邵定國(guó)，楊澤眾

(上海大學(xué)，上海 200072)

0 引 言

對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱PMSM)來(lái)說(shuō)，獲得準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子位置角度是PMSM能夠穩(wěn)定運(yùn)行并且達(dá)到理想控制效果的必要條件。針對(duì)轉(zhuǎn)子位置角度的檢測(cè)現(xiàn)分為有位置傳感器法與無(wú)位置傳感器法兩類。有位置傳感器法通過(guò)安裝高分辨率位置傳感器獲取高精度轉(zhuǎn)子位置，但傳感器的安裝使得PMSM控制系統(tǒng)的尺寸和成本增加，且高分辨率位置傳感器易受環(huán)境影響[1-3]。無(wú)位置傳感器法省去了位置傳感器，須檢測(cè)電流、電壓等電參數(shù)，并結(jié)合電機(jī)本身參數(shù)，通過(guò)觀測(cè)器，高頻注入、模型參考自適應(yīng)估計(jì)器等算法來(lái)對(duì)轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行估計(jì)[4]。但無(wú)位置傳感器法控制算法復(fù)雜，對(duì)電機(jī)參數(shù)要求高，存在起動(dòng)速度慢、動(dòng)態(tài)性能不理想等問(wèn)題。

為了同時(shí)彌補(bǔ)有位置傳感器法與無(wú)位置傳感器法的缺陷，基于低分辨率位置傳感器的方案成為一種權(quán)衡成本與控制性能的選擇。常用的低分辨率位置傳感器有開關(guān)型霍爾器件，它具有成本低、體積小、可靠性高等特點(diǎn)，但在一個(gè)電角度周期內(nèi)只能提供6個(gè)離散的角度位置信號(hào)，無(wú)法實(shí)時(shí)檢測(cè)準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子位置角度。因此，如何處理霍爾離散位置信號(hào)以獲得準(zhǔn)確、高精度的位置信號(hào)是低分辨率位置傳感器的研究熱點(diǎn)，這種基于低分辨率霍爾位置傳感器的PMSM磁場(chǎng)定向控制算法簡(jiǎn)稱為HallFOC。常用的HallFOC算法有平均速度法[5]等。文獻(xiàn)[6]提出了平均加速度法，這種算法在電機(jī)轉(zhuǎn)速突變時(shí)對(duì)扇區(qū)內(nèi)進(jìn)行角加速度補(bǔ)償。文獻(xiàn)[7]提出了基于電流補(bǔ)償?shù)乃惴ǎ梢暂^精確地對(duì)扇區(qū)內(nèi)角度進(jìn)行角加速度補(bǔ)償。文獻(xiàn)[8]提出了矢量追蹤觀測(cè)器的方法，這種方法采用狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)處理低分辨率位置信號(hào)。以上方法均可估測(cè)出轉(zhuǎn)子位置角度，但存在以下問(wèn)題：電機(jī)轉(zhuǎn)速突變時(shí)估測(cè)轉(zhuǎn)子角度準(zhǔn)確性下降；需要辨識(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；算法過(guò)于復(fù)雜，在微處理器中實(shí)現(xiàn)難度大。

本文在分析了2種HallFOC算法基本原理的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種基于最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC控制方法。通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法處理過(guò)后的低精度離散位置信號(hào)能夠平滑地追蹤真實(shí)的轉(zhuǎn)子位置角度，電機(jī)電流波形正弦度較好，運(yùn)行平穩(wěn)，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 HallFOC算法基本原理

1.1 霍爾元器件檢測(cè)基準(zhǔn)位置原理

PMSM在定子側(cè)以互差120°電角度的位置安裝3個(gè)霍爾元件HA,HB,HC，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，霍爾元件會(huì)產(chǎn)生3個(gè)相位差120°電角度的高低電平信號(hào)[9]。霍爾信號(hào)會(huì)將一個(gè)電周期劃分為6個(gè)扇區(qū)，每個(gè)扇區(qū)60°電角度，通過(guò)微處理器可以捕獲每個(gè)扇區(qū)內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間t。為了獲得準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子角度， 電機(jī)繞組A相接電源正極，B，C兩相接電源負(fù)極，定子磁場(chǎng)與轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)相互作用，最終定位到轉(zhuǎn)子的零位點(diǎn)，也就是A相繞組的軸線位置。確定零位點(diǎn)后，根據(jù)PMSM方波控制時(shí)的霍爾信號(hào)順序，可以得到霍爾信號(hào)與轉(zhuǎn)子位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表1所示。

