矩陣位移法與有限位移元法的聯(lián)系與區(qū)別

趙勇 張建棟 陳昌裕

【摘 要】隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)入工程領(lǐng)域，“電算”逐漸受到人們的重視。作為“電算”的工具，矩陣位移法和有限單元法在工程應(yīng)用中具有重要地位，本文從多方面多角度對(duì)矩陣位移法和有限位移元法進(jìn)行了分析與討論，總結(jié)了兩者的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)于建筑工程領(lǐng)域的初學(xué)者具有一定的指導(dǎo)作用。

【關(guān)鍵詞】矩陣位移法；有限單元法；有限元分析；結(jié)構(gòu)分析

作為有限單元法的雛形，結(jié)構(gòu)力學(xué)的結(jié)構(gòu)矩陣分析方法與彈性力學(xué)的有限單元法都是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而逐漸受到重視的方法。以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，與結(jié)構(gòu)矩陣分析方法對(duì)應(yīng)的有矩陣位移法，相同地，與有限單元法對(duì)應(yīng)的是有限位移元法。以位移為基本未知量求解問(wèn)題具有系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)的特點(diǎn)，符合“電算”的特點(diǎn)，因此矩陣位移法和有限位移元法在求解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用最為廣泛。

下面通過(guò)對(duì)比，分析矩陣位移法和有限位移元的聯(lián)系與區(qū)別。

1 矩陣位移法和有限位移元的聯(lián)系

1.1基本原理的相似

矩陣位移法和有限位移元法都是通過(guò)結(jié)構(gòu)的離散化，將復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單單元的分析和集合問(wèn)題。

1.2分析過(guò)程的相似

矩陣位移法和有限位移元法都是先進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散化，然后進(jìn)行單元分析，最后進(jìn)行整體分析。

具體地，兩種方法都是應(yīng)用矩陣運(yùn)算，得到平衡方程（1）

（1）

因?yàn)樗枰獯鸬牟煌谕ㄟ^(guò)平衡方程得到結(jié)點(diǎn)位移列陣 后，在結(jié)構(gòu)力學(xué)的解答要求通過(guò)方程（2）得到結(jié)點(diǎn)力

（2）

而在有限位移元的解答要求通過(guò)方程（3）得到應(yīng)力

（3）

其中 為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣

2 矩陣位移法和有限位移元的區(qū)別

2.1研究對(duì)象

結(jié)構(gòu)力學(xué)的矩陣位移法主要針對(duì)平面簡(jiǎn)單桿系進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，如剛架、連續(xù)梁、桁架等等，研究對(duì)象較為單一，而彈性力學(xué)的研究對(duì)象可以是具有各種邊界條件的彈性體，不僅可以解決線彈性問(wèn)題，而且可以有效處理材料、幾何非線性問(wèn)題和非線性邊界等問(wèn)題，因而具有極高的靈活性與通用性。

2.2 基本研究單元

矩陣位移法的基本單元是通過(guò)結(jié)點(diǎn)分解形成的單個(gè)桿件，相比之下，有限單元法的基本單元更加靈活，可以是三角形單元、矩形單元或任意四邊形單元，單元的結(jié)點(diǎn)也可以靈活設(shè)置，可以通過(guò)控制基本單元的形式和大小來(lái)調(diào)控解答的精度。

2.3 勁度矩陣

有限單元法的各結(jié)點(diǎn)通過(guò)鉸連接，需要注意的是，當(dāng)有限單元法中采用三結(jié)點(diǎn)三角形單元時(shí)，對(duì)應(yīng)的勁度矩陣為六階方陣，在矩陣位移法中的勁度矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中常稱為剛度矩陣）也為六階方陣，但其性質(zhì)是不同的。在有限單元法中的六階勁度矩陣是因?yàn)槊總€(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移，總共有六個(gè)結(jié)點(diǎn)位移，即

因此勁度矩陣為六階；而在矩陣位移法中，每個(gè)桿件單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)分別有兩個(gè)線位移和一個(gè)角位移，總共也是六個(gè)結(jié)點(diǎn)位移，即

反映到勁度矩陣中也為六階。

2.4 解答的精度

矩陣位移法的解答是依據(jù)線彈性理論求得的數(shù)學(xué)解析解，只要結(jié)構(gòu)的約束條件和外力是確定的，其解答便是唯一的精確解。有限位移元法的解答是將原結(jié)構(gòu)離散化、數(shù)值化，對(duì)非結(jié)點(diǎn)求解域進(jìn)行插值，依據(jù)數(shù)值計(jì)算方法而求得的解，這些解既有原結(jié)構(gòu)離散化、數(shù)值化過(guò)程中的舍入誤差，也有插值產(chǎn)生的誤差，所以為近似解，但是有限位移元的解答可以通過(guò)增加網(wǎng)格密度，改善單元形狀，盡量使用高階插值型單元以及計(jì)算時(shí)盡量使用雙精度迭代等方法，使之無(wú)限逼近精確解的數(shù)值解。

2.5 解答范圍

矩陣位移法本質(zhì)上就是把位移法用矩陣形式表示，屬于結(jié)構(gòu)力學(xué)的范疇，結(jié)構(gòu)力學(xué)只研究桿件結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，而不涉及應(yīng)力、應(yīng)變分析，因此當(dāng)一個(gè)桿件單元兩端的受力情況明確以后，加之直接作用在桿件內(nèi)側(cè)的外力條件，運(yùn)用靜力平衡即可得到每個(gè)截面的內(nèi)力情況，即得到結(jié)構(gòu)力學(xué)范疇的解。相對(duì)地，彈性力學(xué)要求分析結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變情況，且研究對(duì)象是各種形狀的彈性體，除桿件外，還有各種平面體、空間體、平板和殼體等，通過(guò)有限位移元方法求得每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移后，必須通過(guò)某一個(gè)位移模式表示出單元中任一點(diǎn)的位移，再借助彈性力學(xué)的幾何方程和物理方程求得應(yīng)變、應(yīng)力。

3 結(jié)語(yǔ)

矩陣位移法是有限位移元法的雛形，其原理和分析過(guò)程基本一致，對(duì)于初學(xué)者，可以將矩陣位移法與有限位移元法一起學(xué)習(xí)，根據(jù)矩陣位移法理解單元?jiǎng)偠染仃?、整體剛度矩陣、邊界條件處理技巧等。

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（作者單位：青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院）