何新榮

摘 要：應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，一元一次方程應(yīng)用題是初中應(yīng)用題的起始和關(guān)鍵階段。在一線教學(xué)中，教師進(jìn)行核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的一元一次方程應(yīng)用題學(xué)習(xí)障礙研究有著重要的理論意義與實(shí)踐意義。由淺入深逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；導(dǎo)向；一元一次方程應(yīng)用題；學(xué)習(xí)障礙；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教育部提出的核心素養(yǎng)是知識(shí)、技能和態(tài)度等的綜合表現(xiàn)。它是知識(shí)、能力、態(tài)度或價(jià)值觀等方面的融合，既包括問(wèn)題解決、探究能力、批判性思維等“認(rèn)知性素養(yǎng)”，又包括自我管理、組織能力、人際交往等“非認(rèn)知性素養(yǎng)”。

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)之一，可以說(shuō)培養(yǎng)學(xué)生解應(yīng)用題的能力是使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本內(nèi)容和重要途徑。應(yīng)用題教學(xué)使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；還可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，分析問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和道德品質(zhì)等。而這些都是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分，提高學(xué)生的應(yīng)用題解題能力是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的有力保障。

一、核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的一元一次方程應(yīng)用題學(xué)習(xí)障礙研究的重要意義

學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙是學(xué)習(xí)過(guò)程中自然存在的現(xiàn)象。學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的學(xué)習(xí)障礙以及對(duì)學(xué)習(xí)障礙的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生獲得和鞏固知識(shí)的重要途徑。核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的一元一次方程應(yīng)用題學(xué)習(xí)障礙研究，可以幫助學(xué)生掌握分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中可以進(jìn)一步體會(huì)方程思想、模型思想，進(jìn)而也會(huì)幫助學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、更清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。學(xué)生即使是在面對(duì)不熟悉的應(yīng)用問(wèn)題或者是其他學(xué)科中與生活聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去思考問(wèn)題。因此進(jìn)行核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的一元一次方程應(yīng)用題學(xué)習(xí)障礙研究有著重要的理論意義與實(shí)踐意義。

二、應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，一元一次方程應(yīng)用題是初中應(yīng)用題的起始和關(guān)鍵

小學(xué)生進(jìn)入初中學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題由算術(shù)解法到代數(shù)需要幾個(gè)轉(zhuǎn)變：（1）由列“算式”轉(zhuǎn)變?yōu)榱小暗仁健保唬?）由綜合法分析為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐苑治龇ǚ治鰹橹?；?）列方程解應(yīng)用題時(shí)要把設(shè)的未知數(shù)當(dāng)做已知看待。這是初學(xué)者難以適應(yīng)的。方程應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在小學(xué)階段，學(xué)生使用的是算術(shù)法解題，升入中學(xué)后，需要學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，運(yùn)用方程思想解應(yīng)用題，學(xué)生要有較強(qiáng)的閱讀理解能力、將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，還要有很強(qiáng)的邏輯思維能力，而初中生尤其是初一學(xué)生在這些方面的能力正處于發(fā)展階段。方程的學(xué)習(xí)貫穿了整個(gè)中學(xué)階段，特別是方程應(yīng)用題的學(xué)習(xí)可以為之后要學(xué)習(xí)的函數(shù)、不等式應(yīng)用題奠定基礎(chǔ)。一元一次方程應(yīng)用題是初中應(yīng)用題的起始和關(guān)鍵階段。

三、用一元一次方程解行程問(wèn)題障礙剖析

學(xué)生初學(xué)列方程解應(yīng)用題時(shí)存在著如下問(wèn)題現(xiàn)象：

（1）學(xué)生社會(huì)經(jīng)驗(yàn)缺乏，看不懂題意；

（2）找不著、找不準(zhǔn)等量關(guān)系，即使能找到等量關(guān)系，也不知如何設(shè)未知數(shù)、列方程，從而解決問(wèn)題；

（3）當(dāng)題目中未知量過(guò)多時(shí)，由于審題、分析能力較差，不知該選擇哪一個(gè)未知量設(shè)未知數(shù)簡(jiǎn)單；

（4）許多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題抱有恐懼心理，不想看題，遇到應(yīng)用一元一次方程解應(yīng)用題會(huì)產(chǎn)生逃避心理，不積極動(dòng)腦思考。

