具兩奇異端點(diǎn)的J-對(duì)稱微分算子的J-自伴域*

林秋紅

(廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣東 肇慶 526100)

0 引 言

J-對(duì)稱微分算子是一類特殊的有著重要應(yīng)用背景的非對(duì)稱微分算子[1]，對(duì)此已經(jīng)有了很多方面的研究. 在原子核物理、電磁場(chǎng)理論以及非均勻介質(zhì)中的無(wú)線電波的傳播等應(yīng)用問(wèn)題中，由微分算式所生成的J-自伴微分算子是很重要的一類算子[2].

關(guān)于J-對(duì)稱微分算子的J-自伴擴(kuò)張問(wèn)題，自Glazman在文獻(xiàn)[3]中最先提出了J-對(duì)稱微分算子和J-自伴算子的概念后，Galindo和Knowles相繼用不同的方法證明了任何J-對(duì)稱微分算子都有J-自伴擴(kuò)張的結(jié)論. 1985年，Race在文[4]中提出了J-對(duì)稱微分算子的J-自伴擴(kuò)張的一般理論. 1988年，尚在久在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，把曹之江[5]和孫炯[6]研究對(duì)稱微分算子的自伴擴(kuò)張的方法推廣到J-對(duì)稱微分算子的J-自伴擴(kuò)張問(wèn)題，利用方程τ+τ=-y的解給出了J-自伴擴(kuò)張域的邊界條件的描述，這些邊界條件不僅在正則點(diǎn)處有限制，而且在奇異點(diǎn)處也有限制. 1991年，尚在久在文獻(xiàn)[2]中進(jìn)一步討論了當(dāng)J-對(duì)稱微分算式的系數(shù)是實(shí)值函數(shù)時(shí)，由它生成的自伴算子和J-自伴算子之間的關(guān)系，給出了具有一個(gè)奇異端點(diǎn)的既是自伴又是J-自伴的邊條件的解析描述. 然而，這只是J-自伴微分算子在(-∞,∞)上的局部描述，而不是完全描述. 近幾年，關(guān)于J-自伴微分算子的研究仍然引起許多學(xué)者的關(guān)注，也取得一些成果[7-11].

關(guān)于具有兩個(gè)奇異端點(diǎn)的對(duì)稱微分算子的自伴擴(kuò)張域，尚在久和朱瑞英[12]給出了討論，并得到(-∞,∞)上階對(duì)稱微分算子當(dāng)其端點(diǎn)-∞和∞的虧指數(shù)分別在四種情形下的自伴域的局部解析描述，之后李文明[13]進(jìn)一步給出了具有兩個(gè)奇端點(diǎn)有相等虧指數(shù)的對(duì)稱微分算子自伴域的完全描述.

本文將文獻(xiàn)[13]中對(duì)虧指數(shù)的討論方法推廣到J-對(duì)稱微分算子的J-自伴擴(kuò)張問(wèn)題，討論當(dāng)J-對(duì)稱微分算子系數(shù)為實(shí)值函數(shù)時(shí)，在(-∞,∞)上有相等虧指數(shù)的J-自伴域的完全描述，進(jìn)一步完善J-自伴的邊條件的解析描述.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]設(shè)J是定義在Hilbert空間H上的映射，滿足

(Jx,Jy)=(y,x),J2x=x.

定義2[4]設(shè)A是稠定線性算子，定義域?yàn)镈(A)，如果(Jx,Ay)=(JAx,y)，則稱A是J-對(duì)稱的.A是J-對(duì)稱的充要條件是JAJ?A*，其中A*是A的共軛算子. 如果A*=JAJ，則稱A是J-自伴算子.

引理1[4]每個(gè)J-對(duì)稱算子都有一個(gè)J-自伴算子.

設(shè)式(1)是定義在(-∞,∞)上的n階非對(duì)稱微分算式

(1)

式中：pk(t)∈Cn-1(-∞,∞)(k=0,1,…,n),p0(t)≠0, -∞

令T0表示T的最小算子，定義域?yàn)镈0.T1表示T的最大算子，其定義域D1，則

D1={y∈L2(a,b)∶y[k]∈ACloc(a,b),

0≤k≤2n-1,τ(y)∈L2(a,b)}.

且T1y=τ(y)(y∈D1).

引理2[4]

D1=D0⊕{y∈D(JT1JT1)∶JT1JT1y=-y},

(2)

D1=D0⊕{y∈D1∶τy=iy}⊕

{y∈D1∶τy=-iy}.[2]

(3)

設(shè)τ(y)的在-∞和∞的虧指數(shù)分別為(p,q)和(r,s)，且p,q,r,s滿足

p+r=q+s.

(4)

由Kodaira公式知τ(y)在(-∞,∞)上具有相等虧指數(shù)(r+p-n,s+q-n)，從而知τ(y)的最小算子可以擴(kuò)張成J-自伴算子.

