梅山堂

[摘 要] 從生長數(shù)學(xué)的角度來看，“矩形的性質(zhì)”一課生長路徑明顯，筆者通過類比平行四邊形研究的基本套路，引導(dǎo)學(xué)生進行矩形的相關(guān)研究，在研究矩形的過程中，進一步體會和鞏固了研究幾何圖形的“基本套路”.

[關(guān)鍵詞] 矩形性質(zhì)；生長數(shù)學(xué)；基本套路；教學(xué)思考

2017年底，筆者有幸在蚌埠新城實驗學(xué)校舉辦的“聯(lián)動教研 分享智慧”教研活動中，與實驗中學(xué)的孟婧文老師共同就滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊“19.3.1 矩形的性質(zhì)”一課進行同課異構(gòu)展示. 從生長數(shù)學(xué)的角度來看，矩形一課生長路徑明顯，學(xué)生在此之前已經(jīng)具備了研究平行四邊形的經(jīng)驗，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)將是后面繼續(xù)學(xué)習(xí)菱形、正方形性質(zhì)的重要前提. 所以，筆者通過類比平行四邊形研究的基本套路，進行矩形圖形研究. 讓學(xué)生在研究矩形的過程中，進一步體會和鞏固研究幾何圖形的“基本套路”. 本文擬對本節(jié)課探究過程中的部分片段進行回放，并給出解讀與思考，與各位同行研討. 不當(dāng)之處，歡迎斧正！

片段回放

片段1：情境創(chuàng)設(shè)

師：（展示如圖1所示的知識生長樹）回憶三角形和平行四邊形的學(xué)習(xí)過程，我們是通過怎樣的順序來研究的？學(xué)生回答后，師生共同梳理平行四邊形的研究過程. （定義-性質(zhì)-判定-應(yīng)用）

師：如果今天這節(jié)課，我們繼續(xù)針對平行四邊形深入研究下去，會研究它的什么內(nèi)容呢？

生1：平行四邊形中的特例.

師：如何增加一個條件，使一個一般的平行四邊形成為特殊的平行四邊形呢？

生2：可以增加其中4個角為直角.

師：一定要4個角都是直角嗎？這個限制條件能不能再精簡呢？

生2：可以讓鄰角相等.

師：能再少嗎？

生3：我認為有一個角是直角就夠了.

師：為什么？能簡單說說你的思考嗎？

生3：平行四邊形對角相等，鄰角互補，有一個角是直角，其他三個角都是直角.

師：說得非常好！那還可以用其他方式增加條件，使一個一般的平行四邊形成為特殊的平行四邊形嗎？

生4：可以讓四條邊相等.

師：一定要四邊相等嗎？能再精簡嗎？

生5：我認為鄰邊相等就可以了.

師：為什么呢？請說說你的理由.

生5：因為平行四邊形對邊相等，只要鄰邊相等，那么四邊就是相等的.

師：同學(xué)們思考問題都非常全面！剛才我們從角的角度增加了“有一個角是直角”這一條件，呈現(xiàn)了特殊的平行四邊形；然后，我們又從邊的角度增加了“鄰邊相等”這一條件呈現(xiàn)了特殊的平行四邊形. 今天這節(jié)課，我們先來研究增加“一個角是直角”這種特殊情況.

師：（實物模型演示）請同學(xué)們看我手中的平行四邊形模型，我們觀察左下角這個內(nèi)角，在拉動它的過程中，平行四邊形中的哪些量發(fā)生了變化？哪些量沒有變？

生6：邊長沒變，周長沒變.

師：還有嗎？

生7：內(nèi)角和沒變，外角和也沒變.

師：哪些改變了呢？

生6：4個內(nèi)角都變了.

生8：面積也變了.

生9：兩條對角線的長度改變了.

生10：鄰邊的位置關(guān)系改變了.

……

師：同學(xué)們的觀察能力很強，總結(jié)得也很全面！

片段2：矩形的定義和性質(zhì)探究過程

師：你認為我們會對“矩形”按著什么順序展開研究呢？

生眾：定義-性質(zhì)-判定-應(yīng)用.

師：矩形可能在哪些方面具有特殊性質(zhì)呢？

生11：邊、角、對角線.

師：你為什么這樣認為？

生11：因為平行四邊形邊、角、對角線有特殊性，矩形應(yīng)該也是.

師：嗯！有道理！那么你打算如何研究矩形的性質(zhì)呢？

生11：可以類比平行四邊形.

師：請你說得再具體一點.

生11：就像學(xué)習(xí)平行四邊形那樣，我們可以先畫圖，然后觀察圖形，猜測邊、角、對角線可能存在的關(guān)系，先用測量工具初步測量，最后用幾何證明驗證.

師：剛才這位同學(xué)說得非常好！我們研究幾何圖形的性質(zhì)一般都是按照“觀察-猜想-驗證”這個順序展開的. 現(xiàn)在請同學(xué)們就按著這個思路探究矩形的性質(zhì).

片段3：小結(jié)環(huán)節(jié)

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們是通過怎樣的方式進行學(xué)習(xí)的？

生12：我們是通過類比三角形、平行四邊形學(xué)習(xí)經(jīng)驗來進行本節(jié)課教學(xué)的.

師：具體說一說，我們是如何類比的？

生12：我們根據(jù)三角形和平行四邊形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗知道平行四邊形分別從“角”和“邊”增加條件形成了兩種特殊的平行四邊形，確定了本節(jié)課的研究對象；然后我們又類比了平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容，大致猜測了矩形的性質(zhì)；類比了平行四邊形的性質(zhì)探究過程，確定了矩形性質(zhì)探究的方法.

