鐘鳴 陳鋒

一、教學(xué)目標(biāo)

理解反比例函數(shù)的概念；

能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；

能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過(guò)反比例函數(shù)概念形成的過(guò)程理解反比例函數(shù)的概念。

難點(diǎn)：在對(duì)比和聯(lián)想中領(lǐng)會(huì)反比例函數(shù)的內(nèi)涵和外延。

三、教法分析

在對(duì)一類例子的概括和抽象中，相互啟發(fā)和補(bǔ)充是必要的；在對(duì)一類例子的辨析和判斷中，獨(dú)立思考和積極嘗試是必要的。因此，本節(jié)課的教法采用啟發(fā)式探究法和合作式討論法。

四、教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入：同學(xué)們好，清明假期，我回了趟老家，我的老家是距離無(wú)錫400km的徐州睢寧。

1.概念感悟

例1：從無(wú)錫到睢寧大概400km，如果平均速度是100km/h，那么只要4個(gè)小時(shí)就能到達(dá)。

問(wèn)題1：填填表格。

問(wèn)題2：在這個(gè)變化過(guò)程中，有幾個(gè)量？常量是什么？變量是什么？

問(wèn)題3：v和t滿足怎樣的關(guān)系式？

例2：我們村組織60人參加植樹(shù)活動(dòng)，計(jì)劃植樹(shù)480棵，2h可以完成任務(wù)。

問(wèn)題1：填填表格。

問(wèn)題2：在這個(gè)變化過(guò)程中，有幾個(gè)量？常量是什么？變量是什么？

問(wèn)題3：人數(shù)n和完成時(shí)間t滿足怎樣的關(guān)系式？

師：在這兩個(gè)例題中，兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系有何共同點(diǎn)呢？

生：……

師：很好，發(fā)現(xiàn)共性是概括的基礎(chǔ)。這樣的兩個(gè)變量是一種什么關(guān)系呢？

生：一個(gè)在變大，一個(gè)在變小。

師：一個(gè)量變大，另一個(gè)量也變大，叫做什么關(guān)系？一個(gè)量變大，另一個(gè)量變小，叫什么關(guān)系？

生：正比例，反比例。

概念呈現(xiàn)：如果用x和y表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這個(gè)式子表示：（一定）。

如果用x和y表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以用這個(gè)式子表示：（一定）。

追問(wèn)1：你能分別用含v、n的代數(shù)式表示t嗎？

追問(wèn)2：從這兩個(gè)表達(dá)式可以看出，當(dāng)v的值確定的時(shí)候，t的值怎樣？當(dāng)n確定的時(shí)候呢？

追問(wèn)3：t是v的函數(shù)嗎？t是n的函數(shù)嗎？

概念呈現(xiàn)：一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x的每個(gè)取值，變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量。

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)的概念較抽象，再加上相隔時(shí)間較長(zhǎng)，學(xué)生回憶起來(lái)較困難。本設(shè)計(jì)通過(guò)一個(gè)具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)的本質(zhì)特征（兩個(gè)變量、互相聯(lián)系、單值對(duì)應(yīng)），為學(xué)生提供回憶的線索，激活學(xué)生的回憶，喚醒學(xué)生的理解。

師：這兩個(gè)函數(shù)是我們學(xué)過(guò)的函數(shù)嗎？你認(rèn)為它應(yīng)該叫什么名字？

生：……

師：你的答案很正確，我們今天的學(xué)習(xí)對(duì)象就是反比例函數(shù)。類比學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)歷，你認(rèn)為本章我們將怎樣來(lái)研究反比例函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考知識(shí)的發(fā)展，將知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展貫通起來(lái)，形成對(duì)整章學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性了解。初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)，就是在“變量說(shuō)”的基礎(chǔ)上，用一以貫之的研究方法，從概念、圖形與性質(zhì)、應(yīng)用三個(gè)方面去研究。

2.對(duì)比觀察

用函數(shù)關(guān)系式表示下列例題中變量之間的關(guān)系。

例3：老師出發(fā)前，汽車(chē)的油箱中有50升油，行駛中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）隨行駛路程x（千米）的變化而變化。

例4：現(xiàn)在油價(jià)為每升6.72元，加油費(fèi)用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化。

例5：面積為24的10個(gè)矩形貼在直角坐標(biāo)系中（直角坐標(biāo)系中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，相鄰兩邊分別在x軸、y軸上，在x軸上的邊長(zhǎng)為x，在y軸上的邊長(zhǎng)為y，如右圖所示。矩形邊長(zhǎng)如下表所示。y隨x的變化而變化。

