鄒 紅，盧朝輝，余志武

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

截至2017年底，我國(guó)高速鐵路運(yùn)營(yíng)里程突破2.5萬(wàn)km。為了踐行工后“零沉降”建設(shè)理念，一般在土質(zhì)不良地段采用以橋代路的方法控制工后沉降，其中CRTSⅡ型無(wú)砟軌道簡(jiǎn)支箱梁結(jié)構(gòu)體系占整個(gè)線路橋梁的近50%[1]。

簡(jiǎn)支箱梁上CRTSⅡ型無(wú)砟軌道板起著傳遞、分散外界荷載的作用。文獻(xiàn)[2]要求橋上無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使用年限為60年，這就要求60年內(nèi)軌道板結(jié)構(gòu)有完成預(yù)定功能(耐久性、安全性、適用性)的能力，軌道板安全承載力失效將嚴(yán)重影響鐵路的正常運(yùn)輸及高速列車(chē)的運(yùn)行安全。文獻(xiàn)[3]采用3種無(wú)砟軌道列車(chē)荷載彎矩計(jì)算模型，分別計(jì)算了列車(chē)荷載作用下軌道板橫向最大正、負(fù)彎矩值，從計(jì)算精度和簡(jiǎn)便性等方面對(duì)比3種模型計(jì)算列車(chē)荷載彎矩的優(yōu)劣，推薦將彈性地基梁-板模型作為無(wú)砟軌道列車(chē)荷載彎矩計(jì)算模型。文獻(xiàn)[4]采用Westgaard公式分析軌道板在正、負(fù)溫度梯度作用下的彎矩。

在施工建設(shè)期以及運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，CRTSⅡ型軌道板承載能力會(huì)受到材料自身強(qiáng)度、列車(chē)荷載以及環(huán)境作用等隨機(jī)不確定性的影響。文獻(xiàn)[5]規(guī)定了軌道結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)年限內(nèi)安全性、適用性等應(yīng)當(dāng)具備的可靠度水準(zhǔn)。文獻(xiàn)[6]考慮列車(chē)荷載與環(huán)境荷載隨機(jī)不確定性條件，提出基于FORM法的CRTSⅡ型軌道板橫向抗裂可靠度分析方法。文獻(xiàn)[7]考慮列車(chē)豎向輪軌力、地基系數(shù)等隨機(jī)不確定性條件，提出基于蒙特卡洛直接抽樣法的CRTSⅡ型軌道板橫、縱向抗裂可靠度分析方法。通過(guò)FORM法、蒙特卡洛直接抽樣法進(jìn)行軌道結(jié)構(gòu)可靠度分析分別存在反復(fù)迭代確定驗(yàn)算點(diǎn)[8]、計(jì)算量大等不足，因此選擇一種計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)便、計(jì)算結(jié)果精度滿足要求的軌道板結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法便顯得尤為重要。

鑒于此，本文發(fā)展軌道結(jié)構(gòu)可靠度分析的四階矩方法。借助單聯(lián)寬軌枕模型發(fā)展了考慮荷載與環(huán)境共同作用的CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力抗力時(shí)變模型，結(jié)合列車(chē)荷載橫向彎矩與溫度翹曲彎矩，建立簡(jiǎn)支箱梁上CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力的極限狀態(tài)函數(shù)；假定軌道板結(jié)構(gòu)處于3種抗力衰減服役環(huán)境中，分別用7點(diǎn)估計(jì)一維減維法求解函數(shù)的前四階矩，采用四階矩可靠度公式求出可靠度指標(biāo)及相應(yīng)失效概率。

1 列車(chē)荷載與溫度作用下軌道板橫向抗彎承載力時(shí)變極限狀態(tài)函數(shù)

文獻(xiàn)[9]認(rèn)為，考慮抗力衰減的工程結(jié)構(gòu)抗彎承載力可靠度分析中，極限狀態(tài)函數(shù)(功能函數(shù))可表述為

Z(t)=r(t)MR0-MS

(1)

