畢明凱，何世偉，黎浩東，殷瑋川，景 云

(北京交通大學(xué) 城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

市郊鐵路一般是指站間距在1～5 km，運(yùn)行速度在120 km/h及以上，主要服務(wù)于城市郊區(qū)化和同城化發(fā)展趨勢(shì)的、具有公交化和通勤化特征的軌道交通線路，屬于城市軌道交通的一種形式[1]。市郊鐵路主要服務(wù)于通勤和旅游客流，是支撐都市圈、城市帶發(fā)展的基礎(chǔ)，也是疏解城市功能、促進(jìn)區(qū)域合作互動(dòng)的重要手段，必將推動(dòng)城市一體化發(fā)展，如京津冀一體化等。

作為市內(nèi)交通方式的有效延伸，乘客服務(wù)水平成為市郊鐵路運(yùn)營(yíng)組織中不可忽視的因素。制定合理有效的市郊鐵路停站方案，對(duì)滿足通勤族和旅客出行需求、提高服務(wù)水平有很大意義。同時(shí)，不同停站方案對(duì)小時(shí)通過能力的影響與列車運(yùn)行速度、停站次數(shù)、停站時(shí)間以及運(yùn)行方式等因素有關(guān)[2]。因此，采用快慢車搭配方式制定市郊鐵路停站方案是目前較普遍的方法。以日本東京至成田機(jī)場(chǎng)[3]為例，具體見表1。

表1 日本京成線6種快慢車組合運(yùn)營(yíng)模式

在停站方案研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了深入研究。文獻(xiàn)[4]考慮成本最小，構(gòu)建了跨站停站方案的線性整數(shù)優(yōu)化模型并求解。文獻(xiàn)[5]以乘客出行等待時(shí)間最小為目標(biāo)，基于客流OD和時(shí)間窗，構(gòu)建了列車停站方案的非線性整數(shù)優(yōu)化模型并求解。文獻(xiàn)[6]基于節(jié)點(diǎn)服務(wù)頻率構(gòu)建了高速鐵路列車停站方案優(yōu)化模型并求解。文獻(xiàn)[7]研究分析了旅客出行需求變化和列車消耗費(fèi)用對(duì)運(yùn)營(yíng)效率的影響。文獻(xiàn)[8]以最小列車牽引能耗和最短旅行時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)，建立了停站方案優(yōu)化模型，發(fā)現(xiàn)中間站停站次數(shù)最多為3次。文獻(xiàn)[9]構(gòu)建了旅客列車停站設(shè)置方案優(yōu)化雙層規(guī)劃模型，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后列車平均?？?.68站。文獻(xiàn)[10]建立了基于列車停站率的高速鐵路旅客列車停站方案優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)啟發(fā)式算法求解。

相較于鐵路干線客運(yùn)，市郊鐵路客流量較小但日波動(dòng)性大，開行的列車對(duì)數(shù)和班次較少，停站距離較大，未按公交特點(diǎn)組織，且沒有形成市郊客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)[11]。而已有的研究主要以國(guó)鐵為研究對(duì)象，以列車服務(wù)頻率和站點(diǎn)上下車總量作為乘客出行需求進(jìn)行研究，缺乏對(duì)實(shí)際客流OD的研究，使得市郊鐵路照搬其停站方案時(shí)與實(shí)際偏差較大，不具有實(shí)用性。為提高優(yōu)化結(jié)果的實(shí)用性，借鑒相關(guān)研究理論，結(jié)合市郊鐵路客流OD波動(dòng)大的特點(diǎn)，本文將客流OD看作隨機(jī)變量，構(gòu)建包含隨機(jī)機(jī)會(huì)約束的市郊鐵路停站方案優(yōu)化模型，并將隨機(jī)機(jī)會(huì)和非線性約束等價(jià)變換為確定的線性約束，采用ILOG CPLEX軟件[12]進(jìn)行求解。

