一道排列組合題的推廣

顏志華

【摘 要】在有關(guān)排列組合的計數(shù)問題中，很多時候很容易用列舉的方法得出結(jié)果，但要形成一般性的結(jié)論卻很困難。計數(shù)問題與其他知識經(jīng)常結(jié)合在一起，解法靈活多變。用遞歸數(shù)列解決計數(shù)問題，把計數(shù)的結(jié)果看成數(shù)列中的項，有時會使計數(shù)問題變得簡單，從本質(zhì)上把握問題。

【關(guān)鍵詞】計數(shù)；數(shù)列

【中圖分類號】G620 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）31-0078-01

在排列組合的內(nèi)容中，經(jīng)常會碰到這樣類型的練習(xí)題：

甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一圈在踢毽子，從甲開始踢，每人在踢一次毽子后都必須把毽子隨意轉(zhuǎn)踢給其他人，經(jīng)過四次轉(zhuǎn)踢之后毽子又回到甲的腳下，問一共有多少種轉(zhuǎn)踢方法？

分析：由于踢毽子的人數(shù)比較少，踢的次數(shù)也只有四次，可以用枚舉的方法把所有可能的轉(zhuǎn)踢方式列舉出來。為了方便列舉，用A、B、C分別表示甲、乙、丙三位同學(xué)。

從上面的樹狀圖可以看出，滿足題意的轉(zhuǎn)踢方式共有6種：A→B→A→B→A，A→B→A→C→A， A→B→C→B→A， A→C→A→B→A， A→C→A→C→A， A→C→B→C→A。

問題：若所有的轉(zhuǎn)踢方法很多時，用列舉的方法顯然比較麻煩，那是否有更好的辦法呢？或者能以公式的形式給出呢？

變化一：對踢毽子的次數(shù)進行變動。

甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一圈在踢毽子，從甲開始踢，每人在踢一次毽子后都必須把毽子隨意轉(zhuǎn)踢給其他人，經(jīng)過n次轉(zhuǎn)踢之后毽子又回到甲的腳下，問一共有多少種轉(zhuǎn)踢方法？（用n表示）

在高中在知識體系中，有關(guān)計數(shù)的排列組合問題是比較難的。計數(shù)問題與其他知識經(jīng)常結(jié)合在一起，解法靈活多變，讓許多學(xué)生感到無從下手。在這里，通過數(shù)列來解決計數(shù)問題，從不同的角度來探究，既展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系、滲透的特點，也增強了數(shù)學(xué)的趣味性。