命題1[13]如果y∈D1，則有下列唯一的表達(dá)式

(5)

(6)

(7)

D(JT0J)⊕L(τ(x1),…,τ(x2m)).

(8)

引理5[4]設(shè)defT0(τ)=m，則D1內(nèi)線性流形D是T0(τ)的J-自伴域的充要條件是存在wi∈D1(i=1,…,m)使得:

i) {wi}模D0線性無(wú)關(guān);

2 主要結(jié)論及證明

rankE=r+s-n,rankF=p+q-n.

(9)

(10)

由式(6)得

(11)

(12)

(13)

(14)

由此得

(15)

2)rankE≥r+s-n.

由引理2 ，存在常數(shù)ckj，滿足

(16)

rank(ckj)(r+s)×(r+s)=r+s.

(17)

根據(jù)引理3，得

對(duì)于農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)備推廣機(jī)構(gòu)中所存在的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，首先我們必須要對(duì)機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)工作進(jìn)行完善，從而保證推廣機(jī)構(gòu)的工作效率。并且，建立完善的農(nóng)機(jī)設(shè)備推廣體系，保證農(nóng)業(yè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)轉(zhuǎn)正常，對(duì)于相關(guān)機(jī)械設(shè)備的推廣人員要加強(qiáng)其自身專業(yè)水平的提高，從而保證推廣的質(zhì)量。因此，在進(jìn)行農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)備的基層銷售人員，必須要加強(qiáng)其工作熱情，提高自身工作實(shí)力，然后將農(nóng)業(yè)推廣的各項(xiàng)政策進(jìn)行落實(shí)，真正的使農(nóng)業(yè)發(fā)展得到有效的保障。

(18)

(19)

故有

(20)

綜上(1)和(2)得，rankE=r+s-n.

由式(5)得

(22)

不失一般性，可設(shè)E的前r+s-n行線性無(wú)關(guān)，F(xiàn)的前p+q-n行線性無(wú)關(guān). 即若記

(23)

則

rankE1=r+s-n,rankF1=p+q-n.

(24)

(25)

(26)

證明由文獻(xiàn)[3]中引理3. 6可得證.

定理2 設(shè)T0(τ)由τ(y)生成的最小算子，若在-∞的虧指數(shù)為(p,q)，在∞的虧指數(shù)為(r,s)，且滿足r+p=s+q，記m=r+p-n，則D1中的線性流形D是T0(τ)的J-自伴擴(kuò)張域的充要條件是存在階m×(p+q-n)常數(shù)矩陣M和m×(r+s-n)階常數(shù)矩陣N，使得

1)rank(M⊕N)=m，

2)MB-MT=GB+GT，

證明充分性. 設(shè)m×(p+q-n)矩陣M和m×(r+s-n)矩陣G滿足1)～3). 令

M=(ξij)m×(p+q-n),G=(ηij)m×(r+s-n),

(27)

(28)

(29)

令

(30)

顯然vi∈D1，且

(31)

(32)

所以條件(3)轉(zhuǎn)化成引理5的邊條件iii)的形式. 下面證{vi}滿足引理5的條件i)和ii).

(33)

由于u∈D0，故對(duì)任意y∈DM有[u,y](-∞)=0，因此

由式(24)知，rankE1=p+q-n，故有(c1…cm)M=0，同理可證(c1…cm)G=0，從而(c1…cm)(M⊕G)=0，由M,G滿足條件i)可推出ci=0, (i=1,…,m).

這樣由引理5知，D是τ(y)的J-自伴域.

M=(ξij)m×(p+q-n),G=(ηij)m×(r+s-n),

(35)

則

(36)

同理可證

(37)

從而D的邊條件化成(3)的形式. 下面證明(1)和(2).

1) 設(shè)(c1…cm)(M⊕G)=0，則(c1…cm)M=0. 由vi的分解式，可得對(duì)任何y∈D1有

(38)

由1)得ci=0(i=1,…,m)，因此rank(M⊕G)=m.

2) 由vi的分解式可得

(39)

寫成矩陣形式為

(40)

同理有

(41)

于是

(42)

定理得證.

按照τ(y)在-∞和∞的虧指數(shù)，給出下面三種特殊情形的J-自伴擴(kuò)張域的描述，如表 1 所示.

表 1 幾種特殊虧指數(shù)Tab.1 Several special deficiency indices

定理3 設(shè)T0(τ)是(-∞,∞)上τ(y)生成的最小算子，則D1中的線性流形D是T0(τ)的J-自伴擴(kuò)張域的充要條件是：

1) 存在n×n矩陣M和N，使得

i)rank(M⊕N)=n，

ii)MB-MT=GB+GT，

2) 存在r×n矩陣P，使得

i)rankP=r;

ii)PB+PT=0，

證明略.