1 市郊鐵路客流特點(diǎn)分析

旅客根據(jù)出行需要，按照自己的支付能力，選擇一定的運(yùn)輸方式，并在一定時(shí)間和空間范圍內(nèi)做有目的的移動(dòng)，便形成客流[13]。

相較于國(guó)鐵客流，市郊鐵路客流多樣性水平較低，主要分為兩部分：一是通勤客流；二是往返郊區(qū)旅游景點(diǎn)的游客。市郊鐵路客流性質(zhì)決定了其需求具有時(shí)空不均衡性。從時(shí)間上看，市郊鐵路客流呈現(xiàn)工作日和非工作日差距明顯。以北京S2線2016年周客流情況為例，相較于正常工作日日均發(fā)送旅客969人，周末日均發(fā)送旅客1 755人，增加81.12%；法定假日日均發(fā)送旅客2 382人，增加145.88%。

以工作日和非工作日為例，S2線為滿足客流需求，采取分時(shí)段列車開行方案，包含基本開行方案和臨時(shí)開行方案兩部分，如圖1所示。由于工作日以通勤客流為主，而非工作日雖通勤客流減少，但增添了大量的旅游客流，因此工作日增開4對(duì)列車，而非工作日需增開7對(duì)列車。

圖1 北京S2線2016年列車開行情況

從空間上看，市郊鐵路客流呈現(xiàn)區(qū)間客流密度不均衡、客流集中度過高等特點(diǎn)。同樣以北京S2線為例，受主要旅游景點(diǎn)吸引，清華園—清河、南口—八達(dá)嶺、八達(dá)嶺—延慶等區(qū)段上下行客流分布密集。另外，從2016年的售票情況看，北京北—八達(dá)嶺區(qū)段下行客流占79.7%，上行客流占77.9%，其余區(qū)段客流量極少。

客流量和流向既是基于個(gè)人旅行活動(dòng)的需要而自然形成的，又受一系列社會(huì)因素的影響，其波動(dòng)性較大。因此，基于市郊鐵路客流特性，確定適應(yīng)客流波動(dòng)的市郊列車停站方案對(duì)提升運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量和運(yùn)輸能力具有重要意義。

2 市郊鐵路列車停站方案優(yōu)化模型

2.1 問題描述

鐵路運(yùn)輸與城市軌道交通分別屬于中國(guó)鐵路總公司和城市交通管理部門的管轄范圍，然而，市郊鐵路作為城市軌道交通的延伸，卻一直按照鐵路相關(guān)經(jīng)驗(yàn)與模式來服務(wù)市郊客流，使其發(fā)展長(zhǎng)期處于一種“兩不管”的境地，尤其在列車開行組織方面。針對(duì)客流量波動(dòng)(即高峰與非高峰時(shí)期)，市郊鐵路照搬國(guó)鐵春運(yùn)和非春運(yùn)時(shí)期經(jīng)驗(yàn)，采取的分時(shí)段列車停站方案如圖1所示。但從停站方案穩(wěn)定性和長(zhǎng)遠(yuǎn)性來看，國(guó)鐵變動(dòng)較小而市郊鐵路停站方案卻平均每季度均會(huì)發(fā)生變動(dòng)，例如北京S2線被人們形象地稱為“難以捉摸的小火車”。這主要是由于相較鐵路干線客運(yùn)，市郊鐵路主要服務(wù)于市郊客流，日波動(dòng)性和季節(jié)波動(dòng)性遠(yuǎn)大得多，導(dǎo)致分時(shí)段停站方案在執(zhí)行中暴露出很多問題。例如一周內(nèi)非高峰時(shí)期列車上座率不足、線路能力浪費(fèi)，高峰時(shí)期運(yùn)力供不應(yīng)求、乘客服務(wù)水平和舒適度降低，進(jìn)而造成客流減少的不良后果，如圖2所示。因此，結(jié)合市郊鐵路客流分析，在工作日和非工作日時(shí)段，確定合理的列車停站方案對(duì)提高客運(yùn)服務(wù)水平和促進(jìn)運(yùn)輸資源合理配置有重要影響。

