掌握技巧，用好“根的判別式”

吳玲芳

在學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程后，我們又學(xué)習(xí)了一元二次方程.不同于之前學(xué)習(xí)的方程，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根有三種情況：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、沒有實(shí)數(shù)根.因?yàn)橐辉畏匠痰母c系數(shù)之間存在特殊的關(guān)系，我們不需要解方程，也能對(duì)根的情況做出判別：當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.反之，已知方程的根的情況，我們也能得出b2-4ac的正負(fù)性.b2-4ac叫做根的判別式，這個(gè)式子用“Δ”來表示.用一元二次方程的根的判別式判別方程是否有實(shí)根、兩個(gè)實(shí)根是否相等，這是課標(biāo)的要求，也是中考?？嫉闹R(shí)點(diǎn).如何靈活運(yùn)用根的判別式？下面為大家提供了一些常見題型的解決方法.

一、方程能解卻不必解，利用判別式判斷根的情況

解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法.公式法是配方法的一般化.用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0），配方至?xí)r，需要分類討論.只有等號(hào)右邊b2-4ac≥0時(shí)，兩邊才能開平方.并且當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，由于任何數(shù)的平方都大于等于零，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根.對(duì)于給定常系數(shù)的一元二次方程，一定可以運(yùn)用合適的方法求出它的根.但是如果只要了解根的情況，那么僅要算出判別式就能夠進(jìn)行判別.

例1 下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（ ）.

A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系.

解答：A因?yàn)閍=1，b=-2，c=0，所以b2-4ac=4-0=4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意；B因?yàn)閍=1，b=4，c=-1，所以b2-4ac=16+4=20＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意；C因?yàn)閍=2，b=-4，c=3，所以b2-4ac=16-4×2×3＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)符合題意；D首先應(yīng)化為一般形式，得到3x2-5x+2=0，所以a=3，b=-5，c=2，b2-4ac=25-4×3×2=25-24=1＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確確定a、b、c.如果方程不是一般形式，要先將方程化為一般形式，再確定a、b、c并代入判別式，計(jì)算出判別式的值，最后根據(jù)判別式的值再選.因?yàn)轭}目要求是沒有實(shí)數(shù)根，則判別式的值小于0即可.

二、方程不易求解，利用判別式判斷或證明根的情況

當(dāng)一元二次方程的系數(shù)中含有字母，一般情況下較難求出方程的根.這類方程的根的情況并不會(huì)都隨著所含字母的取值的變化而變化，有時(shí)因?yàn)樘厥獾臄?shù)量關(guān)系，我們也能利用根的判別式，再結(jié)合整式的運(yùn)算法則、湊平方等方法，判斷出根的情況.

例2 下列對(duì)一元二次方程x2+（2m+3）x+m2+3m=0根的情況的判斷，正確的是（ ）.

A.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.無法判斷

【解析】本題考查了根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系，以及整式的運(yùn)算法則.

解答：Δ=（2m+3）2-4×1×（m2+3m）=9.

∴無論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】因?yàn)榉匠痰南禂?shù)中含有字母，所以不要再將判別式b2-4ac寫出來，直接將各個(gè)系數(shù)代入Δ，適當(dāng)?shù)鼗喚湍馨l(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果與字母m無關(guān)，Δ=9＞0，便知道方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m=0.求證：無論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【解析】本題考查一元二次方程的根的情況與根的判別式的關(guān)系，以及如何將一個(gè)二次三項(xiàng)式通過湊平方，轉(zhuǎn)化成含有完全平方式的式子.

∴無論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)評(píng)】審題時(shí)結(jié)合條件和結(jié)論綜合考慮.本題既然要證明有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，那么通常是利用根的判別式來求解.只有判別式大于0，方程才有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.所以首先要寫出根的判別式，化簡后發(fā)現(xiàn)Δ是關(guān)于m的二次三項(xiàng)式，可以通過湊平方將它轉(zhuǎn)化，得到Δ=（m+1）2+8，這樣的含有m的式子的平方再加上一個(gè)常數(shù)的式子是大于0的，從而能夠完成證明.

三、已知方程的根的情況，利用判別式求字母的值或取值范圍

方程的系數(shù)中含有字母，已知方程的根的情況，可以根據(jù)對(duì)應(yīng)的判別式的情況，利用方程或不等式求出其中字母的取值或取值范圍.但是在這類問題中，由于一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)需要注意.審題時(shí)，應(yīng)厘清已知條件中的方程是有解還是無解，當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，應(yīng)考慮能否是一元一次方程.在一元二次方程的條件下，必須看清是“兩個(gè)根”還是“兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，抑或是“兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根”.

例4 關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）.

A.k≤-4 B.k＜-4 C.k≤4 D.k＜4

【解析】本題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系，以及解一元一次不等式的方法.

解答：根據(jù)題意得根的判別式42-4k≥0，解一元一次不等式得k≤4.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題中一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數(shù)中出現(xiàn)了字母，不要直接用b2-4ac表示判別式，而要將對(duì)應(yīng)的系數(shù)直接代入判別式，避免混淆.根據(jù)判別式的意義得Δ=42-4k≥0，然后解不等式即可.

例5 關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）.

A.k≥0 B.k≤0

C.k＜0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1

【解析】本題考查了一元二次方程的定義、根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系，以及解一元一次不等式的方法.

解答：由題意得k+1≠0且Δ=（-2）2-4（k+1）≥0，即k≤0且k≠-1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)一元二次方程的定義，可知一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則有k+1≠0.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根包括不等和相等兩種情況，所以Δ=（-2）2-4（k+1）≥0.然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可.

變式1關(guān)于x的方程（k+1）x2-4x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值_______.

【解析】本題考查了一元二次方程的定義、根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系，以及解一元一次方程的方法.

解答：根據(jù)題意，得根的判別式為42-4（k+1）=0，解一元一次方程得k=3.因?yàn)閗=3，所以k+1≠0，符合一元二次方程的定義.

【點(diǎn)評(píng)】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以該方程一定是一元二次方程，所以解題方法類似例5，但是我們審題時(shí)一定要看清要求，是“有兩個(gè)根”還是“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，這樣，對(duì)于判別式的范圍才能用對(duì)不等號(hào)，才能求出字母的值.

變式2關(guān)于x的方程（k+1）x2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值_______.

【解析】本題考查了方程的定義、一元二次方程的定義、根的判別式、解一元一次不等式的方法以及分類討論的思想方法.

解答：根據(jù)題意，該方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程.

若該方程為一元二次方程，則：k+1≠0且Δ=（-2）2-4（k+1）≥0，k≤0且k≠-1.

若該方程為一元一次方程，則：k+1=0且方程有解.即k=-1.

綜上所述，k≤0.

【點(diǎn)評(píng)】由于題中已知方程有實(shí)數(shù)根，二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，所以不能確定該方程是一元一次方程還是一元二次方程，因此先分情況討論，再綜合分析.二次項(xiàng)系數(shù)指的是一般形式下的情況，如果方程不是一般形式，必須將其轉(zhuǎn)化為一般形式，觀察x2的系數(shù)，使其不為0，從而解決問題.