從奧蘇貝爾認知同化理論談高等數(shù)學教學

閆婷婷

奧蘇貝爾認知同化理論始創(chuàng)于20世紀60年代，是諸多現(xiàn)代教育理論中最重要的理論之一.奧蘇貝爾的先行組織者策略：在教學準備階段，教師要設計一個引導性材料稱為先行組織者，這個引導性材料能夠在學生們的新舊知識之間起銜接作用，幫助學生用認知結(jié)構(gòu)中已有的觀念去同化新知識面［1-2］.奧蘇貝爾主張學生的學習必須有意義，同時也給出類屬學習、總括學習、并列學習三種有意義的學習策略.類屬學習是把新觀念歸入認知結(jié)構(gòu)中原有觀念的適當部分并使之相互聯(lián)系，在類屬學習中原有觀念是總觀念，新觀念是從屬觀念；總括學習是在若干已有的從屬觀念基礎上歸納出一個總觀念，總括學習所形成的新觀念在概括和包攝程度上高于原觀念；并列學習是指新觀念與認知結(jié)構(gòu)中原有觀念既不從屬也非總括，只是和原有認知結(jié)構(gòu)中的整體內(nèi)容有一般關系［3-4］.奧蘇貝爾的課堂教學觀是：主張教師用語言講授的方式進行教學，同時反對教師滔滔不絕地講學生靜靜地聽式的教學，倡導師生在教學中相互作用.

高等數(shù)學其概念的高度抽象性和方法的極端靈活性使其難以被學習和掌握.本文利用奧蘇貝爾先行組織者策略和有意義學習理論克服上述困難，在教學實踐中取得理想效果.

1 高等數(shù)學的先行組織者策略

針對高等數(shù)學教學中經(jīng)常遇到的困難與問題，筆者總結(jié)出三種先行組織者策略.

1.1 動畫演示式先行組織者策略

動畫演示是理解高度抽象概念的有意義手段，它能將概念中的運動和變化淋漓盡致地展示其中，給人一目了然的感覺，幫助學生從直觀走向抽象.動畫演示作為先行組織者可用于一些疑難概念的講授，如數(shù)列極限定義、函數(shù)極限定義、導數(shù)定義、定積分與二重積分定義等.例如，在講授右極限的定義之前，制作動畫如圖1所示.講授時將其先向?qū)W生呈現(xiàn).

圖1 右極限動態(tài)圖

從圖1可以看出，當自變量x從a右側(cè)無限靠近a時，圓中動點p沿曲線無限靠近Q點，進而拉動函數(shù)y無限趨近于A.動畫直觀地揭示了右極限的真實含義，據(jù)此，教師可輕松地引導學生給出右極限的描述性定義.這里，動畫演示作為先行組織者起到了將舊知識函數(shù)幾何圖形與新知識右極限聯(lián)系起來的作用.

1.2 函數(shù)圖形式先行組織者策略

高等數(shù)學中的許多定理與性質(zhì)都有直觀的幾何背景.因此，可以將幾何圖形作為一些定理與性質(zhì)的先行組織者，如局部有界性定理、拉格朗日中值定理、單調(diào)性判別法、曲線凹凸性判別法等.

例如，在講授曲線凹凸性判別法之前，先向?qū)W生呈現(xiàn)圖2所示的上凸圖形，教師引導學生發(fā)現(xiàn)切線的斜率（f′()x）隨自變量x的增大而逐漸減小?f″(x)＜0，進而引出上凸判別法.這里，函數(shù)圖形作為先行組織者起到了聯(lián)系舊知識二階導數(shù)與新知識上凸判別法的作用.

圖2 切線與上凸曲線圖

1.3 問題情境式先行組織者策略

好奇是人的本性，而問題恰是刺激個體產(chǎn)生好奇的重要因素.教師可依據(jù)新知識的內(nèi)容創(chuàng)設問題情境把學生帶入新知識的講授，學生會因為好奇而關注新舊知識的聯(lián)接.問題情境式先行組織者是高等數(shù)學教學中最常用最方便的形式，幾乎每個章節(jié)都可采用.

例如，在講授洛比達法則之前先向?qū)W生呈現(xiàn)一個具體的0/0型未定式，學生會因舊知識不能解決問題而產(chǎn)生困惑，而困惑會激發(fā)學生尋求新知識的心里沖動.此處，具體的0/0型未定式作為先行組織者起到了舊知識導數(shù)與新知識洛比達法則相聯(lián)系的作用.

除具體問題之外，還可以設計比較抽象的問題情境式先行組織者.例如，問題：已知v(t)，如何求s(t)作為不定積分的先行組織者；問題：如何求無窮多個數(shù)的和作為常數(shù)級數(shù)的先行組織者；問題：如何用一些簡單函數(shù)逼近一個復雜函數(shù)作為冪級數(shù)的先行組織者等.

2 高等數(shù)學的有意義教學策略

與學生的有意義學習相對應的是教師的有意義教學，所謂有意義教學是指教師的教催生了學生有意義的學.因此，實施有意義教學的原則是：采用行之有效的方法，促進學生將舊知識與新知識發(fā)生作用，用舊知識理解新知識而產(chǎn)生同化，并把同化后的新知識納入到已有認知結(jié)構(gòu)建構(gòu)成新的認知結(jié)構(gòu).根據(jù)奧蘇貝爾有意義學習的三種方式，可派生出三種有意義的教學策略.

2.1 類屬教學策略

類屬教學策略與類屬學習方式相對應.類屬教學的過程是：教師依照學生認知結(jié)構(gòu)中最清楚最牢固的若干知識點（如a、b、c）將新知識A分解成幾個簡單的小項，每個小項都容易從上述知識點（a、b、c）得到理解，在逐項講解之后再綜合回到新知識A，這是一個化繁為簡、化難為易的過程.

