王海濤

摘 要：將控制理論和振動理論結(jié)合起來對振動主動控制系統(tǒng)中的作動器位置進行優(yōu)化設(shè)計，設(shè)計過程中同時考慮了系統(tǒng)的振動響應(yīng)特性與可控性，優(yōu)化了系統(tǒng)的整體性能。

關(guān)鍵詞：控制理論；振動理論；作動器

中圖分類號：TB535 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）08-0045-04

Optimization of Actuators Placement in Active Vibration Control System

WANG Haitao

（Naval Equipment Motor Repair Team of Qingdao，Qingdao Shandong 266021）

Abstract： In this paper， the control theory and vibration theory were combined to optimize the actuator position of the active vibration control system. In the design process， the vibration response characteristics and controllability of the system were taken into consideration， and the overall performance of the system was optimized.

Keywords： control theory；vibration theory；actuator

1 研究背景

振動主動控制裝置對環(huán)境變化的適應(yīng)性強，特別是對低頻振動及周期性激勵有很強的控制能力，且尺寸小，重量輕[1-3]。主動隔振技術(shù)的諸多優(yōu)勢吸引了眾多國內(nèi)外專家學(xué)者對此進行研究。其中，作動器的優(yōu)化配置問題一直是研究的焦點。作動器配置的結(jié)果將直接決定系統(tǒng)的控制效率，影響系統(tǒng)的可控性和魯棒性等[4，5]。目前，對振動主動控制系統(tǒng)的建模主要有兩種方法：一種是從系統(tǒng)振動傳遞規(guī)律出發(fā)，以相似外推為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)動力學(xué)方法，如導(dǎo)納法等；另一種是從系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系出發(fā)，以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制方法，如最優(yōu)控制法等。前者的物理意義更清晰，便于使用隔振效率、功率流傳遞率等經(jīng)典的振動控制評估標準對系統(tǒng)進行設(shè)計；而后者則更加科學(xué)地描述了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系，有利于運用先進控制算法和判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控度等。兩種方法各具特色，如何將其有機結(jié)合起來，使振動主動控制系統(tǒng)的整體性能最優(yōu)，成為目前研究的重要方向。

為此，本文將主動控制理論和振動理論結(jié)合起來，對系統(tǒng)中的作動器進行優(yōu)化配置，同時考慮了系統(tǒng)的振動響應(yīng)特性與可控性，克服了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)獨立設(shè)計的片面性，優(yōu)化了系統(tǒng)的整體性能。

2 系統(tǒng)模型的建立

2.1 系統(tǒng)的動力學(xué)模型

以圖1所示的簡支梁為研究對象，其長度為l，質(zhì)量為m，截面抗彎模量為EI，梁置于xoy平面內(nèi)，在點xa=l/2處受到沿y方向的[fx，t=Psinωt]。

其彎曲振動的運動方程為：

[??x2EIx?2yx，t?x2+m?2yx，t?x2=fx，t-ux，t] （1）

控制采用xa處的速度信號作反饋。此時，作動器產(chǎn)生的主動力為：

[ux，t=gya] （2）

由此可求得梁的響應(yīng)為：

[yx，t=n=1∞fx，t·φxa·φxmnω2n+jωgφxc-mnω2] （3）

速度導(dǎo)納為：

[Hik=jωn=1∞φxi·φxkmnω2n+jωgφxc-mnω2] （4）

式中，[xi]表示激勵力的位置，[xk]表示響應(yīng)點的位置。如果[xk=xi]，則式（4）表示的是點導(dǎo)納；如果[xk≠xi]，則式（4）表示傳遞導(dǎo)納。[xc]表示作動器在梁上的位置，[mn]為梁的模態(tài)質(zhì)量：

[mn=0lmφnxdx] （5）

其中，[φnx]是兩端簡支梁的第n階振型函數(shù)：

[φnx=sinnπl(wèi)x] （6）

[ωn]表示梁的第n階固有頻率：

[ωn=nπl(wèi)2EIρA] （7）

2.2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

狀態(tài)空間法建立在系統(tǒng)時域描述基礎(chǔ)上，即從系統(tǒng)的微分方程出發(fā)，獲得其數(shù)學(xué)描述形式，再求得系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。

如圖1所示的簡支梁系統(tǒng)運動微分方程可表示為：

[MWt+CWt+KWt=DFt+VUt] （8）

其中，[M]為質(zhì)量矩陣，[C]為阻尼矩陣，[K]為剛度矩陣，[D]為擾動力矩陣，[V]為控制力矩陣，[Wt]、[Wt]、[Wt]分別為系統(tǒng)的加速度向量、速度向量和位移向量，[Ft]為擾動力向量，[Ut]為控制力向量。其表達式分別為：

[M=m1 0 0 0 00 m2 0 0 00 0 m3 0 00 0 0 … 00 0 0 0 mn] （9）

[C=m1dω21 0 0 … 0 0 m2dω22 0 … 0 0 0 m3dω23 … 0 … … … … 0 0 0 0 … mndω2n] （10）

[K=m1dω21 0 0 … 0 0 m2dω22 0 … 0 0 0 m3dω23 … 0 … … … … 0 0 0 0 … mndω2n] （11）

[D=V=φ1 0 0 … 00 φ2 0 0 00 0 φ3 0 00 0 0 … 00 0 0 0 φn] （12）

[Wt=x1 x2 x3 … xnT] （13）

[Ft=f f f …f] （14）

[Ut=u u u … u] （15）

取狀態(tài)變量：[Xt=Wt，WtT]，則可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：

[Xt=AXt+BUt+LFt] （16）

其中，A為系統(tǒng)矩陣，B為控制矩陣，L為擾動矩陣，其表達式分別為：

[A=I 0-M-1C -M-1K] （17）

[B=0M-1V] （18）

[L=0M-1D] （19）

3 優(yōu)化準則及目標函數(shù)

