楊舒荃　賈兆麗　崔龍慶　楊錦濤

摘 要 人們投資股票市場(chǎng)的最大動(dòng)力，除了從股票本身的升值中獲利，還包括收益分紅.提出了帶有離散分紅的障礙期權(quán)的一種新型的近似方法，以向上敲出看漲障礙期權(quán)為例，固定分紅的次數(shù)，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得到關(guān)于關(guān)鍵變量的仿射函數(shù)，給出了一個(gè)只帶有一維積分的定價(jià)公式，提高了計(jì)算速度.該方法還可以用于回望期權(quán)等其它衍生品的定價(jià)，對(duì)在市場(chǎng)上進(jìn)行期權(quán)交易有一定指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞 金融學(xué)；障礙期權(quán)；泰勒展開(kāi)；離散分紅；偏正態(tài)分布

中圖分類(lèi)號(hào) O211.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract The incentive for people to invest in stock market is receiving dividend payments， in addition to gaining appreciation of the stock value itself. A new approach has been presented for pricing barrier options with discrete dividend payments， which take up-and-out call option as an example and fix the amount of the discrete dividend. An affine function of key variables is obtained through Taylor series expansion. A new approximation formula with only one-dimensional integrals involved has been derived. The method improves computing speed and can be applied to pricing other derivatives， such as look-back options and so on， which has instructional significance for trading options in real markets.

Key words finance； barrier options； Taylor expansion； discrete dividend； skewed normal distribution

1 引 言

隨著人們對(duì)股票市場(chǎng)的熱情與日俱增，越來(lái)越多的人開(kāi)始追求股票價(jià)值以外的分紅收益.支付分紅的期權(quán)定價(jià)通常包括連續(xù)分紅和離散分紅兩種模型，實(shí)際交易中大多支付離散分紅，且這種分紅會(huì)使股價(jià)在除息日出現(xiàn)一定程度的跳躍，影響期權(quán)的價(jià)格.Frishling（2002）[1]指出帶有離散分紅的定價(jià)模型主要包括提存模型、正向模型和分段對(duì)數(shù)正態(tài)模型，其中只有第3種模型能較真實(shí)地反映實(shí)際的價(jià)格.Zhu和He（2018）[2]表明分紅與除息日標(biāo)的資產(chǎn)成比例時(shí)，帶有離散分紅的歐式期權(quán)價(jià)格與分紅支付日期無(wú)關(guān)，并得到固定分紅次數(shù)下歐式看漲期權(quán)的近似公式.還有許多學(xué)者[3，4]對(duì)帶有離散分紅的歐式期權(quán)進(jìn)行了研究，但對(duì)離散分紅下障礙期權(quán)的研究甚少.

障礙期權(quán)是金融市場(chǎng)中最活躍的奇異期權(quán)之一[5]，它的最終收益不僅依賴(lài)于標(biāo)的資產(chǎn)到期日的價(jià)格，還與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在整個(gè)有效期內(nèi)是否達(dá)到障礙水平有關(guān).Dai和Chiu（2013）[6]利用分段對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，假設(shè)除息日股價(jià)的下降，遵循在兩個(gè)相鄰除息日之間的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，得到支付離散分紅下障礙期權(quán)的近似定價(jià)公式.然而，該公式包含多重積分的計(jì)算，實(shí)際操作中相對(duì)復(fù)雜.提出了障礙期權(quán)的一種新型定價(jià)方法，以向上敲出看漲障礙期權(quán)為例，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得到關(guān)于指定變量的仿射函數(shù)，利用偏正態(tài)分布的性質(zhì)，給出了一次分紅甚至多次分紅下只帶有一維積分的定價(jià)公式，提高了計(jì)算速度.

2 無(wú)分紅的障礙期權(quán)

障礙期權(quán)是依賴(lài)于標(biāo)的資產(chǎn)路徑的期權(quán)，可以分為2類(lèi)：敲出障礙期權(quán)和敲入障礙期權(quán).前者當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到障礙水平時(shí)，期權(quán)失效，后者反之.兩者按標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格和障礙水平的高低，又可分為向上敲出、向下敲出和向上敲入、向下敲入.

