陳 威，仇志堅(jiān)

(上海大學(xué)，上海 200072)

0 引 言

無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)BLDCM)具有體積小、質(zhì)量輕、功率密度高、控制簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，其無(wú)位置傳感器控制由于成本低，不受工作場(chǎng)合限制，現(xiàn)已成為BLDCM的研究熱點(diǎn)[1-3]。

現(xiàn)有的研究都沒(méi)有系統(tǒng)討論在不同控制函數(shù)情況下的觀測(cè)反電動(dòng)勢(shì)抖振，為了定量分析反電動(dòng)勢(shì)的抖振，首先對(duì)已有的控制函數(shù)進(jìn)行了歸納分析，提出了一種凹控制函數(shù)，并理論證明了采用凹控制函數(shù)比已有的控制函數(shù)得到的觀測(cè)反電動(dòng)勢(shì)抖振更小。其次，將該凹控制函數(shù)作為滑模觀測(cè)器中的控制函數(shù)，并用歸一化方法處理估算反電動(dòng)勢(shì)，利用鎖相環(huán)提取轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)角信息，構(gòu)建了BLDCM的無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)。

1 BLDCM數(shù)學(xué)模型

兩相靜止坐標(biāo)系下的BLDCM的數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

式中：uα,uβ,iα,iβ,eα,eβ分別為α,β坐標(biāo)系下的繞組電壓、電流和反電動(dòng)勢(shì)；L1為每相定子繞組的等效電感；R為定子電阻。

取式(1)中的定子繞組電流和反電動(dòng)勢(shì)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，將繞組電壓和繞組電流分別作為系統(tǒng)的輸入和輸出，并考慮到在電機(jī)控制系統(tǒng)中，采用周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電機(jī)的機(jī)械和電磁時(shí)間常數(shù)，可認(rèn)為在采用過(guò)程中電機(jī)角速度不變，反電動(dòng)勢(shì)的導(dǎo)數(shù)為零，則由式(1)可得BLDCM的狀態(tài)方程和輸出方程：

(2)

y=C[ie]

(3)

2 BLDCM無(wú)位置傳感器控制

2.1 反電動(dòng)勢(shì)滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)

在電機(jī)運(yùn)行時(shí)，若忽略電樞反應(yīng)影響，可認(rèn)為電機(jī)繞組電感值不變，則由式(2)構(gòu)建的反電動(dòng)勢(shì)滑模觀測(cè)器方程如下：

(4)

選擇滑模面：

(5)

將式(4)減去式(2)，可得滑模觀測(cè)器的誤差方程：

(6)

(7)

對(duì)式(7)求導(dǎo)，得其導(dǎo)數(shù)：

(8)

(9)

由于在滑模觀測(cè)器中，選用的控制函數(shù)值域?yàn)閇-1 1]，且H(x)與x符號(hào)相同，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得：

故只需式(10)小于0，就能保證滑模觀測(cè)器進(jìn)入滑模面，即：

(11)

(12)

將式(12)代入式(6)，得：

(13)

(14)

為求得g1,g2的范圍，重新構(gòu)造一個(gè)Lyapunov方程：

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)，并將式(13)代入，可得：

(16)

(17)

從式(11)、式(17)可知，只需選擇合適的k1,k2,g1,g2參數(shù)，就能保證滑模觀測(cè)器的觀測(cè)值收斂到實(shí)際值。圖1為滑模觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 滑模觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖

2.2 不同控制函數(shù)的抖振分析

(a) 符號(hào)函數(shù)

(b) e的指數(shù)函數(shù)

(c) 飽和函數(shù)

(d) 正弦函數(shù)

已有的控制函數(shù)可以分為符號(hào)函數(shù)，e的指數(shù)函數(shù)，飽和函數(shù)，正弦函數(shù)，曲線如圖2所示。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(18)

(19)

(20)

(21)

式(19)中，當(dāng)a分別取1,2時(shí)，即為sigmoid函數(shù)和雙曲正切函數(shù)tanh。

圖3 凹、凸控制函數(shù)

