多面體外接球問題突破策略

曹丹育

【內(nèi)容摘要】直觀想象的核心素養(yǎng)的考查主要反映在立體幾何中空間想象能力的考查，近幾年全國高考題中立體幾何客觀題對(duì)組合體的考查熱度不減，其中外接球問題是重中之重，如何求外接球的半徑、表面積或體積，關(guān)鍵在于尋找外接球的球心，非特殊幾何體通過尋找球的兩個(gè)不平行的截面的圓心就可以確定球心，這樣將空間問題化為平面問題，化抽象為直觀，便于分析和解決問題。

【關(guān)鍵詞】直觀想象 多面體 外接球 球心

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)更加關(guān)注核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，首都師范大學(xué)王尚志教授指出：“核心素養(yǎng)相對(duì)具體學(xué)科是抽象的，但它能以不變應(yīng)萬變，中國學(xué)生應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！睆慕鼛啄耆珖呖夹抡n標(biāo)卷對(duì)立幾的考查來看，對(duì)空間想象能力的要求提高了，特別是球的組合體問題的考查，著重考查學(xué)生直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)。而人教版高中數(shù)學(xué)必修二只是簡單介紹球的概念和體積、表面積公式，對(duì)球的性質(zhì)及與其它幾何體結(jié)合的組合體問題只字未提，而球的組合體的考察顯然是熱點(diǎn)問題，該如何解決幾何體外接球的半徑、體積和表面積問題呢？筆者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)立體幾何中的外接球問題進(jìn)行一些探索補(bǔ)充，希望對(duì)解決這類問題有所幫助。筆者認(rèn)為解決球的問題，關(guān)鍵量——半徑，也就是球心到球面的距離，那么尋找球心就是重中之重，如何解決球心的位置問題呢？

一、球心位置概述

1.球的大圓的直徑的中點(diǎn)；

2.過球的兩個(gè)不平行的小圓的圓心且垂直小圓面的兩直線交點(diǎn)。如圖（1），（2）。

顯然第一種方法確定球心不方便，因?yàn)轭}意往往只給出一個(gè)多面體，外接球不易畫，當(dāng)然更無法通過球的大圓來找圓心，所以筆者認(rèn)為第二種方法適用，只要尋找兩個(gè)不平行的截面的圓心就可以確定球心，這樣將空間幾何問題降維為平面幾何問題，便于想象和分析，再把條件集中到某個(gè)直角三角形，利用方程思想破解。下面以特殊幾何體和一般幾何體為例分別說明如何確定球心。

二、常見的特殊幾何體外接球

1.長方體外接球，其直徑就是長方體的對(duì)角線，（或說長方體側(cè)棱中的對(duì)棱形成的矩形所在的外接圓就是球的大圓）對(duì)角線的中點(diǎn)就是球心。（正方體是特殊的長方體）

2.正四面體的外接球，它的球心是它的高的四等分點(diǎn)中離面最近的第一個(gè)等分點(diǎn)，它也是內(nèi)切球的球心；高的四分之三為外接球半徑，四分之一為內(nèi)切球半徑。正四面體也可置于一個(gè)正方體中，則正四面體的外接球即為正方體的外接球。

3.邊數(shù)為偶數(shù)的正棱柱的外接球，它的正對(duì)兩側(cè)棱形成的矩形對(duì)角線就是直徑。

4.正棱錐的外接球，它的球心一定在它的高線所在的直線上。

5. 三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球，可用補(bǔ)形法，將其補(bǔ)成一個(gè)長方體，三條兩兩垂直的側(cè)棱即為長方體的長、寬、高，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球。

6.四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐，也可用補(bǔ)形法，將其置于長方體中，則該三棱錐的外接球即為長方體的外接球。

例1.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a， 頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這球的表面積為 .

分析：球心在上、下底面中心的連線上，而且在連線的中點(diǎn)處，由R=216a，所以球的表面積為7πa23.

例2.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為a，則其外接球的表面積是 .

分析：可通過補(bǔ)形法，將三條兩兩垂直的側(cè)棱作為長方體的長、寬、高補(bǔ)成一個(gè)長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，此題正好補(bǔ)為一個(gè)正方體，從而2R=3a2=3a，所以外接球的表面積為3a2π.

三、非特殊幾何體的外接球問題

尋找外接球的球心，求外接球的半徑的基本步驟：通過兩個(gè)互相不平行的兩表面多邊形的外接圓圓心→過外接圓圓心作垂直外接圓面的垂線→兩垂線的交點(diǎn)就是球心→再通過解三角形相關(guān)定理求得球的半徑，解決球的體積或表面積等問題。

例3.已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，則球O的表面積為（ ）

A.4π B.12π C.16π D.36π

說明：由于△DBC為等邊三角形，所以其外接圓的圓心必是△DBC的中心，設(shè)為P，而△ABC為直角三角形，其外接圓的圓心必是BC的中點(diǎn)，設(shè)為Q，則過P與Q分別作△DBC和△ABC所在面的垂線，交點(diǎn)正好在△DBC中BC邊上的高上，此交點(diǎn)就是球心。

解：∵AB=3，AC=3，BC=23

∴AB2+AC2=BC2

∴AC⊥AB

∴△ABC的外接圓的半徑為3，

∵△ABC和△DBC所在平面互相垂直，∴球心在BC邊的高上 .

設(shè)球心到平面ABC的距離為h，h2+3=R2=（32×23-h）2，

∴h=1，R=2. ∴球O的表面積為16π.

例4.已知邊長為23的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（ ）

A. 25π B. 26π C. 27π D. 28π

分析：由已知菱形ABCD可知△DBC和△DBA均為等邊三角形，所以分別由△DBC和△DBA的中心即外接圓的圓心作這兩個(gè)三角形所在面的垂線，交點(diǎn)即為球心O，其中O′為△DBC的外接圓的圓心（三角形的中心），則∠AFC=120°，∠OFO′=60°， OO′⊥FC.

解：如圖所示，∠AFC=120°， AF=32×23=3，則∵O′B=2，O′F=1，

∴O′O=tang60°·1=3，

∴由勾股定理可得R2=（3）2+4=7

所以四面體的外接球的表面積為28π.

【方法點(diǎn)睛】這兩題主要是考查了球的組合體問題，要求表面積，就是要求半徑，那么關(guān)鍵是找兩個(gè)截面圓的圓心，再找球心，其中解答中涉及到球的基本性質(zhì)的應(yīng)用、球的表面積公式、三棱錐的線面位置關(guān)系、棱錐的體積公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及空間想象能力，突出數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)中直觀想象的考查。

多面體外接球問題緊緊扣住如何確定球心位置為突破口，通過尋找兩個(gè)不平行截面圖形的外接圓圓心，然后分別過兩個(gè)圓心作垂直于截面的垂線，交點(diǎn)即為球?yàn)镺，進(jìn)而將抽象問題具體化，化空間圖形問題為平面圖形問題，再利用直角三角形達(dá)到解決目的。通過特殊與非特殊幾何體外接球問題的突破，復(fù)雜問題簡單化，相關(guān)問題迎刃而解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃喜濱， 江澤. 基于核心素養(yǎng)的空間幾何體外接球之探究[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2017（8）：15-18.

[2]陳炳泉. 一道省質(zhì)檢試題的探討[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2017（5）：1-4.

（作者單位：福建省南平地區(qū)政和縣第一中學(xué)）