時(shí)間圖2 北京S2線2016年某周客流量

在不確定OD客流的問題上，借鑒隨機(jī)機(jī)會(huì)規(guī)劃的相關(guān)理論[14]，考慮機(jī)會(huì)約束規(guī)劃在階段計(jì)劃[15]、集裝箱調(diào)運(yùn)[16]、選址問題[17]、票額分配[18]等各運(yùn)輸問題中得到廣泛應(yīng)用，其研究理論與成果成熟，因此采用隨機(jī)機(jī)會(huì)約束對(duì)客流隨機(jī)性進(jìn)行刻畫。

需要說明的是，由于難以度量某一站點(diǎn)乘坐某一列車的實(shí)際人數(shù)，此處借鑒文獻(xiàn)[6]的站點(diǎn)服務(wù)頻率思想，即對(duì)于某個(gè)車站，其全天的停站次數(shù)(含始發(fā))不得低于節(jié)點(diǎn)等級(jí)對(duì)服務(wù)頻率的要求。因此，需先進(jìn)行節(jié)點(diǎn)服務(wù)劃分(將車站根據(jù)定性(地理位置、行政地位、交通區(qū)位等)和定量(客流量、GDP、城市人口等)兩個(gè)方面的屬性劃分為不同等級(jí)的節(jié)點(diǎn)，并根據(jù)不同等級(jí)的節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)列車服務(wù)頻率。然后，根據(jù)車站服務(wù)頻率和該站OD客流出行需求確定平均每列車上車乘客數(shù)，為下文構(gòu)建數(shù)學(xué)優(yōu)化模型奠定基礎(chǔ)。

2.2 模型假設(shè)及相關(guān)符號(hào)

為簡(jiǎn)化模型與計(jì)算，基于上文分析后假設(shè)決策周期內(nèi)：旅客列車運(yùn)行區(qū)段和客運(yùn)站點(diǎn)數(shù)量不變；客運(yùn)站點(diǎn)工作日和非工作日客流量變化為正態(tài)分布。

設(shè)列車站點(diǎn)集合為S，以j，k，l和m為索引；市郊列車集合為N，以i為索引；列車i的定員數(shù)和平均運(yùn)行速度為Capi和vi；列車i在車站j的平均停站時(shí)間為wij；站點(diǎn)j到k的運(yùn)輸距離和最小服務(wù)頻率分別為djk和rjk；站點(diǎn)j到k的客流量Qjk，且Qjk～N(μjk，σjk)，其中μjk和σjk為周期內(nèi)客流量正態(tài)變化的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差；列車起停附加時(shí)間分別為p和q；乘客出行需求被滿足的置信水平為α。

設(shè)xij為0-1決策變量，若列車i在車站j停車，xij=1；若不停車，則xij=0。設(shè)yijk為0-1決策變量，若列車i在車站j和車站k均停車，yijk=1；若不停車，則yijk=0。

2.3 模型構(gòu)建

(1)目標(biāo)函數(shù)。在滿足旅客出行需求的前提下，最大限度縮短乘客旅行時(shí)間。從整體效益來看，旅客列車是乘客位移的載體，乘客旅行時(shí)間最短可以等價(jià)為列車旅行時(shí)間和列車停站時(shí)間最少，如式(1)所示，主要包括列車旅行時(shí)間、列車停站時(shí)間wij，起停附加時(shí)間p和q。式(1)前半部分為列車總旅行時(shí)間，后半部分為列車總停站時(shí)間以及因停站產(chǎn)生的起停車附加時(shí)間。

(1)

Pr{ujk·rjk≥Qjk}≥α?j，k∈Sk>j

(2)

vijk=ujk·yijk?i∈Nj，k∈Sk>j

(3)