觀察圖2的函數(shù)圖像可得，當(dāng)a越大時(shí)，在邊界層內(nèi)控制函數(shù)的坡度越陡，越接近符號(hào)函數(shù)，抖振越大。分別對(duì)上述函數(shù)求其一階、二階導(dǎo)數(shù)，由高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性定義可知，e的指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)在邊界層內(nèi)為凸函數(shù)。本文現(xiàn)提出一種凹控制函數(shù)，該凹控制函數(shù)與其凸控制函數(shù)關(guān)于y=ax對(duì)稱(chēng)，具體圖形如圖3所示。現(xiàn)定量地推導(dǎo)凹、凸控制函數(shù)的反電動(dòng)勢(shì)抖振數(shù)學(xué)表達(dá)式，為敘述方便，凹、凸控制函數(shù)分別記為hm(x)與ht(x)，定義反電動(dòng)勢(shì)的抖振：

(22)

依式(22)可計(jì)算得到，分別采用凸、凹控制函數(shù)作為滑模觀測(cè)器的控制函數(shù)情況下，反電動(dòng)抖振分別如下：

(23)

(24)

式中：下角標(biāo)t，m分別表示凸、凹控制函數(shù)的變量。將式(23)與式(24)作差，得到：

根據(jù)式(14)，且依據(jù)在邊界層內(nèi)，滑模觀測(cè)器中的控制函數(shù)過(guò)零點(diǎn)，可計(jì)算得到：

(26)

(27)

將式(26)、式(27)分別作差、相加，可分別得到：

(28)

(29)

由于在邊界層內(nèi)h(x)與x同號(hào)，且|ht(Ei)|大于|hm(Ei)|，因此式(28)、式(29)都大于0。而β方向的變量與α方向變量具有相同的性質(zhì)，因此也可得到：

將上式代入式(25)，得到：

(30)

故在邊界層內(nèi)對(duì)于任意的Ei，都恒有Δet大于Δem成立。因此，在其他條件相同的情況下，選用凹控制函數(shù)，能降低觀測(cè)反電動(dòng)勢(shì)的抖振。

本文以正弦函數(shù)為例，其數(shù)學(xué)表達(dá)式見(jiàn)式(21)，其中將其凹切換函數(shù)記為g4(x)，根據(jù)曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱(chēng)的曲線方程：

可求得正弦函數(shù)h4(x)關(guān)于y=ax對(duì)稱(chēng)的凹控制函數(shù)g4(x)應(yīng)滿(mǎn)足：

(31)

式(31)是隱函數(shù)，無(wú)法直接求得解析解，現(xiàn)考慮sin(ax)的麥克勞林展開(kāi)式，并忽略高次項(xiàng)，運(yùn)用MATLAB軟件，解出顯函數(shù)表達(dá)式。

2.3 反電動(dòng)勢(shì)歸一化處理和轉(zhuǎn)子速度及轉(zhuǎn)角計(jì)算

由于BLDCM的氣隙磁場(chǎng)為梯形波，a,b,c坐標(biāo)系下的反電動(dòng)勢(shì)變換到α,β坐標(biāo)系下也不是正弦波，若直接用該反電動(dòng)勢(shì)提取轉(zhuǎn)子位置角和轉(zhuǎn)速信息，誤差較大，計(jì)算精度不高。為此，采用式(32)對(duì)滑模觀測(cè)器的觀測(cè)反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行歸一化處理[10]，以降低其中的高次諧波含量，并消除磁鏈和角速度的影響，獲取類(lèi)似于正弦波形的基波信號(hào)。

(32)

圖4 鎖相環(huán)原理框圖

由圖4可知：

(33)

(34)

2.4 BLDCM的無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)

圖5 BLDCM無(wú)位置控制框圖

3 仿真分析

3.1 BLDCM無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)

基于以上分析，根據(jù)圖5在 MATLAB/Simulink搭建控制系統(tǒng)，滑模觀測(cè)器的參數(shù)k1=-700000，k2=-600 000，g1=-0.330 545，g2=-0.090 01，電機(jī)的參數(shù)如表1所示。

表1 仿真電機(jī)參數(shù)