（5）學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能習(xí)慣于用算術(shù)方法分析問(wèn)題，對(duì)于用代數(shù)方法分析應(yīng)用題不適應(yīng)，以至于面對(duì)較為復(fù)雜的應(yīng)用題無(wú)法找到等量關(guān)系，列式解答。

（6）學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能不重視分析等量關(guān)系，而習(xí)慣于套題型，找解題模式慣于用算術(shù)方法分析已知數(shù)與未知數(shù)。

針對(duì)這些問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中，我鼓勵(lì)學(xué)生首先要有信心，不要懼怕應(yīng)用類(lèi)題。我要求學(xué)生認(rèn)真審題，逐字逐句進(jìn)行推敲，分清楚哪些是已知量，哪些是未知量，積極尋找題目中所蘊(yùn)藏的等量關(guān)系，從而設(shè)未知數(shù)解決問(wèn)題。由教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，畫(huà)示意圖或表格分析數(shù)據(jù)，并解答，向?qū)W生呈現(xiàn)一個(gè)完整的分析、解決問(wèn)題的過(guò)程。

例1.A、B兩地相距450 km，一列慢車(chē)從A地出發(fā)，每小時(shí)行駛60 km，一列快車(chē)從B地出發(fā)，每小時(shí)行駛80 km，兩車(chē)相向而行，慢車(chē)先出發(fā)30分鐘，快車(chē)開(kāi)出多長(zhǎng)時(shí)間后兩車(chē)相遇？

分析：此題學(xué)生拿到手，會(huì)從“相向而行”發(fā)現(xiàn)這是一典型的相遇問(wèn)題。等量關(guān)系是：快車(chē)的路程+慢車(chē)的路程=總路程。

不能直觀分析時(shí)，可借助于示意圖或表格分析，從而根據(jù)題目特點(diǎn)，設(shè)未知數(shù)快車(chē)開(kāi)出x小時(shí)兩車(chē)相遇，列方程并解方程。

解：設(shè)快車(chē)開(kāi)出x小時(shí)兩車(chē)相遇，由題意得：

60（0.5+x）+80x=450，

解得x=3，

答：快車(chē)開(kāi)出3小時(shí)后兩車(chē)相遇。

例2.甲乙兩人騎自行車(chē)同時(shí)從相距65 km的兩地相向而行，甲的速度為17.5 km/h，乙的速度為15 km/h，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)，甲乙兩人相距32.5 km？

分析：對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)解是只考慮到相遇前甲乙相距32.5 m或相遇后相距32.5 m一種情況。解決本題應(yīng)考慮全面，分兩種情況解答。等量關(guān)系分別是：甲路程+乙路程=65-32.5；甲路程+乙路程=65+32.5。

設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)兩人相距32.5 km：

解：①相遇前，設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)兩人相距32.5 km，

根據(jù)題意得：17.5x+15x=65-32.5，

解得x=1，

②相遇后，甲乙兩人繼續(xù)前進(jìn)，設(shè)從出發(fā)到相遇后共經(jīng)過(guò)y小時(shí)兩人相距32.5 km，

根據(jù)題意得：17.5y+15y=65+32.5，

解得：y=3，

答：經(jīng)過(guò)1小時(shí)或3小時(shí)兩人相距32.5 km。

行程問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程解應(yīng)用題的一個(gè)常規(guī)問(wèn)題。行程問(wèn)題分為相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題。對(duì)于行程問(wèn)題，要弄清楚是相遇問(wèn)題還是追及問(wèn)題，并依不同類(lèi)型尋找等量關(guān)系，由淺入深逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例3.一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營(yíng)訓(xùn)練，他們以5 km/h的速度行進(jìn)，走了30 min的時(shí)候，學(xué)校要將一個(gè)緊急通知傳給隊(duì)長(zhǎng)。通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車(chē)以15 km/h的速度按原路追上去，通訊員用多長(zhǎng)時(shí)間可以追上學(xué)生隊(duì)伍？

