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      一道排列組合題的推廣

      2018-10-13 10:24:16顏志華
      關(guān)鍵詞:排列組合毽子分類號

      顏志華

      【摘 要】在有關(guān)排列組合的計數(shù)問題中,很多時候很容易用列舉的方法得出結(jié)果,但要形成一般性的結(jié)論卻很困難。計數(shù)問題與其他知識經(jīng)常結(jié)合在一起,解法靈活多變。用遞歸數(shù)列解決計數(shù)問題,把計數(shù)的結(jié)果看成數(shù)列中的項,有時會使計數(shù)問題變得簡單,從本質(zhì)上把握問題。

      【關(guān)鍵詞】計數(shù);數(shù)列

      【中圖分類號】G620 【文獻標(biāo)識碼】A

      【文章編號】2095-3089(2018)31-0078-01

      在排列組合的內(nèi)容中,經(jīng)常會碰到這樣類型的練習(xí)題:

      甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一圈在踢毽子,從甲開始踢,每人在踢一次毽子后都必須把毽子隨意轉(zhuǎn)踢給其他人,經(jīng)過四次轉(zhuǎn)踢之后毽子又回到甲的腳下,問一共有多少種轉(zhuǎn)踢方法?

      分析:由于踢毽子的人數(shù)比較少,踢的次數(shù)也只有四次,可以用枚舉的方法把所有可能的轉(zhuǎn)踢方式列舉出來。為了方便列舉,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三位同學(xué)。

      從上面的樹狀圖可以看出,滿足題意的轉(zhuǎn)踢方式共有6種:A→B→A→B→A,A→B→A→C→A, A→B→C→B→A, A→C→A→B→A, A→C→A→C→A, A→C→B→C→A。

      問題:若所有的轉(zhuǎn)踢方法很多時,用列舉的方法顯然比較麻煩,那是否有更好的辦法呢?或者能以公式的形式給出呢?

      變化一:對踢毽子的次數(shù)進行變動。

      甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一圈在踢毽子,從甲開始踢,每人在踢一次毽子后都必須把毽子隨意轉(zhuǎn)踢給其他人,經(jīng)過n次轉(zhuǎn)踢之后毽子又回到甲的腳下,問一共有多少種轉(zhuǎn)踢方法?(用n表示)

      在高中在知識體系中,有關(guān)計數(shù)的排列組合問題是比較難的。計數(shù)問題與其他知識經(jīng)常結(jié)合在一起,解法靈活多變,讓許多學(xué)生感到無從下手。在這里,通過數(shù)列來解決計數(shù)問題,從不同的角度來探究,既展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系、滲透的特點,也增強了數(shù)學(xué)的趣味性。

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