淺談數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)策略

金炳泉

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)非常重要的一部分內(nèi)容，是高考時容易出題的考點(diǎn)，在總成績中占的分值很大。由于相關(guān)的知識點(diǎn)較多，難度相對較大，所以在解決導(dǎo)數(shù)問題時，許多同學(xué)有些解題策略不當(dāng)。本文對導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，如單調(diào)性、極值以及最值等問題進(jìn)行了分析，總結(jié)了相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法和策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題策略；函數(shù)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）19-0239-02

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)（人民教育出版社B版）選修2-2第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的內(nèi)容，既是對所學(xué)習(xí)的函數(shù)的應(yīng)用，又為后續(xù)學(xué)習(xí)定積分和微積分的基本知識打下基礎(chǔ)。而且導(dǎo)數(shù)這部分知識是高考時容易出題的考點(diǎn)，在總成績中占的分值很大，這就決定了導(dǎo)數(shù)知識在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是非常重要的。并且因為相關(guān)的知識點(diǎn)比較多，學(xué)習(xí)難度相對較大，所以在解決導(dǎo)數(shù)問題時，許多同學(xué)有些解題策略不當(dāng)。在導(dǎo)數(shù)這一部分中，主要考點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，主要包括：利用曲線上一點(diǎn)的切線的斜率是該點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合給定條件求出切線方程（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值等語言函數(shù)的圖像在該點(diǎn)處的切線的斜率）；通常利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值和最小值。

學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容最忌諱的就是盲目地實(shí)行題海戰(zhàn)術(shù)，因此，我對此部分相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法和策略進(jìn)行了總結(jié)。

1 加深對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解

加深對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解，主要是明確切點(diǎn)是聯(lián)系切線和曲線的紐帶。在求切線問題上，要注意“過”某一點(diǎn)求切線和“在”某一點(diǎn)求切線的解法不同。例如，設(shè)曲線方程為，則過某一點(diǎn)M（）（非切點(diǎn)）的切線方程的求法：（1）設(shè)點(diǎn)代入：設(shè)切點(diǎn)為P（），則；（2）列斜率：切線斜率P（），則；（3）解方程：化簡上述方程，得到關(guān)于的一元方程，求解；（4）求切線：確定的一元方程，利用點(diǎn)斜式得到切線方程。

2 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性是函數(shù)的核心性質(zhì)?！霸瘮?shù)看單調(diào)，導(dǎo)函數(shù)看符號”。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是把函數(shù)單調(diào)性的判斷轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的符號的判定，再轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的研究。

2.1 導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性和函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系

（1）利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，寫成開區(qū)間就可以，并一定要寫定義域。（2）關(guān)于解導(dǎo)數(shù)的不等式問題，可以采取令或令來解，解題之前先觀察一下，導(dǎo)數(shù)是不是恒正或恒負(fù)的，若是恒正或恒負(fù)，就沒必要再進(jìn)行討論。（3）如若遇到不太好解的不等式，令，然后再列表分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，這也算是一個很好的方法。

2.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本步驟

（1）確定函數(shù)的定義域，尤其注意其隱含定義域，如含的函數(shù)（的定義域是）；（2）求導(dǎo)數(shù)，并整理；（3）判定，求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；（4）列表，定號；（5）寫出函數(shù)的單調(diào)性，如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，則這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“”連接，而只能用“逗號”或“和”隔開。

2.3 研究已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍

（1）在利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)增區(qū)間時，可以令來解決問題的；但已知函數(shù)在區(qū)間D上為增函數(shù)時，應(yīng)得到在區(qū)間D上恒成立，而不是；（2）對于為二次型函數(shù)時，要關(guān)注二次項系數(shù)是否為0的討論；若這個二次型導(dǎo)數(shù)能夠因式分解，則采用數(shù)形結(jié)合的方式討論更為簡單；（3）若參數(shù)是孤立存在的，可以嘗試參變量分離方法求解。

2.4 導(dǎo)數(shù)中的分類討論

關(guān)于導(dǎo)數(shù)中的分類問題，許多同學(xué)表示聽不懂，搞不清面對老師的講解，有些發(fā)懵。

其實(shí)，導(dǎo)數(shù)的分類討論還是有規(guī)律可循的。它主要分兩種情況：（1）是特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自帶無負(fù)性的光環(huán)，如，，這三種情況碰到含參數(shù)的問題，是極易出錯的。（2）是導(dǎo)數(shù)為二次型的，需要比較兩根的大小，開口方向，定義預(yù)設(shè)卡等等。

例如：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解題思路：首先確定函數(shù)的定義域（），求的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)大于零在R上恒成立，函數(shù)一定時單調(diào)遞增的，當(dāng)時，畫導(dǎo)數(shù)圖形的草圖，在（）單調(diào)遞增，在（）單調(diào)遞減，列出表格呈現(xiàn)出來，最后要綜上作答。

