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      一類具有Holling III反應(yīng)的害蟲治理的Filippov模型研究

      2018-09-20 08:54:32胡亦鄭
      關(guān)鍵詞:鞍點(diǎn)平衡點(diǎn)結(jié)點(diǎn)

      陸 靜,羅 勇,胡亦鄭

      (溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院,浙江溫州 325035)

      目前許多學(xué)者都關(guān)注到了害蟲治理問題,并且利用數(shù)學(xué)模型對(duì)害蟲和控制問題做了一些研究,其中包括脈沖控制方法[1-2].但是由于化學(xué)控制滯后因素的影響,脈沖系統(tǒng)不能將害蟲增長(zhǎng)過程和實(shí)施控制后的過程描述出來,并且殺蟲劑的使用有可能造成周圍環(huán)境的污染以及其他有益昆蟲的死亡,因此建立具有閾值策略的 Filippov模型[3-8]更有意義,即當(dāng)害蟲的密度到達(dá)經(jīng)濟(jì)閾值ET時(shí)才實(shí)施控制手段.文獻(xiàn)[7]討論了一類具有Holling II反應(yīng)的害蟲治理的Filippov模型,基于文獻(xiàn)[7],本文給出并研究了一類具有Holling III反應(yīng)的害蟲治理Filippov模型.

      1 建立模型和知識(shí)預(yù)備

      1.1 建立模型

      不采用任何害蟲治理措施下的模型

      其中x(t)和y(t)表示害蟲和天敵在時(shí)刻t時(shí)的種群數(shù)量,a-bx為害蟲的增長(zhǎng)率,是天敵的Holling III型功能反應(yīng)函數(shù),d是天敵的死亡率,a,b,c,d均為正數(shù).

      當(dāng)害蟲數(shù)量x(t)>ET時(shí),采取害蟲治理措施模型變?yōu)椋?/p>

      其中 p1∈ ( 0,1), p2∈ ( 0,1)分別表示當(dāng) x (t ) > ET時(shí)噴灑殺蟲劑對(duì)害蟲的殺死率和天敵的投放率,并且假設(shè) c > d ,d > p2, a > p1.

      1.2 Filippov系統(tǒng)的相關(guān)定義與知識(shí)預(yù)備

      那么模型(1)和(2)可記為

      定義 1[7]若則稱為系統(tǒng)(3)的滑線區(qū)域,其中〈,〉表示H(z)和 FGi的數(shù)量積(這里i=1,2).

      定義 2[7]1)若 z ∈G1,且 FG1(z) = 0 或 z ∈G2,且 FG2(z) = 0 ,則稱z為系統(tǒng)(3)的真平衡點(diǎn);若則稱z為系統(tǒng)(3)的假平衡點(diǎn).

      2)在∑s上局部軌線是通過Filippov系統(tǒng)的凸組合定義的,考慮系統(tǒng)

      其中有 z ∈∑s, Zs(z)稱為系統(tǒng)(3)的滑線系統(tǒng).若 Zs(z) = 0 ,則z為偽平衡點(diǎn).

      2 模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

      2.1 系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

      經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)G1的平衡點(diǎn)為O(0,0)和當(dāng)時(shí),系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點(diǎn)

      定理1 1)系統(tǒng)(1)的零平衡點(diǎn)O(0,0)是鞍點(diǎn).

      2) c a2> d (m b2+ a2)時(shí),E1是鞍點(diǎn); c a2< d (m b2+ a2)時(shí),E1是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

      3)R1<1時(shí),系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E2不存在;R1>1,且成立時(shí),E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

      證明:

      1)計(jì)算系統(tǒng)(1)在O(0,0)點(diǎn)的Jacobian矩陣,得到它的特征多項(xiàng)式為(λ - a ) (λ + d ) = 0 ,其中兩個(gè)特征根為 λ1= a ,λ2=- d ,即λ1λ2<0,所以O(shè)(0,0)為鞍點(diǎn).

      2)計(jì)算系統(tǒng)(1)在E1點(diǎn)的Jacobian矩陣,得到它的特征多項(xiàng)式為其中兩個(gè)特征根為

      若λ2>0,即 c a2> d (m b2+ a2),E1是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn);若λ2<0,即 c a2< d (m b2+ a2),E1是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

      3)計(jì)算系統(tǒng)(1)在E2點(diǎn)的Jacobian矩陣,得到

      它的特征多項(xiàng)式為 λ2+ pλ + q = 0 ,兩特征根分別為 λ1,λ2,其中

      則 λ1+ λ2= - p,λ1λ2= q .當(dāng) p > 0 ,q > 0 時(shí),E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

      即R1>1.

