例談解析幾何中的垂直模型

章浩偉

近幾年全國卷在解析幾何內(nèi)容的考查上難度適中，著重于運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，運(yùn)用幾何性質(zhì)建立代數(shù)關(guān)系，凸顯數(shù)形結(jié)合的魅力。對大多數(shù)學(xué)生而言，他們有信心做解析幾何試題，卻常常陷于不知從何入手，或者大量運(yùn)算無功而返的困境。筆者認(rèn)為，根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，建立解題思路模型，能有效幫助學(xué)生走出這一困境。以下，將結(jié)合一個(gè)具體問題，談?wù)劷馕鰩缀沃械拇怪蹦Ｐ汀?/p>

一、問題提出

題目：如圖1，已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1和兩點(diǎn)A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求m的最大值。

二、解法探究

解法一：

要滿足∠APB=90°，只需點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足：AP→·BP→=0，

利用圓的參數(shù)方程，可設(shè)點(diǎn)P（3+cosθ，4+sinθ），

由AP→·BP→=0，得： （3+cosθ）2-m2+（4+sinθ）2=0，

化簡整理為： m2=26+8sinθ+6cosθ=26+10sin（θ+φ），其中sinφ=35，cosφ=45，

依題意，圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，等價(jià)于上述方程有解，

因此，當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，m的最大值為6；

點(diǎn)評：解法一運(yùn)用向量研究垂直關(guān)系，這是解析幾何問題的常見思路，好處在于通過向量可以把點(diǎn)的坐標(biāo)引入到研究問題中，而涉及到點(diǎn)的坐標(biāo)，學(xué)生們就有了很多解決問題的代數(shù)方法。在求解過程中，通過向量的數(shù)量積等于1建立了m與點(diǎn)p坐標(biāo)的關(guān)系，從而將點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，實(shí)現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化，完成了求解。

解法二：

由示意圖可知，直線AP的斜率存在，則直線BP的斜率也存在，

要滿足∠APB=90°，只需直線AP，BP的斜率滿足：kAP·kBP=-1，

代入點(diǎn)的坐標(biāo)到斜率關(guān)系中，可得：（4+sinθ）2（3+cosθ）2-m2=-1，

余下求解過程同解法一；

點(diǎn)評：解法二運(yùn)用斜率研究垂直關(guān)系，解題思路與解題過程與解法一一致。相比于向量，斜率具有更強(qiáng)的幾何直觀性，但解題時(shí)需要對斜率是否存在做單獨(dú)考慮，通常不作為首選的解題策略。

解法三：

因?yàn)椤螦PB=90°，可用勾股定理研究，只需點(diǎn)P滿足：|AP|2+|BP|2=|AB|2，

利用兩點(diǎn)距離公式表示出距離，也可以得到：m2=26+8sinθ+6cosθ，

余下求解過程同解法一；

點(diǎn)評：解法三通過勾股定理建立方程，其本質(zhì)仍然是引入坐標(biāo)研究問題，在本題中該方法的運(yùn)算量較大，但也是一種解決垂直問題的方法，尤其是已知條件涉及了長度大小的時(shí)候。

解法四：

如圖2所示，因?yàn)椤螦PB=90°，從幾何性質(zhì)出發(fā)，可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上（除A、B點(diǎn)外），

因此，只需要滿足以AB為直徑的圓（記作圓M）與圓C有公共點(diǎn)即可，而此時(shí)，m的值即為圓M的半徑；由圖2可知，當(dāng)圓C內(nèi)切于圓M時(shí)，m取到最大值，滿足： m=|OC|+RC=5+1=6；

點(diǎn)評：解法四賦予了垂直關(guān)系幾何意義，即“若PA⊥PB，則P在以AB為直徑的圓上”，從而將問題轉(zhuǎn)化為圓C與以AB為直徑的圓是否有公共點(diǎn)，而此時(shí)m的取值，就是以AB為直徑的圓的半徑，從而將整個(gè)問題幾何化。再分析圖形特征可知，兩圓內(nèi)切時(shí)，m取到最大值。

解法五：

如圖3，因?yàn)椤螦PB=90°，連接OP，

由直角三角形性質(zhì)可得：|OP|=12|AB|=m，

因此，求m的最大值，等價(jià)于求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離，

可知： mmax=|OP|max=|OC|+RC=5+1=6；

點(diǎn)評：解法五利用了直角三角形“斜邊的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)，當(dāng)PA⊥PB時(shí)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離即為m的取值，從而將求m的最大值轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最大值，可知最大值為圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑，完成求解。解法四和解法五都是將代數(shù)條件幾何化，以形解數(shù)，頗為巧妙。

三、教學(xué)啟示

一題多解是數(shù)學(xué)題的特色，也凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)有魅力。然而，學(xué)生在解題時(shí)，往往局限于一種自己習(xí)慣的解法，甚至有時(shí)候都不清楚為什么這個(gè)題目就要用這樣的方法來做。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣的解題方法行不通時(shí)，他們便一籌莫展。這一現(xiàn)象在解析幾何試題的解題過程中尤為明顯，學(xué)生頭腦中裝著一些方法和結(jié)論，如果是熟悉的題目，可以拿來就用，一旦題目比較陌生，就不知道用什么和怎么用了。這時(shí)候，歸納解題模型，將解題方法和常用結(jié)論建立關(guān)聯(lián)，能有效幫助學(xué)生解決上述困擾。

本文所述的例子，圍繞著 的取值如何能保證圓C上存在點(diǎn)P滿足“PA⊥PB”展開探究，把垂直問題與向量關(guān)系，斜率關(guān)系，長度的勾股定理關(guān)系，三個(gè)代數(shù)關(guān)系，以及滿足垂直關(guān)系的點(diǎn)的軌跡為圓，直角三角形下斜邊的中線等于斜邊的一半兩個(gè)幾何結(jié)論建立聯(lián)系，構(gòu)建了一個(gè)解析幾何問題中的“垂直模型”，只要題目所給條件滿足其一，其余均可作為解題思路來分析問題。由此，當(dāng)學(xué)生在解題過程中遇見了垂直關(guān)系時(shí)，就可以從這五個(gè)方向入手考慮問題，選擇自己認(rèn)為的最便捷的方法。在教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在掌握了垂直模型后，類似涉及垂直關(guān)系的題目，他們做起來很有自信，準(zhǔn)確率也高，有些題目還能結(jié)合已知條件的特點(diǎn)，在五種入手方法上有所創(chuàng)新。

解無定法，貴在得法。通過探索大量解題方法背后的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建具體問題背景下的解題模型，能夠幫助學(xué)生打開解題思路，走出解題困境，鍛煉他們靈活運(yùn)用各種解題方法解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：廈門雙十中學(xué)漳州分校）