3.2 凹、凸控制函數(shù)的反電動(dòng)勢(shì)抖振對(duì)比分析

在反電動(dòng)勢(shì)抖振對(duì)比分析中，轉(zhuǎn)速環(huán)、電流環(huán)的PI調(diào)節(jié)器參數(shù)和滑模觀測(cè)器的k1,k2,g1,g1數(shù)值相同，只有控制函數(shù)不同。其中，凸控制函數(shù)選用正弦函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式見(jiàn)式(21)，它關(guān)于y=ax對(duì)稱(chēng)的凹控制函數(shù)g4(x)如式(31)所示，結(jié)合sin(ax)的麥克勞林展開(kāi)式，忽略高次項(xiàng)，運(yùn)用MATLAB軟件，解出其數(shù)學(xué)表達(dá)式，其中a均取0.785，φ均取2。

圖6(a)為電機(jī)空載情況下，給定轉(zhuǎn)速4100r/min，采用凹、凸控制函數(shù)下的反電動(dòng)勢(shì)抖振波形。當(dāng)電機(jī)穩(wěn)定在額定轉(zhuǎn)速，在t=0.6 s時(shí)刻，突加0.38 N·m的額定負(fù)載，此時(shí)基于不同控制函數(shù)下的反電動(dòng)勢(shì)抖振波形如圖6(b)所示。對(duì)圖6分析可得，加載前后，采用凹、凸控制函數(shù)，觀測(cè)的反電動(dòng)勢(shì)都是有抖振的，但是采用凹控制函數(shù)的反電動(dòng)勢(shì)抖振是明顯減小的，這也證明了前文分析的正確性。

(a) 空載時(shí)，凸、凹控制函數(shù)下的反電動(dòng)勢(shì)抖振

(b)加載時(shí)，凸、凹控制函數(shù)下的反電動(dòng)勢(shì)抖振

3.3 基于凹控制函數(shù)的滑模觀測(cè)器的仿真結(jié)果

基于前面所述的凹控制函數(shù)建立BLDCM無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)，電機(jī)在α，β軸下的反電動(dòng)勢(shì)、轉(zhuǎn)子位置角和轉(zhuǎn)速的波形如圖7～圖13所示，其中t=0.6 s時(shí)刻，突加0.38 N·m的額定負(fù)載。

圖7 空載情況下，

波形

圖8 加載情況下，

波形

圖9 空載情況下，

波形

圖10 加載情況下，

波形

圖11 空載情況下，轉(zhuǎn)子位置角θ波形

圖12 加載情況下，轉(zhuǎn)子位置角θ波形

圖13 空載和加載情況下的轉(zhuǎn)速波形

對(duì)上面各圖分析可知，基于凹控制函數(shù)作為滑模觀測(cè)器中的控制函數(shù)，不管是在空載還是在突加負(fù)載情況下，反電動(dòng)勢(shì)和轉(zhuǎn)子位置角估算值都是可以跟隨實(shí)際值的，反電動(dòng)勢(shì)沒(méi)有出現(xiàn)明顯的抖振，電機(jī)轉(zhuǎn)速也比較平穩(wěn)，加載前后只有十幾轉(zhuǎn)速差，轉(zhuǎn)子位置角約有3°差值，沒(méi)有出現(xiàn)大的相移。本文的方法是正確有效的，能削弱反電動(dòng)勢(shì)抖振和提高轉(zhuǎn)子位置角精度。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文從函數(shù)的凹凸性角度分析了已有的控制函數(shù)，提出了一種凹控制函數(shù)，并將其應(yīng)用到滑模觀測(cè)器中作為控制函數(shù)，并理論證明了基于凹控制函數(shù)的滑模觀測(cè)器中的反電動(dòng)勢(shì)抖振明顯小于采用凸控制函數(shù)的，是可以削弱抖振的。仿真結(jié)果表明，在負(fù)載以及轉(zhuǎn)速突變的情況下，本文方法都能準(zhǔn)確得到平滑的反電動(dòng)勢(shì)，及時(shí)跟蹤電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)角變化，具有較好的穩(wěn)態(tài)精度和良好的控制性能。