(4)

(3)列車運(yùn)輸能力約束。列車在?？空緯r(shí)，在車乘客數(shù)量會(huì)發(fā)生變化，如式(5)所示，即j站上車與通過的乘客數(shù)量之和；但列車在運(yùn)行期間(或從?？空景l(fā)出后)，其在車乘客量保持固定不變，且不超過其額定載客容量，如式(6)所示。

?i∈Nj∈S

(5)

Pij≤Capi?i∈Nj∈S

(6)

(4)列車直達(dá)性約束，即yijk與xij關(guān)系約束。根據(jù)yijk和xij兩個(gè)決策變量的定義可得約束式(7)。

yijk=xij·xik?i∈Nj，k∈Sk>j

(7)

(5)站點(diǎn)OD客流出行換乘約束，即任一站點(diǎn)乘客可以直接或者通過換乘間接到達(dá)所有站點(diǎn)。換乘與停站方案聯(lián)系緊密且相互影響，采取停站方案中任意相鄰兩站間必有列車停站，形成換乘接續(xù)關(guān)系以滿足出行需求，避免產(chǎn)生旅客出行迂回現(xiàn)象。

?j∈S

(8)

(6)決策變量約束。

xij={0，1}，yijk={0，1} ?i∈Nj，k∈S

(9)

2.4 隨機(jī)機(jī)會(huì)約束及非線性約束處理

(1)隨機(jī)機(jī)會(huì)約束

對(duì)于隨機(jī)機(jī)會(huì)約束的處理，一般是將隨機(jī)機(jī)會(huì)約束通過等價(jià)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的確定性約束。假設(shè)客流量呈正態(tài)分布，可將式(2)正態(tài)等價(jià)轉(zhuǎn)換。

Pr{ujk·rjk≥Qjk}=1-F(ujk·rjk)=

(10)

式中：F(x)為概率分布函數(shù)；Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。將式(10)中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)取反函數(shù)并展開有

?j，k∈Sk>j

(11)

式(11)為確定性約束，且與式(2)等價(jià)，從而得到市郊列車停站方案確定型優(yōu)化模型(M1)：目標(biāo)函數(shù)為式(1)，約束為式(3)～式(9)和式(11)。

(2)非線性約束式

式(3)和式(7)為非線性約束，需要對(duì)非線性約束進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。對(duì)于式(3)，若yijk=1，即vijk=ujk；若yijk=0，則vijk=0。設(shè)一個(gè)足夠大的正整數(shù)M，可得

0≤vijk≤ujk?i∈Nj，k∈Sk>j

(12)

vijk≤M·yijk?i∈Nj，k∈Sk>j

(13)

vijk≥ujk-M·(1-yijk)

?i∈Nj，k∈Sk>j

(14)

同理，可將式(7)等價(jià)轉(zhuǎn)化為

yijk≤xij?i∈Nj，k∈Sk>j

(15)

yijk≤xik?i∈Nj，k∈Sk>j

(16)

yijk≥xij+xik-1 ?i∈Nj，k∈Sk>j

(17)

得到市郊鐵路停站方案確定型線性優(yōu)化模型(M2)，包括目標(biāo)函數(shù)式(1)，約束式(4)～式(6)、式(8)、式(9)和式(11)～式(17)。

3 算例分析

以某市的一條主要用于通勤和旅游的市郊鐵路線為例，如圖3所示?，F(xiàn)有9個(gè)站點(diǎn)，開行運(yùn)營(yíng)速度為120和160 km/h兩種市郊客運(yùn)產(chǎn)品10列，站點(diǎn)和列車屬性見表2～表4。其中表2的數(shù)據(jù)為某一周各日客流量處理后的OD數(shù)據(jù)。列車的起停車附加時(shí)間分別為1和2 min。

