高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的PCK分析研究

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在不少概念或定理教學(xué)的難點(diǎn)，本文以“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的教學(xué)為例，從學(xué)生認(rèn)知的角度出發(fā)，思考如何利用數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK），幫助學(xué)生進(jìn)行教學(xué)難點(diǎn)的突破.在此基礎(chǔ)上，本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，嘗試研究高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)教學(xué)的一般思路和做法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；教學(xué)難點(diǎn)；PCK

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的掌握，特別是對(duì)一些核心概念的理解，要在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中重復(fù)和強(qiáng)化.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理作為高中核心概念之一，它不僅是學(xué)習(xí)排列組合和二項(xiàng)式定理的理論依據(jù)，更是學(xué)習(xí)和解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本思想方法，在這個(gè)章節(jié)中是基礎(chǔ)性的知識(shí).數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)的反映，大多數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)都圍繞著某些核心概念展開(kāi).排列組合是學(xué)習(xí)概率知識(shí)的基礎(chǔ)，而分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理作為本章的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)起鋪墊作用，有助于學(xué)生運(yùn)用兩個(gè)原理解決很多實(shí)際問(wèn)題，所以兩個(gè)原理的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的內(nèi)容之一.

PCK這一概念最早由斯坦福大學(xué)教授Shulman（美國(guó)教育研究會(huì)主席）提出，他認(rèn)為構(gòu)成教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)有7類(lèi)，其中的“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”逐步成為教師知識(shí)的重心與核心.學(xué)科教學(xué)知識(shí)是“Pedagogical Content Knowledge”（簡(jiǎn)稱為PCK）的翻譯，“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”，也有些研究者將其翻譯成“教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”或者“學(xué)科教育知識(shí)”.1987年，Shulman首次提出教師專(zhuān)業(yè)知識(shí)基礎(chǔ)的分類(lèi)，并給出了PCK的概念內(nèi)涵，指所教的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)與教育學(xué)知識(shí)的有機(jī)融合，針對(duì)具體要教的內(nèi)容所使用的教學(xué)方法和教學(xué)策略.

從認(rèn)知的角度分析，分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是學(xué)生小學(xué)學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的拓展應(yīng)用.本節(jié)的主要任務(wù)是學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，總結(jié)得出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的本質(zhì)，領(lǐng)悟其中重要的數(shù)學(xué)思想方法，并能應(yīng)用兩個(gè)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，是本節(jié)課要突破的難點(diǎn)所在.部分教師對(duì)原理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵缺乏深入研究，缺乏了解學(xué)情.為突破“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，我們嘗試著用PCK相關(guān)的知識(shí)，對(duì)“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”教學(xué)時(shí)所涉及的學(xué)科知識(shí)、課程和教材的知識(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和困難、教學(xué)的方法和策略等進(jìn)行整體分析，分以下7個(gè)方面進(jìn)行：

1“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的學(xué)前剖析

“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的推導(dǎo)、理解、記憶及應(yīng)用，是學(xué)生學(xué)習(xí)“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”時(shí)所遇到的難點(diǎn)，“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的發(fā)現(xiàn)和證明也是教師教學(xué)中的難點(diǎn)，因此有必要對(duì)“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”深入地剖析.

1.1“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的文本解讀

分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理在上海版的高中數(shù)學(xué)教材中，是第16章第一節(jié)和第三節(jié)的內(nèi)容，分別對(duì)應(yīng)的是“乘法原理”和“加法原理”，加法原理是在學(xué)習(xí)完“排列”之后再學(xué)習(xí)的.而另外兩個(gè)版本的教材——人教版和新課標(biāo)版都安排同一節(jié)，不同的地方是，人教版放在整個(gè)“排列組合二項(xiàng)式”章節(jié)的前面，在學(xué)習(xí)概率知識(shí)之前；而新課標(biāo)版則放在選修23中的“概率”章節(jié)之后.人教版和新課標(biāo)版的教材設(shè)計(jì)，同時(shí)學(xué)習(xí)分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理，然后再學(xué)習(xí)排列組合；滬教版的教材設(shè)計(jì)，先是學(xué)習(xí)了分步計(jì)數(shù)原理——乘法原理，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)排列，再然后學(xué)習(xí)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理——加法原理.