有一些題的解題方法差不多，此類問題主要包含以下幾種，， （限于函數(shù)本身的定義域），他們的分類討論主要集中在導(dǎo)數(shù)本身的特征是大于零的。

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題中的難點(diǎn)，即分類討論問題中的常用討論點(diǎn)：（1）導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如無零點(diǎn)，有不變號零點(diǎn)，有變號零點(diǎn)；（2）導(dǎo)數(shù)存在變號零點(diǎn)的情況下，應(yīng)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域的關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小，參數(shù)對符號判定的影響，如系數(shù)。

2.5 導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

（1）對于導(dǎo)數(shù)，很多人習(xí)慣上令，實(shí)際上，這種做法是不對的。應(yīng)該優(yōu)先判斷是否恒正或恒負(fù)，此時不需要令的。在確實(shí)有正有負(fù)的情況下，再令，這個思想對于含參數(shù)問題，還有定義域不是全體實(shí)數(shù)的問題，尤其重要。

例如：，，若恒成立，求m的取值范圍。

解題思路：首先根據(jù)題意≥，分離出m，即≥，只要求的最小值就可以了。此時令，求導(dǎo)得到，令，可以得出。列表，可以得到是減的，（）是增的，先減后增，最小值就可以得出，從而求得m的取值范圍為。

（2）在分析如何利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式時，首先采用構(gòu)造新函數(shù)思想，通過導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，最后得出不等關(guān)系；其次要注意對數(shù)函數(shù)lnx，它的導(dǎo)數(shù)是1/x，定義域是{x|x>0}，如果證明的不等式當(dāng)中含有l(wèi)nx，可以通過等價轉(zhuǎn)化，將lnx孤立出來，比如不等式當(dāng)中含有xlnx或lnx/x等，這種結(jié)構(gòu)求完導(dǎo)后，lnx依然存在，對后面的分析帶來麻煩，不如將和lnx乘（除）在一起的部分等價轉(zhuǎn)化掉，使lnx獨(dú)立出來，往往得到的新的不等式比較好證明。

例如：已知函數(shù)，求證，若 。

解題思路：將不等式移項得到 ，即只需證明此不等式在時成立即可。設(shè)，則在上恒成立。所以在上是增函數(shù)，的最小值在處取得。所以當(dāng)時，。所以時，，即原不等式成立。

3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

3.1 研究函數(shù)的極值

首先要明確極值和極值點(diǎn)的概念，清楚極值是個局部最值的意思，極值的定義是和導(dǎo)數(shù)無關(guān)的；在利用導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)極值，是因為一般研究的都是可導(dǎo)函數(shù)，對可導(dǎo)函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)的變號零點(diǎn)才是極值點(diǎn)產(chǎn)生的地方；需要注意極值解答題的書寫要規(guī)范，其中極值點(diǎn)是自變量的值，它是數(shù)，不是點(diǎn)；從函數(shù)來講，是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，為函數(shù)極值點(diǎn)的充要條件是為導(dǎo)數(shù)的變號零點(diǎn)。

3.2 研究閉區(qū)間上函數(shù)求最值問題

對于極值的屬性，需進(jìn)一步加以分析，不能盲目自大；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)求最值問題，若是單調(diào)性發(fā)生轉(zhuǎn)變太多，可以采用先求閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，以及使導(dǎo)數(shù)等于0點(diǎn)處的函數(shù)，比較出最值即可；若是函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)折次數(shù)不超過一次，最好還是采用單調(diào)性分析好一些。如函數(shù)先減再增，求閉區(qū)間上最大值問題（函數(shù)先增再減，求閉區(qū)間上最小值問題），可以采用作差比較法得出，不需要分很多類。需要說明的是給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，函數(shù)在開區(qū)間上雖然連續(xù)，但是不能保證有最大值和最小值；在閉區(qū)間上的每一點(diǎn)必須連續(xù)，即若在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，也不能保證函數(shù)有最大值或最小值。在求可導(dǎo)函數(shù)的最值時，不需對各導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)進(jìn)行討論其是最大值點(diǎn)還是最小值點(diǎn)，只需將導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。

函數(shù)的極值與最值是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值的關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的確定，特別是“變號零點(diǎn)”的確定，即“導(dǎo)函數(shù)定正負(fù)，變號零點(diǎn)找出路”，要關(guān)注如果導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不能求出時，如何“設(shè)而不求”；同時由于極值（最值）的定義，在含參問題分類討論時，需要注意極值（最值）問題的分類討論標(biāo)準(zhǔn)的變化，如極大值（極小值）之間大小的變化。綜上所述，在學(xué)習(xí)過程中，要靈活應(yīng)用上述方法。

4 結(jié)語

導(dǎo)數(shù)知識在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的位置，不僅起到承上啟下的作用，并且在高考中占有很大的分值。在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)重視導(dǎo)數(shù)部分的學(xué)習(xí)，注重總結(jié)歸納，找到有效的解題思路和學(xué)習(xí)方法。

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