式中：MR0為軌道板橫向抗彎初始承載力；t為軌道結(jié)構(gòu)服役時(shí)間；r(t)為抗力衰減函數(shù)；MS為外界荷載作用彎矩，包括列車(chē)荷載橫向彎矩Mv和環(huán)境作用彎矩Mw。

1.1 軌道板橫向抗彎承載力時(shí)變抗力計(jì)算

整個(gè)軌道結(jié)構(gòu)服役期間，受到各種抗力衰減因素(結(jié)構(gòu)疲勞累積損傷、鹽霧侵蝕、混凝土碳化等)[1]的影響，軌道板承載力呈下降趨勢(shì)。

文獻(xiàn)[10]認(rèn)為，抗力衰減因素本身就是隨著時(shí)間變化的隨機(jī)過(guò)程，較難定量描述，并且各因素之間還可能存在復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系，因此結(jié)構(gòu)抗力隨著時(shí)間的變化是復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)抗力隨時(shí)間的變化是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，為了計(jì)算上的簡(jiǎn)化和實(shí)用性，可將非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)化，即將時(shí)變抗力r(t)MR0表示為

r(t)MR0=MR0(X1，t)=(1-k1t+k2t2)MR0

(2)

式中：X1=[x1x2…xn1]T，x1，x2，…，xn1分別為r(t)MR0中隨機(jī)變量參數(shù)(t除外)，n1為r(t)MR0中變量個(gè)數(shù)；k1、k2為系數(shù)。

文獻(xiàn)[11]在單聯(lián)軌枕基礎(chǔ)上，充分考慮橫向預(yù)應(yīng)力筋以及普通鋼筋的受力情況，建立受力平衡方程，結(jié)合文獻(xiàn)[12]得出軌道板橫向抗彎初始承載力計(jì)算式為

(3)

假定軌道結(jié)構(gòu)處于不同的服役環(huán)境中，抗力衰減因素對(duì)軌道板作用強(qiáng)度不同。文獻(xiàn)[13]基于工程結(jié)構(gòu)的3種不同服役環(huán)境，提出3種抗力退化速率，即低速退化、中等退化以及嚴(yán)重退化，分別對(duì)應(yīng)式(2)中k1、k2的不同取值。

1.2 列車(chē)荷載作用下軌道結(jié)構(gòu)橫向彎矩分析模型

文獻(xiàn)[14]認(rèn)為，由于無(wú)砟軌道各結(jié)構(gòu)層在厚度方向的尺寸遠(yuǎn)小于橫、縱方向的尺寸，且荷載作用下的撓度遠(yuǎn)小于其厚度，故將其視為梁-板結(jié)構(gòu)體系，如圖1所示。

圖1 軌道結(jié)構(gòu)體系受力

鑒于此，在建立有限元分析模型時(shí)，扣件采用三向彈簧模擬[15]；CA砂漿層采用豎向彈簧模擬，其剛度按照串聯(lián)關(guān)系計(jì)算得到[16]；下部基礎(chǔ)采用Winkler彈性地基模型模擬；橋面支撐簡(jiǎn)化為豎向彈簧，彈簧剛度等于橋梁上地基系數(shù)除以離散彈簧個(gè)數(shù)；用ANSYS軟件分析Mv時(shí)，把列車(chē)豎向輪軌力P等看成隨機(jī)變量，即

Mv=Mv(X2)=Mv(P，…)

(4)

式中：X2=[xn1+1xn1+2…xn1+n2]T，xn1+1，xn1+2，…，xn1+n2分別為Mv中隨機(jī)變量；n2為Mv中變量個(gè)數(shù)。

1.3 溫度作用下軌道結(jié)構(gòu)的橫向彎矩計(jì)算模型

軌道結(jié)構(gòu)在運(yùn)營(yíng)期內(nèi)，會(huì)受到溫度梯度荷載作用，文獻(xiàn)[6]基于Westgaard公式將溫度梯度翹曲彎矩簡(jiǎn)化為

Mw=Mw(X3)=KtT

(5)

式中：X3=[xn1+n2+1xn1+n2+2…xn1+n2+n3]T，xn1+n2+1，xn1+n2+2，…，xn1+n2+n3分別為Mw中隨機(jī)變量；n3為Mw中變量個(gè)數(shù)；T為溫度梯度；Kt為溫度彎矩系數(shù)。