1.2幾種教材觀點(diǎn)的碰撞

幾種教材版本對(duì)“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的不同處理，正好對(duì)應(yīng)著教師在教學(xué)中幾種不同的觀點(diǎn).支持滬版教材的老師認(rèn)為兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)該分開(kāi)教學(xué)，應(yīng)該在學(xué)生學(xué)習(xí)排列的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)分類(lèi)和分步兩個(gè)計(jì)數(shù)原理可以有更好的綜合應(yīng)用；支持人教版的老師認(rèn)為，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，在排列組合的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)概率可以更好的學(xué)習(xí)古典概率，為后續(xù)概率學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；而贊同新課標(biāo)版的老師雖然也認(rèn)同兩個(gè)計(jì)數(shù)原理放在學(xué)習(xí)排列組合之前，但他們認(rèn)為概率的概念可以放在排列組合學(xué)習(xí)之前，可以讓學(xué)生對(duì)整個(gè)排列組合概率的框架有個(gè)大致清晰的認(rèn)識(shí)和構(gòu)建.

1.3兩個(gè)原理的邏輯分析

幾種教材版本雖然都有自己的設(shè)計(jì)原理和道理，都考慮到了學(xué)生的認(rèn)知情況，但通過(guò)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)實(shí)踐可以論證，學(xué)生的最大難點(diǎn)是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和適用范圍.在分步計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)上，如何進(jìn)行分步的“分步標(biāo)準(zhǔn)”往往會(huì)成為學(xué)生最容易混淆的學(xué)習(xí)難點(diǎn).因此，教學(xué)的首要目標(biāo)是通過(guò)師生對(duì)概念的精準(zhǔn)分析，得出并突破難點(diǎn)是教學(xué)的重心.從這個(gè)角度上分析，人教版的教材設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的認(rèn)知和數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展.

2“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的概念分析

分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）：如果一個(gè)目標(biāo)可以在n種不同情況下完成，第k種情況又有mk種不同方式來(lái)實(shí)現(xiàn)（k=1，2，…，n），那么實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)總共有N=∑ni=1mk=m1+m2+…+mn種方法.其中，每種辦法不能同時(shí)共存，每種辦法都可以獨(dú)立地完成這件事，相互之間不重復(fù).可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，但要做到“不漏不增”.

分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：如果實(shí)現(xiàn)一個(gè)目標(biāo)必須經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，第k步又可以有mk種不同方式來(lái)實(shí)現(xiàn)（k=1，2，…，n），那么實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)總共有N=∏ni=1mk=m1·m2·…·mn種方法.其中，“完成一件事，需要分成n個(gè)步驟”是指每個(gè)步驟都不足以完成這件事，每個(gè)步驟都不能缺少，也不能重復(fù)和遺漏.

運(yùn)用加法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題是將一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題分解為若干類(lèi)別，再分類(lèi)解決；運(yùn)用乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題則是將一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題分解為若干步驟，先對(duì)每個(gè)步驟分類(lèi)處理，再分步完成；綜合運(yùn)用分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理就是用轉(zhuǎn)化思想將綜合問(wèn)題分解為單一問(wèn)題，再進(jìn)行求解.3“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的學(xué)情分析

在“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”教學(xué)之前，教師有必要了解學(xué)生之前已有的知識(shí)和經(jīng)歷.其實(shí)，高中的學(xué)生對(duì)于計(jì)數(shù)問(wèn)題并不陌生.

（1）作為小學(xué)階段加法和乘法運(yùn)算的延伸和拓展，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理對(duì)學(xué)生從認(rèn)知角度來(lái)說(shuō)還是比較好接受和理解的.

（2）學(xué)習(xí)完集合和數(shù)列的相關(guān)知識(shí)后，學(xué)生又學(xué)會(huì)了用列舉法解決最簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題.這是解決分類(lèi)和分步問(wèn)題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

（3）高中階段以前的學(xué)習(xí)和生活中，學(xué)生已經(jīng)能夠使用分類(lèi)和分步的原理來(lái)思考和解決問(wèn)題.同時(shí)，高中生已經(jīng)能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，也具有一定的歸納和類(lèi)比能力.