例如，分部積分法作為新知識，初學者很難分清u和v，也不知分部積分公式如何使用.如果把分部積分法分解成：何時使用分部積分法、如何理解分部積分公式，使用公式的經(jīng)驗技巧三個小項，每個小項學生都有舊知識去理解，最后將三部分綜合貫通成分部積分法會產(chǎn)生理想效果.

類屬教學策略常用于命題（定理、性質(zhì)、法則、公式）的教學.在命題教學中，除了注重教學方式外，教師還需指導學生用命題的證明認知命題的內(nèi)涵，用命題的應用認知命題的外延.因為命題的證明過程恰是舊知識同化新知識的過程，新舊知識之間的邏輯關系盡顯其中；而命題的應用又是積累思路、方法、技巧的過程.

2.2 總括教學策略

總括教學策略與總括學習方式相對應.總括教學的過程是：通過諸多具體事例（如a、b、c等）某種表象進行判別比較，引導學生歸納出它們共有的標志性特征A，而且A這種標志性特征還具有廣泛的意義，有必要給它起個名字深入研究，于是將其用數(shù)學語言抽象后有關A的新觀念產(chǎn)生了.

事實上，人類對客觀世界的認識大多采用這種方式.在高等數(shù)學中，微分（導數(shù)、偏導數(shù)）積分（定積分、重積分、曲線曲面積分）等概念均是這種方式的產(chǎn)物，總括教學策略自然能用于其中.除此之外，教師可以根據(jù)新知識的內(nèi)容人為地設計幾個具體實例，通過找出它們共同的標志性特征引出新知識.例如講授數(shù)列{an}收斂于a的定義時，先向?qū)W生呈現(xiàn)幾個具體的數(shù)列，從中分析歸納出它們共同標志性特征是：當n無限增大時，an與a的距離無限小，然后用n≥N刻畫n充分大，用 |an-a|＜ε刻畫an與a距離任意小，給出數(shù)列收斂于a的形式化定義.

2.3 組合教學策略

組合教學策略與并列學習方式相對應.組合教學的過程是：在講授新知識A時，A與舊知識B既不是類屬關系也不是總括關系，但A與B有一個共同的特征C.這樣，教師在完成A的講述后，將A與B組合起來再認知C.

例如，在講授新知識拉格朗日中值定理時，它有證明代數(shù)不等式的功能，但舊知識函數(shù)的單調(diào)性也有證明代數(shù)不等式的功能，把兩者結(jié)合起來，就有了兩種證明代數(shù)不等式的方法.而在以后的新知識—曲線的凹凸性和馬克勞林公式也有證明代數(shù)不等式的功能，再將它們組合起來，就有四種證明代數(shù)不等式的方法.

事實上，數(shù)學方法也是高等數(shù)學內(nèi)容的一部分.學生學習高等數(shù)學的目的是應用，但有時求解某個問題所需的知識明明知道但問題卻不會解決，究其原因多數(shù)是方法在作祟.因此，教師要充分利用組合教學方式，按問題目標指導學生積累教學方法.

3 案例——分部積分法教學設計思路

學生學習分部積分法的困難在于如何使用分部積分公式，其中怎樣區(qū)別公式中的u和v更是難中之難［5-7］.用什么辦法化難為易呢？表1是筆者綜合使用問題情境先行組織者策略和類屬教學策略講授分部積分法的思路重點強調(diào)怎樣用“三步法”化難為易的過程.

從表1可以看出，此教學設計5次使用了問題情境式先行組織者，通過不斷設問不斷解決使學生輕松地逐步接近分部積分法.“三步法”把區(qū)分u與v的困難轉(zhuǎn)移到湊微分上，而湊微分是學過第一換元法的學生已經(jīng)熟知的.口訣“d前d后兩相乘，交換位置作積分”起到記憶公式的作用，為使教師的講授與學生思維產(chǎn)生共鳴，本案例全程采用黑板加粉筆的講授形式.

4 結(jié)論

由于先行組織者是先于新知識呈現(xiàn)之前展示給學生的連結(jié)新舊知識的引導性材料，所以先行組織者在教學中不可或缺.倘若缺失，學生會因思維的跳躍或間斷產(chǎn)生困惑，進而產(chǎn)生排斥和畏懼心理.相反，如果善用先行組織者在新舊知識之間巧搭便橋，學生就會輕松愉悅地從舊知識走向新知識.

表1 分部積分法講授思路表

學生學習高等數(shù)學必須是有意義學習而非機械學習，學生僅記住某些數(shù)學公式和概念而未理解毫無意義.理解是有意義學習的主要心理活動，為此，教師必須進行有意義教學.數(shù)學的知識與知識之間的包攝關系、歸屬關系、并列關系比比皆是，教師必須在充分理解教材的基礎上，有目的地利用類屬教學策略、總括教學策略、并列教學策略對教材進行加工處理，讓其變成既刺激學生興趣又易理解消化的材料，此處正是張揚教師個人魅力的地方.

高等數(shù)學具有高度抽象邏輯嚴謹?shù)膶傩裕轮R的思想方法和邏輯關系往往體現(xiàn)在教師板書的字里行間和抑揚頓挫的語言中.教師的表述和學生的思維產(chǎn)生共鳴而促進理解，這種刺激——反映的過程符合學生的認知能力和心理特征.因此，黑板加粉筆的教學形式仍然具有重要意義（如案例）.同時，筆者主張充分利用多媒體技術把蘊含于概念之中的運動和變化直觀地呈現(xiàn)在白板（屏幕）上，思維靠黑板，直覺靠白板，黑白結(jié)合是高等數(shù)學教學的極佳方式.