將式(2)～式(5)代入式(1)可以得到軌道板t時(shí)刻橫向抗彎極限狀態(tài)函數(shù)為

(6)

2 軌道板橫向抗彎承載力可靠度分析的四階矩方法

2.1 點(diǎn)估計(jì)計(jì)算功能函數(shù)前四階矩的基本思想

對(duì)于功能函數(shù)G(X)，可以采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間上的m點(diǎn)估計(jì)函數(shù)的前四階矩

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Gμ=G(μ)

(12)

Gi=G[μ1，μ2，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn]

(13)

式中：μ=[μ1μ2…μn]T，μ1，μ2，…，μn為隨機(jī)變量均值；ui(i=1，2，…，n)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間隨機(jī)變量；Gi為僅含有參數(shù)ui的單變量函數(shù)。

G(X)前四階矩可表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：uik(k=1，…，m；i=1，2，…，n)是ui的第k個(gè)估計(jì)點(diǎn)；T-1(uik)是第i個(gè)隨機(jī)變量的第k個(gè)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值；pk是相應(yīng)的權(quán)重。若采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的7點(diǎn)估計(jì)，其估計(jì)點(diǎn)值uik及權(quán)重pk[18]為

(22)

2.2 軌道板橫向抗彎承載力時(shí)變功能函數(shù)的前四階矩計(jì)算

根據(jù)式(13)有

(23)

Gμ=MR0(μ1，…，μn1，t)-Mv(μn1+1，…，μn1+n2)-

Mw(μn1+n2+1，…，μn1+n2+n3)

(24)

式中：T-1(ui)為式(6)中隨機(jī)變量xi的逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值；μ1，μ2，…，μi-1，μi+1，…，μn1+n2+n3分別為式(6)中所有隨機(jī)變量(不含第i個(gè))的均值；MR0(μ1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn1，t)為當(dāng)xi取逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值(1≤i≤n1)，其余變量取均值時(shí)式(2)的值；Mv(μn1+1，…，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn1+n2)為當(dāng)xi變量取逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值(n1

基于梁-板有限元模型利用ANSYS軟件分析Mv(μn1+1，μi-1，T-1(ui)，μi+1，…，μn1+n2)時(shí)，考慮到軌道板間受力、變形的對(duì)稱性，取一塊軌道板對(duì)其進(jìn)行受力分析，梁-板有限元模型如圖2所示(紅色箭頭表示列車(chē)豎向輪軌力)：其中3個(gè)方向的扣件剛度分配值如圖3所示，其計(jì)算結(jié)果可以用etable，mx，smisc，4命令提取。

圖2 梁-板有限元分析模型

圖3 軌道板細(xì)部A(單位：mm)

2.3 四階矩可靠度指標(biāo)及失效概率計(jì)算

得到功能函數(shù)的前四階矩后，采用式(25)和式(26)可以計(jì)算四階矩可靠度指標(biāo)及失效概率[19]

(25)

Pf=Φ(-β4M)

(26)

式中

(27)

為了保證l2存在，根號(hào)內(nèi)的數(shù)必須為正值，因而必須滿足

(28)

3 算例

參考原鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司設(shè)計(jì)的時(shí)速250 km的客運(yùn)專線CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道軌道板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖[20]，如圖4所示。整塊軌道板長(zhǎng)為6 450 mm，厚度為200 mm，寬度為2 550 mm；每一塊軌道板之間用直徑20 mm的螺紋鋼連接[21]；混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C55；橫、縱鋼筋交叉口采用絕緣設(shè)計(jì)；每塊軌道板由10塊單聯(lián)軌枕組成；單聯(lián)軌枕上、下層分別設(shè)置4根HRB500級(jí)鋼筋；形心偏下10 mm處設(shè)置6根φ10預(yù)應(yīng)力鋼筋。

圖4 CRTSⅡ型軌道板俯視圖(單位：mm)