      所以當(dāng)R1>1且成立時(shí),E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

      2.2 系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

      經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)G2的平衡點(diǎn)為O(0,0)和時(shí),系統(tǒng)(2)還存在唯一的正平衡點(diǎn)其中=

      定理2 1)系統(tǒng)(2)的零平衡點(diǎn)O(0,0)是鞍點(diǎn).

      2)當(dāng) c (a - p1)2> ( d - p2)(m b2+ ( a - p1)2)時(shí),E3是鞍點(diǎn);當(dāng) c (a - p1)2<(d - p2)(mb2+(a -p )2)時(shí),E是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

      3)當(dāng)R2<1時(shí),系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E4不存在;當(dāng)R2>1時(shí),并且當(dāng)

      時(shí),E4為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

      證明:

      1)計(jì)算系統(tǒng)(2)在O(0,0)點(diǎn)的 Jacobian矩陣,得到它的特征多項(xiàng)式為 ( λ - a + p1) (λ + d - p2) = 0 ,其中兩個(gè)特征根為 λ1= a - p1,λ2=- d + p2.即λ1λ2< 0 ,所以O(shè)(0,0)為鞍點(diǎn).

      2)計(jì)算系統(tǒng)(2)在E3點(diǎn)的Jacobian矩陣,得到

      若λ2>0,即 c (a - p1)2> ( d - p2)[m b2+ ( a - p1)2],E3是鞍點(diǎn);若λ2<0,即 c (a -p1)2<(d - p2)[m b2+ ( a - p1)2],E3是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

      3)計(jì)算系統(tǒng)(2)在E4點(diǎn)的Jacobian矩陣得到

      它的特征多項(xiàng)式為 λ2+ pλ + q = 0 ,兩特征根分別為 λ,λ ,其中

      則 λ1+ λ2= - p,λ1λ2= q ,當(dāng) p > 0 ,q > 0 時(shí),E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

      所以當(dāng)R2>1,且時(shí),E4為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).

      2.3 Filippov系統(tǒng)(3)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

      為確保Filippov系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)存在,需要同時(shí)滿足 R1> 1 ,R2> 1 .考慮當(dāng) R1> 1 ,R2>1時(shí),F(xiàn)ilippov系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)的真假性,分三種情況討論系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn).

      接著討論滑線區(qū)域的存在性,由定義1可知滑線區(qū)域 ∑s= { z ∈ ∑ / σ(z) ≤ 0 },經(jīng)計(jì)算,

      故系統(tǒng)(3)的滑線區(qū)域存在,即

      為保證滑線始終存在,在此假設(shè) a - p1- b ET > 0 ,則有

      最后討論偽平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性.由定義1知:

      令 Zs(z) = 0 ,解得y(1)=0和

      要使y(2)>0,則需滿足

      要使y(2)∈∑s,則需滿足{此時(shí)偽平衡點(diǎn)存在,記為 Ep(E T,y(2)).

      定理3 如果滿足偽平衡點(diǎn)存在條件,則系統(tǒng)(3)的偽平衡點(diǎn) Ep(E T, y(2))局部漸近穩(wěn)定.

      證明:由于

      所以,偽平衡點(diǎn) Ep(E T,y(2))是局部漸近穩(wěn)定的.

      3 數(shù)值模擬

      定理1中的3)和定理2中的3)已證明如果存在真平衡點(diǎn)E2和E4,則E2和E4是漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn),為進(jìn)一步確定平衡點(diǎn)的類型,使用Matlab軟件選取合適的參數(shù) a = 1 ,b = 0 .23,c = 0 .5,d = 0 .4,m = 1 , p1= 0 .6, p2= 0 .1,對(duì)真?zhèn)纹胶恻c(diǎn)的類型進(jìn)行數(shù)值模擬,結(jié)果見圖1.

      圖1 Filippov系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)數(shù)值模擬圖Fig 1 Numerical Equilibrium Point Simulated Diagram of Filippov System (3)

      通過上面的模擬,得到如下結(jié)論:

      3)如果滿足偽平衡點(diǎn)存在的條件,則系統(tǒng)(3)的偽平衡點(diǎn)是 Ep(E T,y(2)),此時(shí)取滿足條件的 E T= 1 .25,則它在上是漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn),見圖1(c).

      4 結(jié) 論

      本文通過對(duì)一類具有Holling III反應(yīng)的害蟲治理的Filippov模型的研究,求得了真假平衡點(diǎn)和偽平衡點(diǎn),討論了平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性的條件,并且推導(dǎo)出了將害蟲控制在經(jīng)濟(jì)臨界值以內(nèi)的參數(shù)所滿足的條件.因此,我們可以通過選取適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)閾值或者適度調(diào)整殺蟲劑的用量,以此來降低害蟲治理的投資成本和保護(hù)環(huán)境.

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