分析：本題的等量關(guān)系是：（1）通訊員所用的時(shí)間+30 min=學(xué)生隊(duì)伍用的時(shí)間；（2）追上時(shí)，通訊員所走的路程=學(xué)生隊(duì)伍所走的路程。

解：設(shè)通訊員追上隊(duì)伍需要x小時(shí)，則通訊員走了15x km，學(xué)生共走了5×0.5+5x=5（0.5+x）。

根據(jù)題意得：15x=5（x+0.5），

解得：x=0.25，

答：通訊員用0.25 h可以追上學(xué)生隊(duì)伍。

追及問(wèn)題可分為兩類(lèi)，一類(lèi)是同地不同時(shí)類(lèi)的問(wèn)題，一類(lèi)是同時(shí)不同地的追及問(wèn)題。追及問(wèn)題的特點(diǎn)是：兩人（或兩物體）同時(shí)沿同一路線、同一方向運(yùn)動(dòng)，慢者在前，快者在后，快者追趕慢者。環(huán)形道路的常見(jiàn)問(wèn)題類(lèi)型有同時(shí)同向首次相遇、同時(shí)反向首次相遇問(wèn)題。關(guān)鍵要找出題目中的等量關(guān)系。

例4.甲乙兩人在8 km的環(huán)形公路上跑步，甲每分鐘跑220 m，乙每分鐘跑180 m，

（1）若兩人同時(shí)同地反向而跑，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？

（2）若兩人同時(shí)同地同向而跑，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？

（3）若甲先跑10 min，乙再?gòu)耐胤聪虺霭l(fā)，還要多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？

（4）若甲先跑10 min，乙再?gòu)耐赝虺霭l(fā)，還要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？

分析：（1）等量關(guān)系為：兩人所行距離之和等于環(huán)形公路周長(zhǎng)；

（2）等量關(guān)系為：甲所行路程-乙所行路程=環(huán)形公路周長(zhǎng)；

（3）等量關(guān)系為：甲所行路程+乙所行路程=環(huán)形公路周長(zhǎng)；

（4）甲所行路程-乙所行路程=環(huán)形公路周長(zhǎng)。

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x min首次相遇

（1）由題意得，220x+180x=8000。解得x=20。所以經(jīng)過(guò)20 min首次相遇。

（2）由題意得，220x-180x=8000。解得x=200。所以經(jīng)過(guò)200 min首次相遇。

（3）由題意得，220×10+220x+180x=8000。解得x=14.5。所以經(jīng)過(guò)14.5 min首次相遇。

（4）由題意得，220×10+220x-180x=8000。解得x=145。所以經(jīng)過(guò)145 min首次相遇。

環(huán)形跑道的問(wèn)題歸結(jié)為兩點(diǎn)：（1）甲乙兩人在環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向出發(fā)，快的必須多跑一圈才能追上慢的；（2）甲乙兩人在環(huán)形跑道上同時(shí)同地反向出發(fā)，兩人相遇時(shí)的總路程為環(huán)形跑道一圈的長(zhǎng)度。

總的來(lái)說(shuō)，行程問(wèn)題是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，與生活接近，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到重要作用。題型有填空題、選擇題、列方程解應(yīng)用題。對(duì)于行程問(wèn)題，要弄清楚是相遇問(wèn)題還是追及問(wèn)題，依不同類(lèi)型尋找等量關(guān)系。在分清相遇和追及問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要理解“同向而行”和“相向而行”的概念。逐字逐句分析題意，找出等量關(guān)系，列出方程，從而解決問(wèn)題。

