王法松

(鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，鄭州 450001)

0 引言

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程是電子信息、通信、自動(dòng)控制等本科專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)必修課程，從開(kāi)設(shè)至今，在國(guó)際上已經(jīng)歷了近七十年的歷史。該課程在整個(gè)本科教學(xué)體系中，具有舉足輕重和承前啟后的作用，向前承接著“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”“概率統(tǒng)計(jì)”和“電路”等重要基礎(chǔ)課程，往后銜接著“數(shù)字信號(hào)處理”“通信原理”“隨機(jī)信號(hào)分析”和“自動(dòng)控制原理”等重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程。相對(duì)于其他課程而言，由于該課程涉及到較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，比較抽象，理論難度較大。

該課程在內(nèi)容上主要涉及連續(xù)和離散時(shí)間信號(hào)及相應(yīng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間域和變換域的相關(guān)理論分析。在學(xué)習(xí)上，同學(xué)們需要在理解課程所涉及的物理背景和數(shù)學(xué)原理的前提下，能夠應(yīng)用這些數(shù)學(xué)工具描述和分析連續(xù)和離散時(shí)間信號(hào)及相應(yīng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)的具體問(wèn)題。在教學(xué)上，為了突破學(xué)生由于數(shù)學(xué)知識(shí)的不足而造成的對(duì)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中的一些教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的分析障礙，已出現(xiàn)大量的使用Matlab等軟件進(jìn)行相關(guān)教學(xué)的大量嘗試和研究[1-2]。在這些研究中，特別地，針對(duì)信號(hào)的傅里葉分析的研究較多，但是大部分都是針對(duì)信號(hào)的幅度譜展開(kāi)討論，而相應(yīng)的專(zhuān)門(mén)針對(duì)信號(hào)相位譜的研究和分析卻鮮有涉及。同樣地，在教學(xué)過(guò)程中，由于幅度譜具有直觀的物理含義，較容易被廣大同學(xué)理解和接受，而相位譜卻不然。然而，在信號(hào)的頻域表示中，幅度譜和相位譜具有同樣重要的地位，在一些具體的應(yīng)用問(wèn)題中，信號(hào)的相位譜信息包含了原始信號(hào)的絕大多數(shù)甚至全部信息[3-6]。因此，本文將針對(duì)圖像信號(hào)和聲音信號(hào)兩類(lèi)具體信號(hào)類(lèi)型，通過(guò)分析和Matlab仿真說(shuō)明信號(hào)相位譜的作用，以加強(qiáng)廣大同學(xué)在學(xué)習(xí)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中對(duì)信號(hào)相位信息重要性的理解和認(rèn)識(shí)。

1 信號(hào)幅度譜和相位譜的基本概念

連續(xù)時(shí)間傅里葉變換F(jω)的幅度-相位表達(dá)形式可以表示為式(1)。

F(jω)=|F(jω)|exp(jφ(ω))

(1)

式(1)中，|F(jω)|表示信號(hào)x(t)的幅度譜，φ(ω)表示信號(hào)x(t)的相位譜。類(lèi)似地，對(duì)于離散時(shí)間傅里葉變換的幅度-相位表達(dá)形式可以表示為式(2)。

F(ejω)=|F(ejω)|exp(jφ(ejω))

(2)

由傅里葉變換的逆變換表達(dá)式為式(3)。

(3)

(4)

選擇不同的相位值φ1，φ2和φ3，由式(1)給出的信號(hào)x(t)的時(shí)域波形圖，如圖1所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖1(a)給出了信號(hào)x(t)在φ1=φ2=φ3=0時(shí)的時(shí)域波形圖。同樣，在各次諧波幅度不變的情況下，圖1(b)-圖1(d)給出了其他幾組不同的相位值得到的信號(hào)x(t)的時(shí)域波形圖，從這幾幅圖中可以清楚的看到不同的相對(duì)相位關(guān)系對(duì)信號(hào)合成效果的影響。

2 信號(hào)相位譜重要性的應(yīng)用實(shí)例

本節(jié)將通過(guò)兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明信號(hào)相位譜的重要性。