圖3 市郊線路示意圖

站點(diǎn)12345678910(155,10)/1(285,15)/2(105,5)/10(222,10)/1(97,5)/1(121,10)/1(27,5)/12—0(313,10)/2(83,10)/1(130,13)/1(90,5)/1(197,20)/1(80,10)/1(40,10)/13——0(350,20)/2(65,5)/10(86,10)/1(312,15)/204———0(188,5)/10(220,15)/10(69,10)/15————0(153,20)/1(188,10)/1(322,20)/2(45,10)/16—————0(155,5)/1(239,10)/107——————0(160,15)/1(126,15)/18———————0(255,20)/29————————0

表3 不同運(yùn)營(yíng)速度客運(yùn)產(chǎn)品的載客量和開行數(shù)量

表4 不同運(yùn)用速度客運(yùn)產(chǎn)品的停站時(shí)間

結(jié)合以上數(shù)據(jù)，取客流量的置信水平α為0.90進(jìn)行計(jì)算，查表知Φ(0.90)=1.281 5，按式(11)計(jì)算得到表5。

表5 站點(diǎn)間隨機(jī)機(jī)會(huì)客流OD矩陣 人

將以上數(shù)據(jù)代入M2中，并運(yùn)用ILOG CPLEX軟件進(jìn)行求解，結(jié)果見表6。

表6 算法求解結(jié)果

優(yōu)化停站方案中，共用5列客運(yùn)列車完成滿足運(yùn)輸需求，運(yùn)行總耗時(shí)為413.75 min。將5列車的停站優(yōu)化方案繪制成停站圖，如圖4所示，圖4中列車1、2和3為運(yùn)營(yíng)速度160 km/h的旅客列車，列車4和5為運(yùn)營(yíng)速度120 km/h的旅客列車。

圖4 快慢車搭配開行模式停站方案優(yōu)化圖

由圖4可知，列車平均停站3.8站，平均跨行2.6站。為更好地凸顯快慢搭配開行模式對(duì)優(yōu)化市郊鐵路停站方案、減少乘客出行總時(shí)間的顯著作用，在保證所有OD客流出行需求滿足的前提下，分別計(jì)算只開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品和增大開行運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品比例兩種情況下的市郊鐵路停站方案，并進(jìn)行對(duì)比分析，以驗(yàn)證模型和算法的有效性。

(1)單一開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品

在約束條件不變情況下，將客運(yùn)產(chǎn)品全部設(shè)為運(yùn)營(yíng)速度120 km/h的旅客列車，運(yùn)用CPLEX軟件求得：需開行7列運(yùn)營(yíng)速度120 km/h的旅客列車，運(yùn)行總耗時(shí)為500.50 min，具體停站方案如表7和圖5所示。

表7 單一開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的停站優(yōu)化方案

圖5 單一開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的停站方案優(yōu)化圖

單一開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品平均停站3.5站，平均跨行2.8站。相比快慢車搭配開行模式，總運(yùn)行時(shí)間增加86.75 min，說明適當(dāng)開行運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品對(duì)減少旅客列車運(yùn)行耗時(shí)效果明顯，減少約17%。因此，在單一開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的基礎(chǔ)上，適當(dāng)開行運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品是提高市郊鐵路服務(wù)水平和乘客舒適度的重要手段之一。

(2)運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的開行比例為0.6

在約束條件不變情況下，提高運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品開行比例至0.6，即將10列旅客列車的品類設(shè)為6列運(yùn)營(yíng)速度160 km/h和4列運(yùn)營(yíng)速度120 km/h旅客列車，運(yùn)用CPLEX軟件計(jì)算求得：僅開行6列運(yùn)營(yíng)速度160 km/h列車即可完成全部運(yùn)輸任務(wù)。具體停站方案如表8和圖6所示。

表8 運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的開行比例為0.6時(shí)停站優(yōu)化方案

