郭敏

[摘 要] 數(shù)學教學的基本原則是對數(shù)學知識本質(zhì)的把握與合理教學活動的設(shè)計. 關(guān)注數(shù)學知識本質(zhì)應(yīng)從“四基”角度進行，教學活動的設(shè)計重在對學生思維活動的預設(shè).兩者相互結(jié)合，可以促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；知識本質(zhì)；教學活動；核心素養(yǎng)

著名數(shù)學教育專家、原東北師范大學校長、普通高中數(shù)學課程標準修訂組組長史寧中教授，在談及數(shù)學教育中應(yīng)當遵循什么樣的原則時，曾經(jīng)給出了這樣的答案：至少應(yīng)當遵循兩個原則，一個原則是把握數(shù)學知識的本質(zhì)，另一個原則是設(shè)計并實施合理的教學活動.

筆者注意到，這個問題的提出與回答，是在討論如何培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)的背景下進行的. 眾所周知，核心素養(yǎng)及數(shù)學學科核心素養(yǎng)是當前的一個熱門話題，數(shù)學學科核心素養(yǎng)則是高中數(shù)學教師比較關(guān)心的主題之一，作為引領(lǐng)下一段高中數(shù)學教學方向的重要理念，史寧中教授提出上述兩個教學原則，對當前的數(shù)學教學，對未來的數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)有著什么樣的啟發(fā)？筆者對此進行了深入思考，并嘗試做出了回答.下面分四點進行闡述：

數(shù)學知識本質(zhì)，數(shù)學教學的永恒話題

數(shù)學知識的本質(zhì)，在高中數(shù)學課程標準中是從“四基”角度來闡釋的，關(guān)于四基，一線教師通常并不陌生，就是在原有基礎(chǔ)知識、基本技能的基礎(chǔ)上，增加的基本思想與基本活動經(jīng)驗.必須肯定的是，“雙基”曾經(jīng)引領(lǐng)中國基礎(chǔ)教育取得了長足的發(fā)展，在此基礎(chǔ)上增加基本思想與基本活動經(jīng)驗，實際上是呼應(yīng)了基礎(chǔ)教育發(fā)展的需要，使得數(shù)學教師對數(shù)學及其教學的理解更為完整.

這是一個重要的判斷，因為學生所習得的數(shù)學如何，很大程度上取決于教師的教學，而教師的教學又取決于自身的教學理念，即對“四基”的理解. 坦率說，日常教學中，很少有教師明確會從“四基”角度去認識教學內(nèi)容的，更多的是基于該知識在應(yīng)試中的地位去確定其重要與否的. 不可否認，應(yīng)試是必須面對的，但學生對數(shù)學學科的理解，尤其是面對即將到來的核心素養(yǎng)培育需要，進一步準確地從“四基”角度認識教學內(nèi)容，則更是必要的.

以“集合與元素”這一內(nèi)容為例，從基礎(chǔ)知識的角度認識，其需要學生掌握集合與元素的定義，需要學生認識到集合與定義的聯(lián)系，重點是集合的確定性、互異性與無序性三大特征，通常需要讓學生能夠表述這些內(nèi)容并能夠結(jié)合實例進行判斷. 從基本技能的角度來看，基于對集合概念及集合中元素的特性的理解，通常需要讓學生能夠掌握集合的判定辦法（能清楚地界定集合內(nèi)有哪些元素，這些元素必須互不相同，且總體不會因順序的改變而改變），掌握集合的表示方法（通常包括自然語言法、列舉法、描述法、韋恩圖法等），這實際上是日常教學的一個重點，是面向應(yīng)試需要的教學重心. 從基本思想的角度來看，很少有人意識到集合在作為高中數(shù)學最基本的知識教學的同時，這其實也是一個重要的數(shù)學思想教學的機會.因為集合本身就是一種思想，當將數(shù)學研究的對象從一個數(shù)變成一類元素時，集合思想就產(chǎn)生了，在集合概念基礎(chǔ)上建立子集、交集、并集、補集、空集等，都可以視作是對應(yīng)的子集思想、交集思想……的產(chǎn)物.在實際教學中，借助于集合的表示尤其是韋恩圖的表示來進行集合的教學，就可以讓學生體驗到數(shù)學思想的形成與運用過程. 基本活動經(jīng)驗是相對于數(shù)學活動而言的，集合概念的教學既可以遵循數(shù)學知識演繹的思路，也可以遵循數(shù)學活動的思路，尤其是對于抽象思維能力較弱的學生而言，數(shù)學活動的設(shè)計更是必要的. 這個數(shù)學活動是狹義的，僅指帶有體驗性的活動，如將自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)等實物化，以物或人來表征它們，然后去講授集合概念，就可以視作是一種數(shù)學活動.

可以肯定的一點是，從“四基”角度去認識數(shù)學及其教學，其可以拓寬教師的經(jīng)驗視野，從而為后續(xù)的有效教學及核心素養(yǎng)培育服務(wù).

教學活動設(shè)計，數(shù)學教師的教學重心

上面提到了，學生數(shù)學學習結(jié)果如何取決于教師的教學，這個教學實際上就是指教學活動. 在數(shù)學學習活動開始之前，必然有一個教學活動設(shè)計的過程，這個過程應(yīng)當是教師的教學工作中永恒的重心.

教學活動設(shè)計是對教學活動的預設(shè)，設(shè)計的是教學活動，需要思考的卻是學生在學習中可能的思維過程.基于對學生思維的預設(shè)，是教學活動設(shè)計的重要選擇.