實(shí)例一：圖像信號(hào)的相位譜

灰度圖像可以看作是一個(gè)具有兩個(gè)獨(dú)立變量的信號(hào)x(t1,t2)，其中t1表示圖像上一個(gè)點(diǎn)的水平坐標(biāo)，t2是該點(diǎn)的垂直坐標(biāo)，而x(t1,t2)表示該點(diǎn)圖像的灰度值。圖像信號(hào)的傅里葉變換F(jω1,jω2)表示將圖像信號(hào)分解成復(fù)指數(shù)信號(hào)ejω1t1ejω2t2的組合形式，這兩個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)體現(xiàn)了圖像信號(hào)x(t1,t2)在兩個(gè)坐標(biāo)方向上以不同的頻率進(jìn)行空間變化的趨勢(shì)。一般來(lái)說(shuō)，圖像的邊緣信息和高對(duì)比度的區(qū)域反映了該圖像的最重要的特征信息，具有相同相位的不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的疊加一般出現(xiàn)在一幅圖像上最大和最小強(qiáng)度的區(qū)域。因此，可以認(rèn)為圖像信號(hào)的傅里葉變換的相位譜包含了其中的大部分特征信息，尤其是關(guān)于圖像的邊緣特征信息，如圖2所示。

現(xiàn)考慮圖2(a)和圖2(b)所示的兩幅灰度圖像信號(hào)；圖2(c)和圖2(d)給出了這兩幅原始灰度圖像所對(duì)應(yīng)的傅里葉變換的幅度譜；圖2(e)和圖2(f)給出了原始灰度圖像對(duì)應(yīng)的傅里葉變換的相位譜；圖2(g)和圖2(h)給出了將原始圖像的幅度譜設(shè)為1而相位譜保持不變時(shí)對(duì)應(yīng)的灰度圖像；圖2(i)和圖2(j)給出了將原始圖像的相位譜設(shè)為0而幅度譜保持不變時(shí)對(duì)應(yīng)的灰度圖像；圖2(k)和圖2(l)給出了將兩幅原始圖像的相位譜互換而幅度譜不變時(shí)的灰度圖像。由仿真結(jié)果可見(jiàn)，灰度圖像信號(hào)的大部分邊緣信息都包含在該圖像的相位譜信息中，即具有相同相位譜的兩幅圖像看起來(lái)更為相似。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

實(shí)例二：語(yǔ)音信號(hào)的相位譜

另一個(gè)能夠說(shuō)明信號(hào)相位譜重要性的例子是語(yǔ)音信號(hào)的相位譜，如圖3所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

圖3(a)和圖3(b)給出了原始時(shí)域語(yǔ)音信號(hào)波形圖；圖3(c)和圖3(d)給出了原始語(yǔ)音信號(hào)的幅度譜圖像；圖3(e)和圖3(f)給出了將原始語(yǔ)音信號(hào)的幅度譜設(shè)為1而相位譜保持不變時(shí)的時(shí)域信號(hào)波形圖；圖3(g)和圖3(h)給出了將原始語(yǔ)音信號(hào)的相位譜設(shè)為0而幅度譜保持不變時(shí)的時(shí)域信號(hào)波形圖；圖3(i)和圖3(j)為將原始兩路語(yǔ)音信號(hào)的相位譜交換而幅度譜不變時(shí)的頻譜圖像；圖3(k)和圖3(l)為將原始兩路語(yǔ)音信號(hào)的相位譜交換而幅度譜不變時(shí)的時(shí)域信號(hào)波形圖。由仿真結(jié)果可見(jiàn)，語(yǔ)音信號(hào)的大部分信息也包含在該信號(hào)的相位譜信息之中。

3 總結(jié)

由于“信號(hào)與系統(tǒng)”課程在很多工科專(zhuān)業(yè)中具有的重要作用，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中的地位顯得特別重要。而在該課程中，傅里葉變換作為頻域分析的主要工具，更是課程的重點(diǎn)，同時(shí)由于其抽象性，也是難點(diǎn)之一，尤其是信號(hào)的相位譜信息在相關(guān)教學(xué)討論中涉及較少。本文針對(duì)在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生可能面臨的對(duì)實(shí)際信號(hào)的相位譜理解困難和不夠重視的情況，結(jié)合自然界中最常見(jiàn)的圖像信號(hào)和語(yǔ)音信號(hào)的具體事例，分析和討論了信號(hào)相位譜在表示和分析實(shí)際信號(hào)時(shí)的重要作用，以期達(dá)到增強(qiáng)和鞏固學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)的目的。