如何讓學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，相對(duì)抽象地概括出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和其中的數(shù)學(xué)思想方法，是本節(jié)課應(yīng)該突破的難點(diǎn).一方面，可以通過(guò)實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生完成歸納的過(guò)程，幫助學(xué)生理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的應(yīng)用，提升學(xué)生抽象概括能力；另一方面，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)始終強(qiáng)調(diào)加法原理和乘法原理中“完成一件事”的內(nèi)涵和區(qū)別，幫助學(xué)生理解并合理選擇兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

4“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的教材分析

“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”是在大量生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出來(lái)的基本規(guī)律，是學(xué)習(xí)排列組合、概率等知識(shí)的基礎(chǔ)，也是處理計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本思維方法，在本章的學(xué)習(xí)中是非常重要的.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)依據(jù)，這種解決問(wèn)題的思想與方法貫穿于該章后續(xù)教學(xué)的始終.

滬版教材分成了16.1計(jì)數(shù)原理Ⅰ——乘法原理（P49-P50），以及16.3計(jì)數(shù)原理Ⅱ——加法原理兩小節(jié)進(jìn)行編排.先學(xué)習(xí)分步計(jì)數(shù)原理，提出乘法原理的基本概念；接著學(xué)習(xí)排列的概念，教師在設(shè)計(jì)的時(shí)候可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的概念區(qū)分；然后是分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，此時(shí)可以進(jìn)行分類(lèi)和分步兩種計(jì)數(shù)原理的區(qū)分.兩個(gè)章節(jié)都有自己的練習(xí)和作業(yè).

5“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的障礙分析

雖然進(jìn)入高中階段后，學(xué)生學(xué)習(xí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理具備了很好的知識(shí)能力基礎(chǔ)和思想方法基礎(chǔ)，但學(xué)生在學(xué)習(xí)“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”時(shí)還是會(huì)遇到一些學(xué)習(xí)障礙，教師了解這些障礙，將有助于在教學(xué)中更好地利用自己的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生越過(guò)障礙.5.1合理選擇原理的學(xué)習(xí)障礙

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的概念有些接近，學(xué)生在初學(xué)的時(shí)候很容易會(huì)混淆兩個(gè)概念，導(dǎo)致原理選擇時(shí)的誤用.要突破這個(gè)學(xué)習(xí)障礙，搞清楚兩個(gè)原理概念的異同之處是關(guān)鍵.加法原理是可以將一件事情“分類(lèi)”，這幾類(lèi)方法相互獨(dú)立，哪一類(lèi)方法都可以完成；而乘法原理則是“分步”，這幾個(gè)步驟之間具有連續(xù)性，他們相互之間具有依存關(guān)系，只有當(dāng)這幾個(gè)步驟都完成的時(shí)候才能完成這件事情.當(dāng)然，一些復(fù)雜的題目中既有分類(lèi)又有分步，需要找出題目的樹(shù)干圖，然后進(jìn)行分解，理清解題思路.5.2“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)

應(yīng)用“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活中遇到的問(wèn)題，本應(yīng)該是學(xué)習(xí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理后需要做到的，但也有不少學(xué)生看到相關(guān)的應(yīng)用時(shí)，不能立刻想到“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”.一方面，學(xué)生在小學(xué)、初中甚至高中，雖然學(xué)過(guò)很多的應(yīng)用題和應(yīng)用思想，但總體上學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，會(huì)導(dǎo)致知識(shí)的應(yīng)用遇到障礙；另一方面，“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”作為新學(xué)知識(shí)，尚未內(nèi)化到學(xué)生的知識(shí)體系之中，加之對(duì)概念理解不夠透徹都會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)障礙的形成.當(dāng)然，后續(xù)通過(guò)練習(xí)訓(xùn)練，特別是應(yīng)用意識(shí)方面的轉(zhuǎn)化和強(qiáng)化，能夠幫助學(xué)生更好地應(yīng)用“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”.5.3“分步標(biāo)準(zhǔn)”不清導(dǎo)致的學(xué)習(xí)障礙