表1 霍爾信號(hào)與轉(zhuǎn)子位置對(duì)應(yīng)關(guān)系

后續(xù)的仿真與實(shí)驗(yàn)均依照表1中的霍爾信號(hào)狀態(tài)與轉(zhuǎn)子位置角對(duì)應(yīng)關(guān)系為基準(zhǔn)進(jìn)行。

1.2 基于平均加速度法的位置估算原理

HallFOC平均速度法中假設(shè)電機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)大于電氣時(shí)間常數(shù)，認(rèn)為每個(gè)扇區(qū)內(nèi)速度恒定不變，并且忽略從上一扇區(qū)到下一扇區(qū)的速度突變，因此文獻(xiàn)[5]中提出可以用一個(gè)扇區(qū)內(nèi)的時(shí)間t(i)計(jì)算出該扇區(qū)內(nèi)的平均角速度ω(i):

(1)

將上一扇區(qū)的平均角速度ω(i-1)近似作為當(dāng)前扇區(qū)的平均速度，可得當(dāng)前轉(zhuǎn)子位置角θp(t)：

(2)

式中：tp和ti分別為當(dāng)前時(shí)刻與進(jìn)入當(dāng)前扇區(qū)時(shí)刻，θi為扇區(qū)起始基準(zhǔn)位置角。對(duì)式(2)進(jìn)行數(shù)字離散化處理，得：

θ(kTs)=θi+ω(i-1)kTs

(3)

式中：k為采樣計(jì)數(shù)；Ts為采樣周期。

當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)較少的情況下，電機(jī)在加減速過(guò)程中扇區(qū)間的速度變化較大。針對(duì)這種沒(méi)有考慮扇區(qū)切換時(shí)加速度的問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]提出了一種基于平均加速度的改進(jìn)方法，引入角加速度補(bǔ)償。其估計(jì)算法原理圖如圖1所示。

圖1平均加速度法原理圖

由式(1)可以求得當(dāng)前扇區(qū)上2個(gè)扇區(qū)的角速度ω(i-1)和ω(i-2)。平均加速度法假設(shè)在每個(gè)扇區(qū)內(nèi)角加速度不變，并且扇區(qū)切換時(shí)角加速度不突變。因此可以認(rèn)為轉(zhuǎn)子扇區(qū)i-1和扇區(qū)i-2做勻加速運(yùn)動(dòng)，可列出相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

(4)

式中：t(i-1)和t(i-2)為經(jīng)過(guò)前2個(gè)扇區(qū)的時(shí)間；ω(i-1)mid，ω(i-2)mid分別為扇區(qū)i-1和扇區(qū)i-2的中間時(shí)刻角速度；α為角加速度。因此由上式可得：

(5)

因此扇區(qū)i的起始角速度ω0如下：

(6)

將該平均加速度α作為當(dāng)前扇區(qū)的補(bǔ)償加速度，可得當(dāng)前角度：

(7)

將式(7)進(jìn)行數(shù)字離散化處理后可得：

(8)

2 基于最小二乘法線性插值位置估計(jì)

由于通過(guò)低分辨率霍爾傳感器獲得的離散增量位置信號(hào)和時(shí)間信號(hào)是一組離散的點(diǎn)，如圖2所示?？赏ㄟ^(guò)最小二乘法線性插值來(lái)對(duì)這些離散點(diǎn)進(jìn)行線性擬合，得到角度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，以此來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)子位置角的高精度估計(jì)[10]。

圖2離散增量位置信號(hào)與時(shí)間信號(hào)示意圖

在使用最小二乘法進(jìn)行函數(shù)線性擬合時(shí)，首先要確立變量的線性回歸方程，建立離散化線性回歸方程如下：

Δθ(kTs)=λ+βkTs

(9)