師：同學(xué)們總結(jié)得非常好！如果繼續(xù)研究下去，你覺得接下來我們將研究什么？

生13：矩形的判定和應(yīng)用.

師：那么，你猜測矩形的判定可以如何展開研究呢？

生13：類比平行四邊形，寫出矩形性質(zhì)的逆命題，驗證命題，形成定理.

生14：我覺得也可以從定義考慮，先證平行四邊形再證有一個角是直角.

……

師：大家說的都有一定的道理，欲知后事，我們下節(jié)課見分曉！

矩形一課在本章中的教育教學(xué)價值

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容為矩形第一課時，研究的是矩形的概念和相關(guān)性質(zhì). 根據(jù)新課標(biāo)的要求，矩形的性質(zhì)不能只停留在知識教學(xué)上，而是要通過經(jīng)歷探索圖形基本性質(zhì)的過程，把發(fā)展學(xué)生的基本推理技能放在首要位置. 本節(jié)課教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、四邊形、平行四邊形，積累了一定的幾何圖形學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，特別是在學(xué)習(xí)平行四邊形時已經(jīng)體會過一般到特殊的數(shù)學(xué)方法，也具有類比學(xué)習(xí)的經(jīng)驗. 本節(jié)課的內(nèi)容既是前面所學(xué)平行四邊形性質(zhì)的運用，也是后面繼續(xù)學(xué)習(xí)菱形、正方形性質(zhì)的重要前提，為學(xué)習(xí)其他特殊平行四邊形提供了相應(yīng)的研究方法和學(xué)習(xí)策略，因此，在教材中起著承上啟下的重要作用. 學(xué)生通過對已學(xué)平行四邊形的特殊變化，類比一般的平行四邊形自主抽象、探索得出矩形的定義和性質(zhì)，矩形這節(jié)課的教學(xué)，不僅沿用了這個“基本套路”，還固化了“基本套路”. 如果說，在類比三角形研究過程展開四邊形、平行四邊形學(xué)習(xí)時，研究幾何圖形的“基本套路”生成了，那么在矩形這一課中這個“基本套路”更是生長了. 我們可以預(yù)測，在接下來菱形、正方形的學(xué)習(xí)中，這個“基本套路”的內(nèi)涵會更加深刻與豐富.

對“矩形”教學(xué)相關(guān)問題的思考

1. 傳承知識生長方式，注重“基本套路”教學(xué)

在本章教學(xué)時，筆者有意滲透類比思想，進行“基本套路”教學(xué). 比如，在四邊形的概念、要素、性質(zhì)教學(xué)時，從類比三角形展開，從一般四邊形到特殊四邊形（平行四邊形）的過渡，類比了一般三角形到特殊三角形（等腰三角形、直角三角形），教學(xué)四邊形時，反復(fù)回憶三角形研究過程，形成幾何圖形研究的“基本套路”. 知識、方法自然生長，學(xué)生對于幾何圖形的研究方向已經(jīng)很明確：定義-性質(zhì)-判定-應(yīng)用，如果繼續(xù)研究下去，就是“一般到特殊”的深入研究，也就是探討圖形的特例. 在有了三角形和平行四邊形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗后，本節(jié)課矩形內(nèi)容的教學(xué)環(huán)節(jié)自然流暢，水到渠成. 像這樣，以類比思想作為知識生長的原動力，課前展示的那棵生長樹，自然生長，枝繁葉茂，知識體系生機勃勃.

2. 類比矩形學(xué)菱形，自主探究辨異同

文章前面已經(jīng)提到，矩形一課的教學(xué)為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)菱形、正方形性質(zhì)埋下了伏筆，為學(xué)習(xí)其他特殊平行四邊形提供了相應(yīng)的研究方法和學(xué)習(xí)策略. 以菱形的性質(zhì)教學(xué)為例，學(xué)生在片段1中已經(jīng)初步感受到矩形性質(zhì)的特殊之處是由于強化了平行四邊形中一個內(nèi)角條件，進而產(chǎn)生了牽一發(fā)而動全身的連帶效應(yīng)，引發(fā)了該平行四邊形的鄰邊位置變化、對角線長短變化、形狀變化等. 類比矩形，菱形性質(zhì)的特殊之處也應(yīng)該是強化了鄰邊條件產(chǎn)生，因此菱形必然會有相應(yīng)的特殊性質(zhì)，兩者研究套路相同，但兩個特殊的平行四邊形，同中有異. 所以在學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)的過程中，既要類比矩形，也要對比矩形. 類比矩形，自然生長：研究路徑相同，學(xué)生在菱形性質(zhì)學(xué)習(xí)時會感覺輕車熟路；對比矩形，深化認識：體會到矩形和菱形作為平行四邊形兩個特例的特殊之處. 這樣對比著學(xué)習(xí)有利于學(xué)生辨析兩個特例圖形各自的性質(zhì)特征.

3. 動態(tài)展示一般到特殊，發(fā)展學(xué)生辯證思維

平行四邊形到矩形的變化過程是一般到特殊的過程. 在動態(tài)展示這一變化的過程中，讓學(xué)生感受并探究圖形性質(zhì)，既加深了學(xué)生對平行四邊形性質(zhì)的理解，體會何為形變質(zhì)不變；又啟發(fā)了學(xué)生對矩形性質(zhì)的探究，形變質(zhì)也變. 所以在教學(xué)矩形內(nèi)容時，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生觀察動態(tài)變化的過程中，哪些性質(zhì)保持不變，哪些性質(zhì)發(fā)生了變化，這些發(fā)生改變的性質(zhì)又是以怎樣的規(guī)律在變化. 在此變化過程中，感受量變引起質(zhì)變的哲學(xué)思想，豐富和完善學(xué)生的世界觀，注重發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人的作用，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).