在本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，有個(gè)非常經(jīng)典的例題是有關(guān)“郵筒寄信”問(wèn)題，比如，4封信寄到3個(gè)郵筒，有多少種寄遞方法？這種問(wèn)題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)思維混亂，答案到底是43還是34？為什么會(huì)產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題，往往是因?yàn)椴恢缿?yīng)該以郵筒作為分步的標(biāo)準(zhǔn)，還是以信作為分步的標(biāo)準(zhǔn).要解決這個(gè)學(xué)習(xí)障礙，理解“乘法原理”的概念內(nèi)涵是前提，解決“分步標(biāo)準(zhǔn)”的確定劃分是關(guān)鍵.教學(xué)中教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)“分步計(jì)數(shù)原理”中“分步標(biāo)準(zhǔn)”的理念，并通過(guò)一些實(shí)際的例題和生活中的例子進(jìn)行強(qiáng)化，將數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化，將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化.6“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的延伸應(yīng)用

“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”是學(xué)習(xí)排列組合的重要的基本方法，也是學(xué)習(xí)概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，在有限集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算中也起著較為重要的作用，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在以下幾個(gè)方面都可以進(jìn)行延伸應(yīng)用.

6.1在排列組合中的應(yīng)用

在排列組合的學(xué)習(xí)中，主要是學(xué)習(xí)排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算，而相關(guān)的公式是利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)得出的.排列公式作為乘法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用，公式的得出和應(yīng)用原理都與分步計(jì)數(shù)原理密切相關(guān)；而重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題，本就是乘法計(jì)數(shù)原理的范疇，只是將其生活化而已；在排列公式上得出的組合數(shù)公式，也可以理解成乘法原理的進(jìn)一步推廣，組合的性質(zhì)公式Cmn+1=Cmn+Cm-1n則是加法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用；另外，很多組合問(wèn)題，比如盒子問(wèn)題，都是對(duì)加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用.6.2在集合元素中的應(yīng)用

在后續(xù)概率等知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理還會(huì)起到重要的基礎(chǔ)作用.比如在學(xué)習(xí)古典概率的過(guò)程中，互斥事件的基本事件個(gè)數(shù)就可以由加法計(jì)數(shù)原理得出：n（A1+A2+…+An）=n（A1）+n（A2）+…+n（An）.而另一個(gè)常見(jiàn)的集合元素個(gè)數(shù)的推廣式則是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）.值得一提的是，這個(gè)公式還可以推廣到n個(gè)集合的情況.

7“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的教學(xué)案例

作為PCK分析研究的主要內(nèi)容，教學(xué)實(shí)踐是主要研究形式和研究方向，下面展示的是“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”的一個(gè)教學(xué)案例，設(shè)計(jì)參考的教材是人教版的編排，但為了突破學(xué)生學(xué)習(xí)該節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的障礙，設(shè)計(jì)有較多新的編排.

7.1教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：正確掌握和理解分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，能準(zhǔn)確分析和使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理；（2）過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)兩個(gè)原理概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、提煉數(shù)學(xué)信息的能力和歸納概括能力；通過(guò)對(duì)兩個(gè)原理的應(yīng)用，提高學(xué)生解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力；（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)；通過(guò)認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)原理與生活的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用美.7.2教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題；

難點(diǎn)：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的判斷及準(zhǔn)確應(yīng)用.7.3教法學(xué)法

（1）教法：

問(wèn)題式：提出“問(wèn)題鏈”引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)；

啟發(fā)式：層次提問(wèn)，對(duì)學(xué)生探究，自主實(shí)踐進(jìn)行啟發(fā).