4 數(shù)值分析

為體現(xiàn)近似公式的特點(diǎn)及優(yōu)勢(shì)，比較了原始重積分公式計(jì)算下的精確期權(quán)價(jià)格與新型定價(jià)公式下的近似期權(quán)價(jià)格.考慮一個(gè)帶有紅利支付的向上敲出看漲障礙期權(quán)，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的敲定價(jià)格K和障礙水平B分別為100和150，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為3%，期權(quán)期T為1年.

圖1是支付一次分紅下期權(quán)價(jià)格的精確值和近似值之間的絕對(duì)誤差，假定當(dāng)前時(shí)刻t為0，波動(dòng)率為50%，分紅支付D為10，精確值與近似值分別由引理1和定理1計(jì)算得到.從圖1看該近似值已經(jīng)比較接近精確值了，且隨著除息日逐漸臨近到期時(shí)刻，實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平值期權(quán)的絕對(duì)誤差均呈現(xiàn)了單調(diào)遞增到達(dá)峰值又單調(diào)遞減的趨勢(shì)，在到期時(shí)刻絕對(duì)誤差最小.由于是將展開(kāi)式代入正態(tài)分布函數(shù)得到的近似值，隨著除息日臨近到期時(shí)刻，分紅支付時(shí)刻td與當(dāng)前時(shí)刻t的差值增加，同時(shí)增加了總誤差，而總誤差增加到足夠大時(shí)相應(yīng)正態(tài)分布函數(shù)的偏斜也會(huì)改變，進(jìn)而絕對(duì)誤差減小.此外，在初始時(shí)刻實(shí)值期權(quán)有相對(duì)較大的絕對(duì)誤差，到期時(shí)刻虛值期權(quán)有相對(duì)較大的絕對(duì)誤差.圖2假定在半年支付一次分紅D，三種期權(quán)價(jià)格的絕對(duì)誤差均隨著波動(dòng)率的增加而減小，因?yàn)閷?duì)于向上敲出看漲障礙期權(quán)而言，更高的波動(dòng)率意味著更大可能的“敲出”（即變?yōu)闊o(wú)價(jià)值），所以期權(quán)價(jià)格減小，總誤差也變小.這里依然是在初始時(shí)刻實(shí)值期權(quán)有相對(duì)較大的絕對(duì)誤差，到期時(shí)刻虛值期權(quán)有相對(duì)較大的絕對(duì)誤差.最大的絕對(duì)誤差不超過(guò)10-2，同樣的結(jié)論也適用于兩次分紅.圖3是支付兩次分紅下精確值和近似值之間的絕對(duì)誤差，第一次分紅在1/3年支付，第二次分紅在2/3年支付，為計(jì)算簡(jiǎn)便令D1=D2.隨著分紅支付的上升，三種期權(quán)價(jià)格的絕對(duì)誤差均下降，這是因?yàn)榉旨t的增加會(huì)導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格減小，最終誤差變小，最大的絕對(duì)誤差為4.43×10-3.由此表明，該近似方法是行之有效的.

5 結(jié) 論

當(dāng)障礙水平為無(wú)窮大時(shí)，障礙期權(quán)可以近似看作標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)，所以標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，可認(rèn)為是向上敲出看漲障礙期權(quán)公式的一個(gè)特例.假設(shè)障礙期權(quán)的分紅次數(shù)是固定的，提出了一種帶有離散分紅的障礙期權(quán)的新型定價(jià)公式.不同之處在于將積分里較難計(jì)算的對(duì)數(shù)，利用泰勒展開(kāi)轉(zhuǎn)換為關(guān)于指定變量的仿射函數(shù)，進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算.該方法還可用于回望期權(quán)等其它衍生品的定價(jià)，豐富了奇異期權(quán)的定價(jià)理論，對(duì)指導(dǎo)期權(quán)交易有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

參考文獻(xiàn)

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