3.1 隨機(jī)變量的7點(diǎn)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值

根據(jù)表1隨機(jī)變量的分布特征， 用式(22)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的7點(diǎn)估計(jì)值求解每個(gè)隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)T-1(uim)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換之后的7點(diǎn)估計(jì)值，見(jiàn)表3。

表1 隨機(jī)變量分布特征

表2 常量取值

表3 隨機(jī)變量7點(diǎn)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值

利用2.2節(jié)建立的軌道結(jié)構(gòu)體系梁-板有限元模型，分析Mv(X2)時(shí)用到的相關(guān)參數(shù)，見(jiàn)表4。

表4 梁-板有限元模型參數(shù)取值

在ANSYS軟件中，先將列車(chē)荷載x7取表4中7點(diǎn)估計(jì)值，x8、x9、x10取表1中均值，Mv(T-1(u7m)，μ8，μ9，μ10)的7個(gè)值；同理分別得到Mv(μ7，T-1(u8m)，μ9，μ10)、Mv(μ7，μ8，T-1(u9m)，μ10)、Mv(μ7，μ8，μ9，T-1(u10m))的7個(gè)值，見(jiàn)表5。

表5 Mv(x7，x8，x9，x10)的7點(diǎn)有限元解 N·m

當(dāng)x7、x8、x9、x10全部取表1中均值時(shí)，Mv(μ7，μ8，μ9，μ10)=11 156 N·m。

3.2 軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)可靠度計(jì)算

3.2.1不同服役環(huán)境中軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)單變量參數(shù)函數(shù)前四階矩的計(jì)算

對(duì)于初始狀態(tài)，即t=0時(shí)，不同退化環(huán)境下功能函數(shù)相同：將表1中xi均值、表2常數(shù)項(xiàng)、Mv(μ7，μ8，μ9，μ10)、Mw(μ11，μ12)代入式(24)得Gμ=66 395 N·m；將G1、表2中x1的7個(gè)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值、表2常數(shù)項(xiàng)、Mv(μ7，μ8，μ9，μ10)、Mw(μ11，μ12)、式(22)相應(yīng)權(quán)重全部代入式(18)～式(21)可計(jì)算得到G1的前四階矩分別為：66 395、0、0、0 N·m。

同理可得到Gi(i=2，…，3，…，12)的前四階矩，見(jiàn)表6。

表6 軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)單變量參數(shù)函數(shù)Gi前四階矩

3.2.2軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)功能函數(shù)前四階矩及可靠度計(jì)算

將Gμ、表6中的Gi(i=1，2，…，12)均值代入式(14)，得到μG=66 171 N·m；

將表5中Gi標(biāo)準(zhǔn)差代入式(15)，得到σG=12 862 N·m；

將表5中Gi標(biāo)準(zhǔn)差、偏度代入式(16)，得到α3G=-0.121；

將表5中Gi標(biāo)準(zhǔn)差、峰度代入式(17)，得到α4G=2.826。

利用ANSYS軟件PDS模塊技術(shù)，取t=0，采用蒙特卡洛直接抽樣法對(duì)式(6)計(jì)算2萬(wàn)次，利用Excel對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)功能函數(shù)前四階矩的變化過(guò)程，如圖5所示。

用蒙特卡洛有限元法統(tǒng)計(jì)分析四階矩時(shí)，抽樣次數(shù)越多結(jié)果越精確，但耗時(shí)會(huì)增加，不便于應(yīng)用。從抽取的結(jié)果來(lái)看，前1萬(wàn)次，前四階矩值波動(dòng)比較明顯，超過(guò)1萬(wàn)次后均比較穩(wěn)定，在1.5萬(wàn)次時(shí)趨于平穩(wěn)，因此，考慮到計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度的平衡，把抽樣次數(shù)設(shè)定為2萬(wàn)次。

(a)均值

(b)標(biāo)準(zhǔn)差

(c)偏度

(d)峰度圖5 軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)功能函數(shù)前四階矩變化趨勢(shì)

