善用基本模型，速求最小值

錢玉玲

求兩條或兩條以上線段和的最小值問題，是同學們的“老朋友”了.解決這類問題的策略很多，其中利用軸對稱變換轉(zhuǎn)化線段，是一種重要的方法.分析這類問題時，我們一般要先分析相關(guān)點是定點還是動點，往往動點個數(shù)越多，難度越大.下面就兩個定點兩個動點（簡稱“兩定兩動”）型線段和的最小值問題與同學們一起探討，期待給同學們一些啟發(fā).

【基本模型】如圖1，點A、B是銳角MON外部任意兩個定點，在∠MON的兩邊OM、ON上分別確定點P、Q，使得AP+PQ+QB的值最小.

圖1

圖2

【解析】A、B兩點確定，P、Q兩點分別是OM、ON上的動點，如圖2，根據(jù)“兩點之間線段最短”，連接AB與OM、ON分別交于點P、Q，點P、Q即為所作.接下來運用這一基本模型解決問題.

【例1】如圖3，點A、B分別是銳角MON內(nèi)部、外部一點，在∠MON的兩邊OM、ON上各找一點P、Q，使得AP+PQ+QB的值最小.

圖3

圖4

圖5

【解析】顯然，連接AB無法解決問題.類比基本模型，相同之處是A、B兩點是定點，P、Q兩點是動點；不同的是定點A在∠MON的內(nèi)部.那么能否轉(zhuǎn)化為基本模型呢？如圖4，作點A關(guān)于OM的對稱點A′，由軸對稱性質(zhì)可知PA′＝PA，則AP＋PQ＋QB＝A′P＋PQ＋QB，所以當A′P+PQ+QB的值取最小時，AP+PQ+QB的值最小.觀察圖4，點A′、B在∠MON的外部，與基本模型一致，連接A′、B即可（如圖5）.

【變式】如圖6，點A、B是銳角MON內(nèi)部任意兩點，在∠MON的兩邊OM、ON上各找一點P、Q，使得AP+PQ+QB的值最小.

圖6

圖7

圖8

【解析】類比例1，只需為A、B兩個定點尋找“替身”，轉(zhuǎn)化到∠MON的外部即可.顯然，軸對稱及軸對稱的性質(zhì)是尋找“替身”的“出路”（如圖7），結(jié)合基本模型，連接A′B′，即可解決問題（如圖8）.

【實際應用】某中學八（2）班舉行元旦晚會，桌子擺成如圖9所示的兩直排（圖中OA、OB）.OA桌面上擺滿橘子，OB桌面上擺滿糖果.站在C處的小明同學先拿橘子，再拿糖果，然后到D處的座位上.請你幫他設(shè)計一條行走路線，使其所走路程最短.

圖9

圖10

【解析】先將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.兩排桌子構(gòu)成了∠AOB，小明出發(fā)地C和座位D可看成∠AOB內(nèi)部兩個定點，根據(jù)前面的解題經(jīng)驗，只需分別作出點C關(guān)于OA的對稱點C′，點D關(guān)于OB的對稱點D′，連接C′D′與OA、OB分別交于點P、Q，點P、點Q即是小明拿橘子、糖果的位置（如圖10）.

同學們，“題?！泵Ｃ＃趯W習的過程中，要善于總結(jié)歸納基本圖形；在其他具體問題情境中，學會利用“轉(zhuǎn)化”思想向基本模型“靠攏”，可以達到事半功倍的效果.