（2）學(xué)法：

對(duì)比法：通過(guò)對(duì)知識(shí)和方法的對(duì)比、總結(jié)和反思，掌握和理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

探究法：學(xué)生在問(wèn)題和知識(shí)中討論、分析和總結(jié)，探究和應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

7.4教學(xué)過(guò)程：

7.4.1情境引入

問(wèn)題1非能源車(chē)的車(chē)牌一般含有6個(gè)數(shù)字或字母，上海郊區(qū)牌照以滬C開(kāi)頭，那這樣的車(chē)牌有多少個(gè)？能否滿足郊區(qū)日益增長(zhǎng)的人口和車(chē)輛增長(zhǎng)？

問(wèn)題2為了不混淆，英文字母不得選用I、O、Q，那這樣牌號(hào)的容量是多少？

設(shè)計(jì)意圖用日常生活密切相關(guān)的車(chē)牌號(hào)問(wèn)題引入，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題普遍存在，感受學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)知識(shí)的必要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的興趣.問(wèn)題揭示了主題，學(xué)生知道要解決的問(wèn)題，也有興趣去探究，參與性強(qiáng).

7.4.2實(shí)例探究

例1書(shū)架共有三層，第1層放有3本不同的語(yǔ)文書(shū)，第2層放有4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第3層放有5本不同的英語(yǔ)書(shū).從書(shū)架上任取一本書(shū)，有多少種不同的取法？

問(wèn)2從上述書(shū)架上取語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)書(shū)各1本，有多少種不同的取法？

設(shè)計(jì)意圖從分類(lèi)加法原理過(guò)渡分步計(jì)數(shù)原理，通過(guò)類(lèi)比加法計(jì)數(shù)原理，幫助學(xué)生歸納出分步計(jì)數(shù)原理，提高學(xué)生的類(lèi)比轉(zhuǎn)化能力.

問(wèn)3請(qǐng)歸納一下，上述兩個(gè)問(wèn)題解決問(wèn)題的方式有什么不同？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)自主探究，加深對(duì)兩個(gè)原理的理解，提升歸納概括能力.

7.4.3原理學(xué)習(xí)

問(wèn)1兩個(gè)原理的異同點(diǎn)分別是什么？

問(wèn)2用好（區(qū)分）這兩個(gè)原理的關(guān)鍵是什么？

師生總結(jié)：對(duì)于分類(lèi)計(jì)數(shù)原理“分類(lèi)”是可以獨(dú)立完成這件事的，用加法；而“分步計(jì)數(shù)原理”中的單一步驟不能單獨(dú)完成這件事，用乘法.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生回答自己怎樣區(qū)分兩個(gè)原理.同學(xué)之間互相補(bǔ)充，將兩個(gè)問(wèn)題放在一起，有利于抽象概括.用探究的方式生成新知識(shí)更容易讓學(xué)生掌握，降低了學(xué)習(xí)的難度，也使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思維方法，強(qiáng)化了學(xué)生的歸納和類(lèi)比能力.

7.4.4運(yùn)用原理

例2某人有2頂帽子、3雙鞋、4條褲子，5件上衣，社交要求的穿戴至少要穿好衣褲和鞋，請(qǐng)問(wèn)滿足社交要求的穿戴共有多少種不同的裝束？

設(shè)計(jì)意圖例題的訓(xùn)練和解法的總結(jié)，加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)原理的理解.解題總結(jié)時(shí)，分清完成一件事的要求至關(guān)重要，從而正確區(qū)分“分類(lèi)”和“分步”兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

例3有4封信全部投進(jìn)3個(gè)郵筒，請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同投法？

設(shè)計(jì)意圖本例題是經(jīng)典例題，目的是讓學(xué)生得到鞏固和提高，特別是理解“分步的標(biāo)準(zhǔn)”.同時(shí)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)本節(jié)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，從而提升學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

7.4.5練習(xí)鞏固

練習(xí)：如上圖，要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色.請(qǐng)問(wèn)不同的涂色方案有多少種？

變式：若用4色，涂色方案有多少種？

7.4.6小結(jié)提升

（1）兩個(gè)原理的內(nèi)容，兩個(gè)原理的區(qū)別.

（2）使用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，要注意“分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)”和“分步的標(biāo)準(zhǔn)”，防止出現(xiàn)重復(fù)或遺漏，并注意步驟完整和順序.

（3）數(shù)學(xué)思想方法：由特殊到一般，分類(lèi)討論，歸納與類(lèi)比.

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