式中：Δθ(kTs)為增量角度離散點(diǎn)；kTs為時(shí)間離散點(diǎn)；λ和β為待求解的最優(yōu)參數(shù)。

最小二乘法要根據(jù)已測(cè)量的數(shù)據(jù)坐標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)化求解，根據(jù)MCU定時(shí)器捕獲扇區(qū)時(shí)間的計(jì)數(shù)值，建立測(cè)量數(shù)據(jù)坐標(biāo)集，如表2所示。

表2 離散角度增量與離散時(shí)間坐標(biāo)集

由上述數(shù)據(jù)可得如下方程：

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中最小二乘法求解線性回歸方程最優(yōu)解的方法，可求得λ和β如下：

(14)

(15)

聯(lián)合表1中的基準(zhǔn)位置角度就可以對(duì)PMSM的轉(zhuǎn)子位置角度進(jìn)行估計(jì)：

θ(kTs)=θi+λ+βkTs

(16)

但這種方法是通過(guò)MCU來(lái)捕獲6個(gè)扇區(qū)的時(shí)間，存在明顯的滯后性；而且當(dāng)發(fā)生加減速時(shí)，會(huì)使得這些離散坐標(biāo)點(diǎn)偏離線性程度加大，最終會(huì)使得估算位置誤差加大。為了改善其估算效果，引入基于估測(cè)角度補(bǔ)償器的方法來(lái)對(duì)估算角度進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

3 估測(cè)角度補(bǔ)償器

在α，β坐標(biāo)系下和d，q坐標(biāo)系下可分別可得到PMSM的電壓與磁鏈方程如下：

(17)

(18)

式中：uα，uβ,iα，iβ,ψα，ψβ，分別為靜止坐標(biāo)系下α，β軸定子電壓分量，電流分量，磁鏈分量；ψd，ψq,Ld，Lq,id，iq分別在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下d，q軸磁鏈分量，電感分量，電流分量；ψf為永磁體磁鏈。

由式(17)和式(18)通過(guò)檢測(cè)電流和電壓可計(jì)算出d，q軸磁鏈分量，α，β軸磁鏈分量。PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下相關(guān)d，q軸分量求得，也可以通過(guò)靜止坐標(biāo)系下相關(guān)α，β軸分量求得：

Tr_cal=1.5p[ψfiq+(Ld-Lq)iqid]

(19)

Ts_ob=1.5p(ψαiβ-ψβiα)

(20)

式中：Tr_cal為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下計(jì)算出的電磁轉(zhuǎn)矩；Ts_ob為靜止坐標(biāo)系下計(jì)算出的電磁轉(zhuǎn)矩；p為PMSM極對(duì)數(shù)。

聯(lián)立式(17)～(20)可求得Ts_ob，將靜止坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下相關(guān)變量進(jìn)行統(tǒng)一，得到如圖3所示的轉(zhuǎn)矩Ts_ob計(jì)算原理框圖。靜止坐標(biāo)系下的磁鏈ψα和ψβ可由式(17)計(jì)算得出，也可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下相關(guān)變量求解出ψd和ψq，再由反Park變換得到ψα和ψβ。

圖3用于估測(cè)角度補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)矩計(jì)算原理框圖

如果估算出的轉(zhuǎn)子位置角度誤差較小時(shí)，2種方式下求得的磁鏈相差較小，并且其磁鏈差值通過(guò)PI控制器反饋補(bǔ)償給靜止坐標(biāo)系變量求得磁鏈，反饋補(bǔ)償后達(dá)到誤差最小化輸出[ψα,ψβ]ob用于計(jì)算轉(zhuǎn)矩Ts_ob。Tr_cal和Ts_ob的差值ΔTerror經(jīng)過(guò)補(bǔ)償控制器輸出用于估算角度補(bǔ)償，其原理框圖如圖4所示。

圖4估測(cè)角度補(bǔ)償原理圖

當(dāng)角度估算誤差增加時(shí)，會(huì)使得經(jīng)過(guò)Park與反Park變換后的變量值偏離真實(shí)值，因此Tr_cal與Ts_ob的差值ΔTerror增加，ΔTerror經(jīng)過(guò)Gc(s)后得到補(bǔ)償角度θc，為了簡(jiǎn)化補(bǔ)償器結(jié)構(gòu)，Gc(s)選用PI控制器。結(jié)合上面的最小二乘法線性插值估算出的角度，補(bǔ)償后估算角如下：