在振動控制設(shè)計中，最關(guān)心的是通過振動控制使振動量級能獲得多大程度的衰減。從能量角度研究振動控制問題并非自功率流方法始，但作為一種綜合的系統(tǒng)動態(tài)特性評估指標，功率流觀點的提出對柔性結(jié)構(gòu)的振動控制具有重要意義。因此，本文利用傳遞到基礎(chǔ)上的功率流為評價系統(tǒng)振動控制效果的指標，其可表示為：

[J1=12Ref2·Hii=ωP22n=1∝φxi·φxkmnω2n+jωgφxc-mnω2] （20）

近年來，有許多研究人員從控制理論出發(fā)，提出了各種不同的致動器優(yōu)化配置準則，Sylvaine等提出了一種基于能量的方法[5]，采用該方法可以很自然地研究整個動態(tài)模型的可控性和可觀性。利用這種方法，結(jié)合前一節(jié)的狀態(tài)方程，可以得到一個關(guān)于格蘭姆矩陣特征值的準則：

[Wc=0∝eAτBBTeAττdτ] （21）

可控性概念實際上表達的是系統(tǒng)控制所需的代價，具體到振動控制對象而言，就是控制結(jié)構(gòu)各階模態(tài)所消耗的能量大小。我們可以從結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的可控度入手，進而估算出系統(tǒng)的可控度，由模態(tài)可控度的定義可求得系統(tǒng)的模態(tài)可控度為：

[ρn=4φ8nxcm2nω6nsin2ωnT1-cosωnT2] （22）

其中，T為采樣周期。

要使整個系統(tǒng)具有最大的可控度，則要求每階模態(tài)下的系統(tǒng)具有最大可控度，即必須使每個[ρi]最大。然而，在作動器位置的選擇上，各階模態(tài)之間并不一致，某一階模態(tài)的最佳作動器位置對另一階模態(tài)可能并非最佳。因此，選擇如式（23）所示的目標函數(shù)：

[J2=n=1∝wnρn] （23）

其中，[wn]為權(quán)因子，反映了各階模態(tài)在系統(tǒng)響應(yīng)中所占的比重，表示為：

[wn=1ω2n-ω2] （24）

從上述兩個目標函數(shù)的意義不難看出，前者體現(xiàn)了系統(tǒng)控制的價值，后者則衡量了系統(tǒng)控制的代價。因此，本文將把兩者有機結(jié)合起來，對作動器位置進行優(yōu)化，體現(xiàn)系統(tǒng)控制評估體系的完整性。

4 算例

在前文的基礎(chǔ)之上，本節(jié)將針對具體的情況進行數(shù)值分析，為此特設(shè)主要參數(shù)如下：[m=200kg]，[l=2.0m]，[EI=1.0×104Pa]。對于作動器的優(yōu)化問題描述如下。

①目標函數(shù)：

[minJ1maxJ2] （25）

②設(shè)計變量為：

[x=g xcT] （26）

③約束條件：

[g∈-2 000，2 000]， [xc∈0，2] （27）

觀察目標函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，在系統(tǒng)其他結(jié)構(gòu)參數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)可控度J1只與設(shè)計變量[xc]有關(guān)而與控制反饋系數(shù)g無關(guān)。因此，整個優(yōu)化過程可分兩個獨立步驟，即先求得作動器最佳布置位置，使系統(tǒng)的可控度最大，再求系統(tǒng)的最優(yōu)控制反饋系數(shù)，使傳遞到系統(tǒng)的功率流最小。

圖2和圖3分別反映了激勵頻率為78Hz和269Hz時[xc]與J1的關(guān)系。從圖中可以看出，作動器的位置對系統(tǒng)的可控度具有很大影響，在[xc=0.5]和[xc=1.0]時分別對應(yīng)兩種激勵頻率下系統(tǒng)的最大可控度。

圖4和圖5對比了激勵頻率為78Hz和269Hz時g與J2的關(guān)系。經(jīng)觀察可以得到以下兩個結(jié)論：一是反饋系數(shù)的絕對值越大，輸入系統(tǒng)的功率流越小，即振動控制的效果越好；二是在相同的振動控制效果下，系統(tǒng)可控度越大則控制反饋系數(shù)越小，即控制所需的能量越小。

5 結(jié)論

本文將主動控制理論和振動理論相結(jié)合，同時考慮了系統(tǒng)可控性最大化與系統(tǒng)的振動響應(yīng)最小化這兩個目標函數(shù)，通過具體算例研究了作動器位置的優(yōu)化配置問題，得出了以下結(jié)論。

①作動器的位置對系統(tǒng)的可控度具有較大影響，其設(shè)計的好壞直接影響系統(tǒng)的控制效率和控制所消耗的能量。

②適當(dāng)增大系統(tǒng)控制反饋系數(shù)可以提高系統(tǒng)振動控制的效果，但同時所消耗的能量也會增大。

③本文所采用的方法可以同時兼顧系統(tǒng)的控制代價和控制效果，對振動主動控制系統(tǒng)的工程應(yīng)用和理論研究都具有重要意義。

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