在“函數(shù)的奇偶性”教學中，讓學生利用定義去判斷函數(shù)的奇偶性，筆者預設(shè)了這樣的兩個教學環(huán)節(jié)：一是跟學生明確利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟；二是引導學生進行奇偶性定義的等價變形. 在第一個環(huán)節(jié)中，需要建立的步驟是：先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)是否關(guān)于原點對稱，以判斷其是不是具有奇偶性，如果關(guān)于原點對稱，則進入下一步，即用-x去代替x，看得到的f（-x）與f（x）的關(guān)系. 在第二個環(huán)節(jié)中，要演繹出的關(guān)系是：對于偶函數(shù)，有f（-x）=f（x），有f（x）=f（-x），有f（-x）/f（x）=1（f（x）≠0），反之亦然；對于奇函數(shù)，則有f（-x）= -f（x），有-f（x）=f（-x），有f（-x）/f（x）= -1（f（x）≠0），反之亦然.

本教學中的關(guān)鍵在于，學生在理解、生成這些知識的時候，會有哪些思維過程呢？筆者的預設(shè)是：在第一個環(huán)節(jié)中，學生容易忽視的是對函數(shù)的定義域的判斷，而事實上這一步非常基礎(chǔ)，要讓學生重視這一點，教師更貼切的做法不是事先跟學生強調(diào)判斷定義域的重要性，而是在學生因忽視了定義域判斷而出錯之后再進行強調(diào)，這樣的教學活動設(shè)計，往往更容易讓學生形成印象；但需要注意的是，遵循這一教學活動設(shè)計思路，需要提供的例題要具有典型性，同時要防止學生因為初次出錯而形成負遷移；對于第二個環(huán)節(jié)的設(shè)計，其實已經(jīng)是對此前教學過程的概括，因為這樣的一個流程，需要學生對用定義去判斷奇偶函數(shù)的思路有相當充分的認識，這個過程中追求的是學生表述過程的流利性，越流利說明學生的思路越清晰.

總體而言，數(shù)學教學活動的設(shè)計必須高度重視對學生思維的預判，而這需要教師積累教學經(jīng)驗尤其是學生會產(chǎn)生哪些錯誤的經(jīng)驗，同時基于學生的認知規(guī)律去做出判斷.

核心素養(yǎng)培育，面向?qū)W生的教學取向

目前對核心素養(yǎng)有兩個層面的理解，一是宏觀層面的核心素養(yǎng)，二是學科層面的核心素養(yǎng). 后者是前者的下位概念，是前者的學科化、具體化.核心素養(yǎng)強調(diào)培育學生的必備品格與關(guān)鍵能力，數(shù)學學科核心素養(yǎng)強調(diào)從數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學建模三個角度去進行培養(yǎng)（這是史寧中教授等人的觀點，另外三個要素即數(shù)學運算、直觀想象與數(shù)據(jù)分析可以分別滲透在前三者之中）.

對于高中數(shù)學教學而言，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育，最關(guān)鍵的一點就是需要面向?qū)W生，從文章開頭所強調(diào)的數(shù)學知識本質(zhì)與數(shù)學教學活動設(shè)計兩個角度來看，核心素養(yǎng)的培育是建立在數(shù)學知識的掌握基礎(chǔ)之上的，關(guān)于這一點目前已經(jīng)得到了普遍認同，即核心素養(yǎng)的培育并不意味著淡化數(shù)學知識的教學，相反需要做出的努力是教師要設(shè)計出更為合理的數(shù)學活動，以讓學生在活動中生成對數(shù)學學科本質(zhì)的認識，從而更好地促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.更有一點重要認識是，數(shù)學學科核心素養(yǎng)本身雖然是培育的重要對象，但對于學生而言，核心素養(yǎng)的形成卻又不是一個可以速成的過程，用史寧中教授的觀點來看，“數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，本質(zhì)上是要學生自己‘悟出來的”.筆者以為，這里所說的“悟”有兩層含義：一是悟是一個從量變到質(zhì)變的過程，是一個從體驗到認知形成的過程；二是悟是一個需要等待的過程，這意味著在數(shù)學教學中不能預設(shè)核心素養(yǎng)的培育目標，不能認為某個知識的教學活動認真設(shè)計了，核心素養(yǎng)就能夠形成了. 實際上，即使是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成，不同學生的認識也是有所不同的，同樣是用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟的掌握，有的學生概括能力強，有的學生概括能力弱，這就意味著“概括”這一素養(yǎng)的形成就是不同步的.

因此，面向?qū)W生個體的數(shù)學基礎(chǔ)與認知能力去思考核心素養(yǎng)培育的途徑，是很重要的.

從本質(zhì)到活動，核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ)

從數(shù)學知識的本質(zhì)，到數(shù)學活動的設(shè)計，這是一個將“死”的知識進行教學視角下的理解，并進一步“活化”的過程，學生要經(jīng)歷的是一個知識生成的過程，并在此過程中進行深度思考（思考的即為數(shù)學知識之意的關(guān)系與數(shù)學邏輯），進而提升自身的學習品質(zhì)，以及對數(shù)學學科的準確理解.

關(guān)注數(shù)學知識的本質(zhì)，是數(shù)學教師的基本素養(yǎng)，反映著數(shù)學教師的課程理解水平；關(guān)注數(shù)學教學活動的設(shè)計，是數(shù)學教師的重要素養(yǎng)，反映著數(shù)學教師對學生在數(shù)學學習活動中思維特點的認識. 從核心素養(yǎng)及其培育的視角來看，只有兩者有效結(jié)合，核心素養(yǎng)才能像植根于肥沃土壤的樹苗一樣茁壯成長.

因此，高中數(shù)學教學中，重視數(shù)學知識本質(zhì)以及數(shù)學教學活動的設(shè)計是必要的，其既是既往數(shù)學教學經(jīng)驗的總結(jié)，也是核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學教學的堅實基礎(chǔ).