θ(kTs)=θi+λ+βkTs+θc

(21)

當(dāng)估測(cè)角度θ(kTs)得到補(bǔ)償后會(huì)使得ΔTerror減小，角度補(bǔ)償減弱。而當(dāng)估測(cè)角度誤差增加時(shí)，ΔTerror增大，角度補(bǔ)償加強(qiáng)，使得估測(cè)角度θ(kTs)與真實(shí)角度之間誤差不斷減小，從而起到角度補(bǔ)償調(diào)節(jié)作用。

4 2種HallFOC方法的對(duì)比分析

無(wú)論是平均加速度法，還是本文的HallFOC控制方法，都是利用有限的已測(cè)量的時(shí)間計(jì)數(shù)值與離散角度基準(zhǔn)值去求解角度位置θ(kTs)與時(shí)間kTs函數(shù)關(guān)系中未知量估計(jì)值。而由于噪聲和EMI的存在，實(shí)際MCU定時(shí)器捕獲計(jì)數(shù)值時(shí)難免會(huì)存在誤差。平均加速度法是觀測(cè)2次數(shù)據(jù)值，其相當(dāng)于將2次測(cè)量存在的誤差疊加，沒(méi)有考慮到誤差的正負(fù)，因此其最終求解未知量估計(jì)值時(shí)并沒(méi)有反映真實(shí)誤差最小，求解的未知量估計(jì)值也非最優(yōu)。本文的方法中選擇觀測(cè)6次數(shù)據(jù)值，依照最小二乘法原則[11]進(jìn)行未知量參數(shù)估計(jì)，以誤差平方和最小為依據(jù)，考慮到了觀測(cè)誤差的正負(fù)，因此其未知量估計(jì)值最優(yōu)解求解過(guò)程更能反映真實(shí)誤差最小。而且在估測(cè)角度與真實(shí)角度誤差較大時(shí)，通過(guò)角度誤差最終會(huì)影響到不同坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)矩計(jì)算，將轉(zhuǎn)矩差值經(jīng)過(guò)補(bǔ)償器補(bǔ)償給估測(cè)角度，使得Park變換更加準(zhǔn)確。從以上對(duì)比分析可以得出，本文的HallFOC方法較平均加速度法應(yīng)具有更好的角度估測(cè)性能，下面通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

5 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證本文的最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC混合控制方法性能，分別在MATLAB/Simulink的軟件平臺(tái)和以Infineon XMC4700控制器為核心的硬件平臺(tái)進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)研究。仿真與實(shí)驗(yàn)用到的24 V/60 W PMSM參數(shù)：極對(duì)數(shù)2，定子電阻0.31 Ω,d軸電感2 mH,q軸電感2 mH,轉(zhuǎn)子磁鏈0.014 28 Wb。

5.1 仿真結(jié)果分析

仿真中分別采用平均加速度法與本文的角度估算方法獲得轉(zhuǎn)子位置角。為了對(duì)比變轉(zhuǎn)速下2種估算角度方法的性能，仿真中分別在0點(diǎn)給定500 r/min,0.25s給定1000r/min,0.4s給定1500r/min；負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.15 N·m。圖5、圖6是基于平均加速度法的仿真波形，圖7、圖8是基于本設(shè)計(jì)方法的仿真波形。

