對(duì)平均數(shù)概念的深度挖掘與應(yīng)用

楊金花

[摘 要]平均數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，學(xué)生很容易通過(guò)公式掌握其求法，但要深入理解卻非常困難。在平時(shí)的測(cè)驗(yàn)以及運(yùn)動(dòng)比賽中，學(xué)生常會(huì)體驗(yàn)到“超常發(fā)揮”和“發(fā)揮失常”這兩種狀態(tài)，而超常與失常就意味著與平均水平做對(duì)比。教師可借由非正常水平成績(jī)來(lái)深度挖掘平均數(shù)概念，這樣學(xué)生理解起來(lái)也就輕而易舉了。

[關(guān)鍵詞]平均數(shù)；潛在概念；應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）23-0033-01

一、平均數(shù)的常規(guī)教學(xué)

教師在引入平均數(shù)概念時(shí)，常從一些重復(fù)性、隨機(jī)的事件開(kāi)始，每次事件統(tǒng)計(jì)出的數(shù)據(jù)具有相關(guān)性，要么相近，要么在一個(gè)恒量附近波動(dòng)。具體如下：

問(wèn)題：哪一組的射擊水平高？

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)初衷是為了展現(xiàn)平均數(shù)的含義。

學(xué)生比較兩組運(yùn)動(dòng)員射擊水平的思路通常為以下兩種：

思路一：個(gè)體成員之間的水平比較，單獨(dú)較量。比如A得分為13，B得分為6，A的水平高。

思路二：比較成員相同的數(shù)組的總分。比如甲組兩名隊(duì)員的得分為10分和13分，乙組兩名隊(duì)員的得分為11分和10分。13+10>11+10，甲組總分高，水平高。

事實(shí)上，當(dāng)每組成員（或樣本總量）不同時(shí)，通過(guò)比較總分確定水平高低已經(jīng)失去公平性和科學(xué)性，此時(shí)為了更好地揭示各組的整體水平，應(yīng)采取平均數(shù)。

二、挖掘平均數(shù)概念的內(nèi)涵

通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生能夠歸結(jié)出平均數(shù)概念的基本屬性：（1）它刻畫(huà)的是整體水平；（2）它是虛擬數(shù)據(jù)，是一個(gè)參數(shù)。

為了使學(xué)生的概念學(xué)習(xí)更加完整和連貫，教師教學(xué)平均數(shù)概念時(shí)應(yīng)該重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)以下內(nèi)容：因?yàn)槭菂?shù)，所以平均數(shù)不是直接可測(cè)可知的，需要將已知數(shù)據(jù)進(jìn)行一定運(yùn)算才能得出，也就是總數(shù)除以份數(shù)，損有余、補(bǔ)不足；因?yàn)橹挥衅骄鶖?shù)這個(gè)參數(shù)才能代表整組數(shù)據(jù)的水平，所以在比較兩組數(shù)據(jù)的優(yōu)勢(shì)時(shí)，需要計(jì)算平均數(shù)。

正確的教學(xué)應(yīng)該這樣推進(jìn)：從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，充分挖掘平均數(shù)的概念內(nèi)涵；從概念內(nèi)涵中衍生出數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概念；從數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概念中推導(dǎo)計(jì)算方法；最后總結(jié)出解決問(wèn)題的實(shí)際操作方案。

目前教材設(shè)計(jì)理念中，直接讓學(xué)生在應(yīng)用與計(jì)算中學(xué)習(xí)概念，這樣的概念學(xué)生不會(huì)留下深刻的印象，沒(méi)有經(jīng)歷建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，得到的是固化、死板的概念模型，學(xué)習(xí)效果差強(qiáng)人意。

三、對(duì)平均數(shù)概念的深度挖掘與應(yīng)用

學(xué)生的生活中有平均數(shù)嗎？他們?cè)谏钪凶⒁膺^(guò)平均數(shù)嗎？從何處下手挖掘平均數(shù)的概念？經(jīng)過(guò)篩選和提煉學(xué)生的日常用語(yǔ)，筆者發(fā)現(xiàn)有三個(gè)詞語(yǔ)特別值得注意，那就是超常發(fā)揮、正常發(fā)揮和發(fā)揮失常。這三個(gè)詞語(yǔ)在評(píng)議考試或競(jìng)賽成績(jī)時(shí)出現(xiàn)頻率很高。筆者發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)日常用語(yǔ)可以反映統(tǒng)計(jì)學(xué)中的整體水平高低。于是，筆者選取了一分鐘踢毽子數(shù)來(lái)構(gòu)筑平均數(shù)的概念。

材料：四年級(jí)毽子興趣社團(tuán)社員小明一分鐘踢毽子個(gè)數(shù)為（單位：個(gè)）：59，63，64，66，63，69。如果繼續(xù)踢2分鐘，小明大約可以踢多少個(gè)？

問(wèn)題1：有位同學(xué)寫(xiě)了“120個(gè)”，又覺(jué)得不對(duì)，大家猜猜這是為什么？

問(wèn)題2：有位同學(xué)回答“138個(gè)”，隨即也否定了，這又是為什么？

問(wèn)題3：請(qǐng)大家一起分析，小明2分鐘踢毽子多少個(gè)比較合理？

對(duì)于問(wèn)題3，學(xué)生的回答有以下三種情況：

（1）126個(gè)。因?yàn)槊糠昼娞唠ψ?3個(gè)出現(xiàn)次數(shù)最多。

（2）118個(gè)。雖然每分鐘63個(gè)的次數(shù)最多，但是水平太低，低水平不如高水平。

（3）128個(gè)。不低不高，正好。

問(wèn)題4：有的同學(xué)認(rèn)為每分鐘是“64個(gè)”。可是小明踢了幾個(gè)回合，都沒(méi)有踢出“64個(gè)”這個(gè)成績(jī)來(lái)，這個(gè)數(shù)據(jù)是否缺乏事實(shí)依據(jù)？

問(wèn)題5：“64個(gè)”是沒(méi)有踢出過(guò)的成績(jī)，它與其他數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？

關(guān)系一：（59+63+64+66+63+69）÷6=64（個(gè)）。

關(guān)系二：（59+63+64+66+63+69）=64[×]6。

結(jié)論：“64”就隱藏在這些數(shù)據(jù)之間，它能代表這些數(shù)據(jù)的整體水平。

經(jīng)歷了五個(gè)問(wèn)題的探究過(guò)程后，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解是曲折的。沒(méi)有踢出的成績(jī)，卻恰好代表整體穩(wěn)定的水平，這成為爭(zhēng)論的焦點(diǎn)。而這種矛盾沖突正是引發(fā)學(xué)生深入探究的動(dòng)機(jī)。這樣教學(xué)，事半功倍。

（責(zé)編 黃春香）