.

(2)方案(12X5，Q-12X5)優(yōu)于(12Xi，Q-12Xi)，i=0,1,2,3,4.

證明(1)由表5，方案(12X4，Q-12X4)優(yōu)于(12X3，Q-12X3).

方案(12X3，Q-12X3)的當(dāng)月獎(jiǎng)Q-12X3=(Q-12X4)+12(X4-X3)>12(X4-X3)=312 000>13 500，結(jié)合表5中t=3時(shí)的結(jié)論知，(12X3，Q-12X3)優(yōu)于(12X2，Q-12X2)， 因此方案(12X4，Q-12X4)也優(yōu)于(12X2，Q-12X2).再由表5中t=1,t=2時(shí)的結(jié)論，可得方案(12X4，Q-12X4)也一定優(yōu)于(12X1，Q-12X1)和(0,Q). 結(jié)論(1)得證.

(2)由表5知(12X5，Q-12X5)優(yōu)于(12X4，Q-12X4)，由(1)知結(jié)論成立.

定理4若獎(jiǎng)金Q=12x+y∈(13Xt-1,13Xt]，則

圖3 全年獎(jiǎng)的減少量12Δx

圖4 當(dāng)月獎(jiǎng)的增加量

特別地，當(dāng)Q=13Xt時(shí)，U(Q,t)=h(Xt,t)，V(Q,t)=k(t).

第二步 下面證明，對固定的t，U(Q,t)-V(Q,t)是關(guān)于Q的單調(diào)遞增函數(shù).

[U(Q+ΔQ,t)-V(Q+ΔQ,t)]-[U(Q,t)-V(Q,t)]=[U(Q+ΔQ,t)-U(Q,t)]-[V(Q+ΔQ,t)-V(Q,t)].

所以[U(Q+ΔQ,t)-V(Q+ΔQ,t)]-[U(Q,t)-V(Q,t)]>0，即對固定的t，U(Q,t)-V(Q,t)是關(guān)于Q的單調(diào)遞增函數(shù).

通過計(jì)算可以得到不同級t對應(yīng)的Qt，如表6所示.

表6 各稅級的Qt

第三步 下面對t=2,3,4,5,6的情況分別來證明結(jié)論(1) (2).

故t=2,4,5時(shí)，結(jié)論(1)得證.

對t=3，任給Q∈(13X2,13X3]，因?yàn)閁(Q,t)-V(Q,t)是關(guān)于Q的單調(diào)遞增函數(shù)，所以有

U(Q,3)-V(Q,3)≤U(13X3,3)-V(13X3,3)，而U(13X3,3)=h(X3,3)=h(9 000,3)，

V(13X3,3)=k(3)，由h(y,3)的單調(diào)性及表5知，h(9 000,3)

綜上，對t=2,3…6，結(jié)論均得證.

4.4 最優(yōu)方案的表示

定理5當(dāng)總獎(jiǎng)金Q∈(13Xt-1,13Xt],t=1,2…6, 對應(yīng)的最優(yōu)方案分段表達(dá)式為：

(1)t=1時(shí)，

(2)t=2時(shí)，

(3)t=3時(shí)，(12X2，Q-12X2),58 500

(4)t=4時(shí)，

(5)t=5時(shí)，

(6)t=6時(shí)，(12X5，Q-12X5),715 000

(7)獎(jiǎng)金Q∈(13X6,+∞), 最優(yōu)方案(12X5，Q-12X5),Q>1 040 000.

證明(1)t=1時(shí)，0≤Q≤13X1,即0≤Q≤19 500, 顯然有0≤Q≤18 000時(shí)，獎(jiǎng)金應(yīng)全部按全年獎(jiǎng)發(fā)放，應(yīng)納稅金最小，即發(fā)放方案取成(Q,0),應(yīng)納稅金T=r1Q=0.03Q；當(dāng)18 000

(3)t=3時(shí)，13X2

(4)t=4時(shí)，13X3

當(dāng)117 000

下面比較方案(12X3，Q-12X3)和(12X2，Q-12X2).

由表5，當(dāng)y>13 500時(shí)，方案(12X3，Q-12X3)優(yōu)于(12X2，Q-12X2)，是最優(yōu)方案.

當(dāng)y<13 500時(shí)，方案(12X2，Q-12X2)優(yōu)于(12X3，Q-12X3)，是最優(yōu)方案.

分界點(diǎn)y=13 500處對應(yīng)的Q可以通過等式Q=12X3+13 500解得Q=121 500.故當(dāng)117 000

(5)t=5時(shí)，13X4

當(dāng)455 000

(6)t=6時(shí)，13X5

定理5給出了全年獎(jiǎng)的最優(yōu)方案，為了便于實(shí)際使用，通過整理，匯總成下面表格.

表7 全年獎(jiǎng)的最優(yōu)方案數(shù)據(jù)表

例如表中第10行,Q∈(109 000,121 500],其中54 000按照全年獎(jiǎng)發(fā)放，對應(yīng)稅率r2=0.1，扣除數(shù)s2=105,Q-54 000∈(55 000,67 500]按照當(dāng)月獎(jiǎng)發(fā)，對應(yīng)稅率r6=0.35，扣除數(shù)s6=5 505，所以應(yīng)納稅金T=54 000r2-s2+(Q-54 000)r6-s6=0.35Q-19 110.

4.5 最優(yōu)方案與方案(Q,0)的比較

方案(Q,0)即獎(jiǎng)金全部按照全年獎(jiǎng)發(fā)放.圖5給出了最優(yōu)方案、方案(Q,0)的應(yīng)納稅金以及二者應(yīng)繳稅金的差值.為了看得更清楚，我們把圖5中[0，12X2]部分的圖像放大，如圖6所示.

圖5 按照最優(yōu)方案和方案(Q,0)發(fā)放時(shí)的應(yīng)納稅金及二者應(yīng)納稅金的差值

圖6 圖5中[0，12X2]上的圖像

圖5中藍(lán)色虛線為最優(yōu)方案的應(yīng)納稅金，紅色線段為方案(Q,0)的應(yīng)納稅金，藍(lán)色實(shí)線段為二者應(yīng)繳納稅金的差值.可以很明顯地看出，最優(yōu)方案要繳納的稅金始終小于(Q,0)的應(yīng)納稅金，而且在紅色出現(xiàn)間斷的地方藍(lán)色是平滑的，這種基本呈線性增長的連續(xù)發(fā)放形式比全部按全年獎(jiǎng)發(fā)放的間斷形式更科學(xué)合理.

更進(jìn)一步，利用表7中結(jié)論，可以得到最優(yōu)方案較方案(Q,0)稅金實(shí)際減少量的分布情況，如圖5，圖6所示.對Q∈(12Xt-1,12Xt],

當(dāng)t=1，Q∈[0,18 000]時(shí)，最優(yōu)方案和(Q,0)的應(yīng)納稅金相同；

當(dāng)t=2,4,5，當(dāng)Q>Qt，最優(yōu)方案比(Q,0)的應(yīng)納稅金節(jié)省對應(yīng)的一個(gè)扣除數(shù)st；但在Q

當(dāng)t=3,6時(shí)，在整個(gè)區(qū)間(12Xt-1,12Xt]上優(yōu)化力度都較大，其中t=3時(shí)最優(yōu)方案比(Q,0)最多可節(jié)省稅金5 505；t=6時(shí)最優(yōu)方案比(Q,0)最多可節(jié)省稅金35 755；t=7時(shí)，全年獎(jiǎng)大于960 000時(shí)，節(jié)省稅金恒定于101 755.