圖5基于平均加速度法的估測(cè)角度與實(shí)際角度波形

圖6基于平均加速度法的變轉(zhuǎn)速下角度誤差波形

圖7基于最小二乘法線性插值與估算角度補(bǔ)償器結(jié)合的估測(cè)角度與實(shí)際角度波形

圖8基于最小二乘法線性插值與估算角度補(bǔ)償器結(jié)合的變轉(zhuǎn)速下角度誤差波形

從以上仿真波形中可以看出，2種轉(zhuǎn)子位置角度估算方法最終都可以穩(wěn)定平滑地追蹤真實(shí)的轉(zhuǎn)子位置角度，但在變轉(zhuǎn)速下的追蹤效果有所不同。平均加速度法在前0.05 s由于電機(jī)轉(zhuǎn)速較低，估測(cè)轉(zhuǎn)子位置角度誤差在1 rad內(nèi)；最小二乘法線性插值與估算角度補(bǔ)償器結(jié)合法在前0.04 s同樣存在1 rad的角度誤差，起動(dòng)低速階段對(duì)估測(cè)轉(zhuǎn)子位置角度性能改善不大。隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定達(dá)到給定轉(zhuǎn)速，2種轉(zhuǎn)子位置角度估算方法的角度誤差均較小。但是在0.25 s和0.4 s速度給定突增時(shí)，對(duì)比圖6與圖8可以發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)速過(guò)渡時(shí)間內(nèi)，基于最小二乘法線性插值與估算角度補(bǔ)償器結(jié)合法較平均加速度法角度誤差更小，而且估測(cè)角度可以更加平滑地追蹤真實(shí)轉(zhuǎn)子位置角度，估測(cè)轉(zhuǎn)速也較為穩(wěn)定平滑地追蹤電機(jī)的真實(shí)轉(zhuǎn)速。以上仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文的最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC混合控制方法的可行性，而且角度估測(cè)性能較平均加速度法的HallFOC控制方法好。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文的HallFOC控制方法，搭建以Infineon XMC4700控制器為核心的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，控制芯片主頻為144 MHz，逆變器開關(guān)頻率為16 kHz。電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖9所示，實(shí)驗(yàn)所用電機(jī)額定電壓為24 V,額定電流為4.2A。為了彌補(bǔ)低速性能缺陷，實(shí)驗(yàn)中低速方波起動(dòng)，轉(zhuǎn)速達(dá)到切換點(diǎn)后采用Id=0的PMSM正弦波控制。

圖9電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)所用電機(jī)安裝有3個(gè)霍爾位置傳感器與1 000線的光電編碼器。實(shí)驗(yàn)中以光電編碼器輸出信號(hào)作為基準(zhǔn)位置信號(hào)，與估測(cè)位置信號(hào)做對(duì)比；實(shí)驗(yàn)過(guò)程中給定轉(zhuǎn)速為1500r/min，所加負(fù)載為0.15 N·m；電機(jī)先方波控制開環(huán)起動(dòng)，到達(dá)切換點(diǎn)后開始正弦波控制閉環(huán)運(yùn)行。實(shí)驗(yàn)波形如圖10～圖13所示。

圖10為基于最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的估測(cè)角度與光電編碼器輸出角度比較?？梢钥闯龉罍y(cè)角度穩(wěn)定追蹤光電編碼器輸出角度，角度位置基本一致，證實(shí)了該方法估測(cè)角度的準(zhǔn)確性。

圖11為電機(jī)方波起動(dòng)切換至正弦波運(yùn)行的A相電流波形。從圖11中可以看出，A相電流波形在控制方法改變后，從方波變?yōu)檎也ㄟ^(guò)程中過(guò)渡平滑，沒(méi)有出現(xiàn)電流波形嚴(yán)重畸變的情況，其過(guò)渡時(shí)間為一個(gè)電周期。

圖10估測(cè)角度與光電編碼器角度波形

圖11方波起動(dòng)切換至正弦波運(yùn)行A相電流波形

為了比較基于平均加速度法的HallFOC控制方法和本文的最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC控制方法性能差異，分別采用這2種方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min。圖12，圖13為這2種方法下的A相電流波形?？梢钥吹?，2種方法在1 500 r/min,額定負(fù)載條件下，A相電流峰峰值為6.4 A，且正弦度均較好，證明了HallFOC控制方法的有效性。但從相電流的平滑性來(lái)講，基于最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC控制方法下的A相電流更為平滑，正弦度較平均加速度法要好些

圖12基于平均加速度法的HallFOC控制方法的A相電流波形

圖13基于最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC控制方法的A相電流波形。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種基于最小二乘法線性插值與估測(cè)角度補(bǔ)償器結(jié)合的HallFOC控制方法。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法估測(cè)出的角度可以穩(wěn)定追蹤PMSM實(shí)際轉(zhuǎn)子位置角度，較平均加速度法在減小估測(cè)角度誤差方面更加優(yōu)越；從方波控制可以平滑切換到正弦波控制；電機(jī)相電流正弦度較好，相比基于平均加速度法的HallFOC控制方法，電流控制更加平滑。該方法可以降低PMSM控制成本，具有良好的使用價(jià)值。