例6：實(shí)數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化。

例7：正方形的邊長(zhǎng)為x（cm），面積y（cm2）隨x的變化而變化。

問(wèn)題1：你能給這七個(gè)函數(shù)關(guān)系式（ ____ 、 ____ 、 ____ 、 ____ 、____ 、____ ）分分類嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。

問(wèn)題2：一次函數(shù)的一般式是什么？正比例函數(shù)的一般式是什么？你能給這些新的函數(shù)寫(xiě)個(gè)一般式嗎？

問(wèn)題3：請(qǐng)觀察這個(gè)新的函數(shù)的一般式，從形式上來(lái)看有什么特征？還能寫(xiě)成什么樣的等式？

問(wèn)題4：你能類比一次函數(shù)的定義，說(shuō)說(shuō)什么是反比例函數(shù)嗎？

定義：形如的函數(shù)叫作反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：概念建立的標(biāo)志是用詞來(lái)標(biāo)示和記載，對(duì)概念的理解最終要回到對(duì)概念的標(biāo)示詞的理解上來(lái)，理解它的來(lái)龍去脈，搞清概念的本質(zhì)特征。

總結(jié)：初中階段我們從函數(shù)的角度深入研究成反比例關(guān)系的兩個(gè)變量：從成正比例的量到正比例函數(shù)，從成反比例的量到反比例函數(shù)。

3.概念鞏固

例8：寫(xiě)出下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式，并判斷它們是不是反比例函數(shù)。

（1）面積為100cm2的三角形，邊長(zhǎng)y（cm）隨該邊上的高x （cm）的變化而變化。

（2）體積是100cm3的圓錐，高h(yuǎn)（cm）隨底面積S（cm2）的變化而變化。

（3）你還能舉出哪些例子？

解后反思：①需要說(shuō)明的是，實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值除了不能為0外，還有實(shí)際意義的限制。

②如何舉反比例函數(shù)的例子？

思考：①關(guān)于x的函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么。

②y與（x+1）這個(gè)整體是不是反比例關(guān)系？為什么？

y1與（x+3）成正比例，你能寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式嗎？

y2與x2成反比例，你能寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式嗎？

4.小結(jié)升華

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為怎樣判斷函數(shù)是否為反比例函數(shù)？

反比例關(guān)系與反比例函數(shù)有何區(qū)別和聯(lián)系？

比較反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別。

五、設(shè)計(jì)說(shuō)明

溫故知新。本節(jié)課的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)為函數(shù)概念、比例關(guān)系，知識(shí)沖突點(diǎn)為新的形式與已知函數(shù)形式的沖突，延伸點(diǎn)為已有函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的類比。本節(jié)課通過(guò)具體的例子感受函數(shù)，激活函數(shù)的回憶；通過(guò)例群的觀察比較，發(fā)現(xiàn)新函數(shù)的不同。

概念學(xué)習(xí)。本節(jié)課的概念學(xué)習(xí)包括概念建立、概念強(qiáng)化、概念應(yīng)用和概念發(fā)展四個(gè)階段。其中本節(jié)課的概念建立，既有概念形成的方式，也有利用上位概念同化新的概念的方式。概念形成過(guò)程一般要經(jīng)歷單例的初步感受、模糊認(rèn)識(shí)，例群的合理分類、觀察對(duì)比（以便在“大量同類事物的不同例證中”發(fā)現(xiàn)共同的關(guān)鍵特征，發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的異同關(guān)系），本質(zhì)的概括提煉、語(yǔ)詞標(biāo)示。概念同化過(guò)程一般要經(jīng)歷復(fù)習(xí)回顧提供固定點(diǎn)，新舊對(duì)比明確異同，新舊聯(lián)系獲得同化。

正反強(qiáng)化。概念的核心是其內(nèi)涵，反比例函數(shù)的本質(zhì)是成反比例關(guān)系的函數(shù)。獲得對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，既需要在教學(xué)中提供學(xué)習(xí)內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)正例，還必須設(shè)計(jì)和提供豐富而又具有典型意義的非標(biāo)準(zhǔn)正例甚至反例，即本質(zhì)的變式。本質(zhì)與變式，不僅能夠使學(xué)生舉一反三，由本質(zhì)想象出無(wú)窮的變式，實(shí)現(xiàn)遷移與應(yīng)用；更重要的是，能使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，即學(xué)會(huì)如何對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行深度加工，提升智慧水平。

總之，“將外在的學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的精神力量”是深度學(xué)習(xí)的永恒追求。遵循概念新課的一般規(guī)律，契合初中生學(xué)習(xí)的階段特點(diǎn)，以學(xué)定教、循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生全身心經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究、反思，促成學(xué)生高階認(rèn)知的參與，深度學(xué)習(xí)才能真實(shí)發(fā)生。