圖6 運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的開行比例為0.6時(shí)停站方案優(yōu)化圖

圖6停站方案中運(yùn)行總耗時(shí)為387.13 min，平均停站3.8站，平均跨行2.2站。相比快慢車搭配開行模式和單一開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品，總運(yùn)行時(shí)間分別降低26.63和113.38 min，降低比例達(dá)29%，達(dá)到了優(yōu)化效果。

隨著運(yùn)營(yíng)速度160 km/h列車開行數(shù)量增加，乘客出行時(shí)間大幅度下降，提高了市郊鐵路服務(wù)水平；同時(shí)，對(duì)3種停站方案的列車平均停站數(shù)量、平均跨站數(shù)量以及對(duì)線路能力的利用情況進(jìn)行匯總，見表9。其中，線路能力利用情況以平均區(qū)段列車數(shù)量表示。

表9 客運(yùn)產(chǎn)品不同開行比例下停站方案指標(biāo)對(duì)比

由于運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品載客量小于120 km/h列車，使得運(yùn)營(yíng)速度160 km/h列車在停站數(shù)量方面略大于120 km/h列車，但平均停站比例相差僅在5%以內(nèi)，同時(shí)跨站數(shù)量也僅相差0.2站，說明快慢車搭配開行模式有利于提高列車直達(dá)率，提升服務(wù)水平和乘客舒適度，擴(kuò)大運(yùn)輸市場(chǎng)占比。

另外，基于OD客流優(yōu)化分析市郊鐵路停站方案，快慢車搭配開行模式中各區(qū)段平均減少開行約1.35列，降低了區(qū)段線路能力占用，對(duì)節(jié)約線路能力有一定的積極作用。同時(shí)，結(jié)合圖4可以發(fā)現(xiàn)，算例中站點(diǎn)1和8接發(fā)車數(shù)量較大，需要布設(shè)足夠的到發(fā)線以滿足需求；站點(diǎn)2、3、4、5和6間線路單向開行4列旅客列車，為相對(duì)繁忙區(qū)段，可以考慮建設(shè)復(fù)線和電氣化建設(shè)等，為車站和線路等基礎(chǔ)配套設(shè)施的建設(shè)也提供相應(yīng)的參考。

4 結(jié)束語

在我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十三個(gè)五年規(guī)劃綱要中，市郊鐵路將是城市交通發(fā)展的重點(diǎn)之一，也是城市化進(jìn)程中必不可少的環(huán)節(jié)。作為一種重要的城市軌道交通客運(yùn)產(chǎn)品，滿足乘客出行需求是市郊鐵路不變的核心任務(wù)。采取快慢車搭配形式，借鑒隨機(jī)規(guī)劃理論對(duì)市郊鐵路停站方案進(jìn)行優(yōu)化，構(gòu)建基于站點(diǎn)OD客流的包含機(jī)會(huì)約束的市郊鐵路停站方案優(yōu)化模型。設(shè)計(jì)算例得到：優(yōu)化后的停站方案中列車平均停站3.8站，平均跨站2.6站，乘客出行總耗時(shí)為413.75 min。相較于僅開行運(yùn)營(yíng)速度120 km/h客運(yùn)產(chǎn)品的情況，提高運(yùn)營(yíng)速度160 km/h客運(yùn)產(chǎn)品開行比例，目標(biāo)函數(shù)值減少27.00 min(約6%)，總運(yùn)行時(shí)間分別降低26.63和113.38 min，降低比例達(dá)29%，達(dá)到了優(yōu)化效果，有效降低了乘客總出行時(shí)間，驗(yàn)證了模型和算法有效性，提升了市郊鐵路乘客出行服務(wù)水平。另外，優(yōu)化后的停站方案平均各區(qū)段減少開行1.35列列車，降低了線路能力占用，對(duì)站點(diǎn)和線路基礎(chǔ)設(shè)施布設(shè)和開行方案制定提供了參考。