導數(shù)綜合題中構(gòu)造函數(shù)的兩個著眼點

縱觀近年各地高考試題，導數(shù)綜合題的熱度始終不減，也是試卷中難度較大，區(qū)分度較高的試題之一。而利用導數(shù)研究一個函數(shù)時，往往會涉及到構(gòu)造新的函數(shù)，利用對新的函數(shù)的研究，來達到對原來函數(shù)研究的目的，在這個過程中，如何構(gòu)造一個或多個恰當?shù)暮瘮?shù)，往往是學生覺得比較困難的地方。本文結(jié)合筆者的教學實踐，談談構(gòu)造函數(shù)的兩個著眼點——形式優(yōu)美、性質(zhì)明晰。

一、構(gòu)造形式優(yōu)美的函數(shù)

形式服務于內(nèi)容，形式上的美，必然意味著內(nèi)容上的明確、深刻。因此，在構(gòu)造函數(shù)時，要著眼于形式優(yōu)美，構(gòu)造出利于問題研究的恰當?shù)暮瘮?shù)。

1.構(gòu)造結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)的函數(shù)

結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)是一種美，結(jié)構(gòu)美的函數(shù)更有利于我們?nèi)パ芯?，在實際應用中，要根據(jù)所研究的問題，著眼于函數(shù)的類型、次數(shù)、系數(shù)等，根據(jù)要解決的問題，構(gòu)造結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)的函數(shù)。

案例1（2018年高考全國卷III理科第21題）已知函數(shù) f(x)=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（I）若 a=0，證明：當 -1＜x＜0 時， f(x)＜0；當x＞0時， f(x)＞0；

（II）若 x=0是 f(x)的極大值點，求 a.

分析對于第（I）小問，當a=0時，f(x)是一個不含參數(shù)的函數(shù)，于是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到解答即可。

當 -1＜x＜0 時，g′(x)＜0；當 x＞0 時，g′(x)＞0.

故當 x=-1時，g(x)≥g(0)=0，且僅當x=0時，g(x)=0，從而 f′(x)≥0，且僅當 x=0 時，f′(x)=0，所以f(x)在（-1，∞）單調(diào)遞增。

又 f(0)=0，故當 -1＜x＜0 時，f(x)＜0；當 x＞0時， f(x)＞0.

解：（II）①若 a≥0，由（I）知，當 x＞0 時，f(x)≥（2+x）ln（1+x）-2x＞0 = f(0)，這與 x=0 是 f(x)的極大值點矛盾。

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點當且僅當x=0是h(x)的極大值點。

上述解法通過構(gòu)造結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)的函數(shù)，將一個復雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個簡單的函數(shù)，使得導數(shù)作為工具能更好地發(fā)揮作用，避免了多次求導帶來的繁瑣。

2.構(gòu)造形式簡潔的函數(shù)

（I）討論f(x)的單調(diào)性；

將一個形式復雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個形式簡潔的函數(shù)來研究，在問題解決的同時，也欣賞到數(shù)學的簡潔之美，在理性思考中提升感性認識。

二、構(gòu)造性質(zhì)明晰的函數(shù)

彭海燕在《“套路”和“模型”視角下恒不等式問題的探討》一文中曾談到，在“套路”和“模型”視角下，根據(jù)常見函數(shù)如x與ex的和、差、積、商，x與lnx的和、差、積、商等“模型”，構(gòu)造出凹凸性不一致的兩個函數(shù)，從而很方便地對原問題進行研究，就是所謂的“套路”。實際上，構(gòu)造的函數(shù)性質(zhì)明晰，將有利于對其以及對原來函數(shù)的研究，這里談的性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、凹凸性，漸近線等。

案例3（2018高考天津卷理科第20題）已知函數(shù) f(x)=ax，g(x)=logax，其中 a＞1.

（I）求函數(shù)h(x)= f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間；

分析（I）（II）略.對于（III）曲線 y= f(x)在點（x1，ax1）處的切線 l1：y-ax1=ax1lna·（x-x1）.

為此需要構(gòu)造新的函數(shù)，站在函數(shù)的高度來研究方程解的情況。我們給出兩種構(gòu)造方法。

下面證明存在實數(shù)t，使得h(t)＜0.

由上圖可以很清楚地知道u(x)，v(x)的性質(zhì)：當x→-∞ 時，u(x)→-1 且 u(x)＞-1，v(x)→0 且 v(x)＜0；

結(jié)合圖像和性質(zhì)可以得到解法二。

一般說來，形式優(yōu)美是為性質(zhì)明晰服務的，構(gòu)造的函數(shù)結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)、形式簡潔，其性質(zhì)也更容易凸顯，更有利于我們對函數(shù)的研究與把握.因此，在實際教學中，引導學生關(guān)注形式、注重內(nèi)容（性質(zhì)），是一個重要的任務。