在解題過(guò)程中，出現(xiàn)障礙的根本原因分析：

（1）語(yǔ)言知識(shí)缺乏。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙學(xué)生對(duì)關(guān)系句的理解比較困難，對(duì)已知條件的提取能力較差，對(duì)解題目標(biāo)的理解困難。

（2）在與解題相關(guān)的生活常識(shí)上比較匱乏，在單位換算轉(zhuǎn)換方面存在困難。

（3）圖式知識(shí)模糊。對(duì)問(wèn)題類(lèi)型的辨識(shí)困難，對(duì)等量關(guān)系的理解和記憶能力較差，利用等量關(guān)系列方程的能力較弱。

（4）策略知識(shí)單一。使用的解題策略種類(lèi)極為單一，不習(xí)慣使用列一元一次方程的策略解題，缺少回顧檢查的監(jiān)控策略，易出現(xiàn)隨意拼湊數(shù)字進(jìn)行列式的不成熟策略。

（5）程序知識(shí)不熟練。計(jì)算速度慢，計(jì)算過(guò)程出現(xiàn)反復(fù)的情況，一元一次方程移項(xiàng)時(shí)運(yùn)算符號(hào)易出錯(cuò)，列豎式計(jì)算出錯(cuò)率較高，缺少驗(yàn)算的習(xí)慣，常忘記把計(jì)算結(jié)果和解題目標(biāo)進(jìn)行對(duì)照。

四、在補(bǔ)救教學(xué)方面研究的對(duì)策

探討了多名初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙學(xué)生在解一元一次方程應(yīng)用題時(shí)的解題過(guò)程，并實(shí)施補(bǔ)救教學(xué)后，學(xué)生在解題表現(xiàn)方面有明顯進(jìn)步，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)如下：

（1）語(yǔ)言知識(shí)：對(duì)關(guān)系句轉(zhuǎn)換技巧的講解和練習(xí)，提醒學(xué)生提高讀題次數(shù)，采取口語(yǔ)讀題、多元表征的訓(xùn)練，有助于學(xué)生理解已知條件和解題目標(biāo)。

（2）語(yǔ)義知識(shí)：不同情景常識(shí)的學(xué)習(xí)、單位換算的練習(xí)，能有效提高學(xué)生對(duì)題意的理解程度。

（3）圖式知識(shí)：應(yīng)用題分類(lèi)教學(xué)，能提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題類(lèi)型的辨識(shí)能力；對(duì)公式的理解和記憶，可以有效提高學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力；引導(dǎo)學(xué)生利用等量關(guān)系或者抓住不變量進(jìn)行方程的列式，可以提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力。

（4）策略知識(shí)：算術(shù)和方程在列式策略方面的對(duì)比教學(xué)，可以加速學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。使用列表法、圖示法、分段討論法、間接設(shè)元法、回顧檢查等解題策略，能有效提高學(xué)生對(duì)已知條件和解題目標(biāo)的整合能力。

（5）程序知識(shí)：逐步計(jì)算，算術(shù)和方程中“等號(hào)”含義的對(duì)比講解，列豎式計(jì)算時(shí)把進(jìn)位的數(shù)字明確標(biāo)示出來(lái)，把計(jì)算結(jié)果代回到方程驗(yàn)算，都可以有效提高計(jì)算的準(zhǔn)確率。

無(wú)論是用圖解法、圖表法列一元一次方程解應(yīng)用題，還是訓(xùn)練一元一次方程應(yīng)用題多解，都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程總結(jié)的一些方法和經(jīng)驗(yàn)，卻不是唯一的，也不是必須的，通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題抽象為方程模型的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)模型化的思想，會(huì)用一元一次方程解決一些實(shí)際問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，初步理解一元一次方程的使用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生核心素養(yǎng)的提高出一臂之力。

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編輯 郭小琴