通過(guò)式(14)～式(17)以及蒙特卡洛有限元法確定的式(16)的前四階矩均滿足式(28)，所以可利用式(25)、式(26)計(jì)算功能函數(shù)四階矩可靠度指標(biāo)及相應(yīng)的失效概率，結(jié)果見(jiàn)表7。μG、σG、α3G、α4G的相對(duì)誤差依次為0.080%、1.889%、5.785%和0.667%，3種退化工況下β4M的誤差均為1.883%。

表7 軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)功能函數(shù)前四階矩及其可靠度指標(biāo)

從表7可以看出，基于7點(diǎn)估計(jì)一維減維求解的功能函數(shù)前四階矩與蒙特卡洛隨機(jī)有限元法求解的前四階矩較接近，誤差最大的峰度值也在6%以內(nèi)，可靠度結(jié)果大體接近，表明7點(diǎn)估計(jì)一維減維求矩的方法在減少計(jì)算次數(shù)的同時(shí)能夠保持足夠的精度。

3.3 軌道板結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度分析

用蒙特卡洛有限元方法驗(yàn)證了7點(diǎn)估計(jì)一維減維法求解軌道板結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)功能函數(shù)(t=0)前四階矩的正確性之后，對(duì)于某一時(shí)刻t(t=1，2，…，60)，可以直接采取7點(diǎn)估計(jì)一維減維方法求Z(t)前四階矩，分別代入式(25)、式(26)得到軌道板橫向抗彎承載力在3種抗力衰減環(huán)境中的四階矩可靠度指標(biāo)，如圖6所示。

圖6 軌道板結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度變化曲線

從圖6可以看出，在抗力低速退化情況下，結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)變化較?。粡慕Y(jié)構(gòu)投入使用的5.89下降到60年后的5.78，失效概率較小，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)在整個(gè)服役年限內(nèi)，軌道板處于安全狀態(tài)；在抗力中速退化情況下，結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的衰減較快，結(jié)構(gòu)服役至57年時(shí)，可靠度指標(biāo)低于目標(biāo)可靠度4.2，說(shuō)明由鋼筋銹蝕導(dǎo)致的鋼筋截面退化已發(fā)展，軌道板結(jié)構(gòu)存在較大的安全隱患；在抗力嚴(yán)重退化的情況下，結(jié)構(gòu)開(kāi)始運(yùn)營(yíng)使用后，可靠度指標(biāo)呈現(xiàn)急劇下降趨勢(shì)，結(jié)構(gòu)服役至35年時(shí)，可靠度已經(jīng)低于規(guī)范要求，處于嚴(yán)重腐蝕環(huán)境中的軌道板結(jié)構(gòu)受到外界惡劣環(huán)境的影響，再加上養(yǎng)護(hù)的不足，結(jié)構(gòu)很快進(jìn)入破壞階段，需要加強(qiáng)維護(hù)與管理。

4 結(jié)論

(1)本文建立了列車(chē)荷載與環(huán)境共同作用下CRTSⅡ型軌道板橫向抗彎承載力的極限狀態(tài)函數(shù)，并利用該函數(shù)發(fā)展了基于矩法的軌道板橫向抗彎承載力時(shí)變可靠度分析方法，采用基于一維減維的點(diǎn)估計(jì)結(jié)合有限元方法計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)的前四階矩(均值、方差、偏度、峰度)，采用四階矩可靠度公式計(jì)算可靠度指標(biāo)及失效概率。

(2)與蒙特卡洛方法對(duì)比分析表明，用7點(diǎn)估計(jì)一維減維的方法求解功能函數(shù)的前四階矩，在大量減少計(jì)算次數(shù)的同時(shí)，能夠保證計(jì)算結(jié)果的精度，此方法利于軌道結(jié)構(gòu)可靠度分析與應(yīng)用。

(3)算例假定軌道板處于3種不同侵蝕環(huán)境(低速退化、中等退化和嚴(yán)重退化)中，分析結(jié)果表明：軌道結(jié)構(gòu)處于不同服役環(huán)境中時(shí)，其可靠度指標(biāo)衰減程度有較大不同，在中等和嚴(yán)重退化的服役環(huán)境中需考慮加強(qiáng)軌道板橫向抗彎承載力設(shè)計(jì)。