結(jié)構(gòu)可靠度中心點(diǎn)法

摘 要：基于可靠度理論，概括了可靠度分析方法，主要介紹了一次二階矩陣方法中的中心點(diǎn)法，概括了中心點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)。并介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的中心點(diǎn)法算例，以及用MATLAB編制計(jì)算程序。

關(guān)鍵詞：可靠度；分析方法；中心點(diǎn)法；算例；MATLAB；

鋼、木、磚石、混凝土及鋼筋混凝土等建造的工業(yè)與民用建筑的承重結(jié)構(gòu)，公路和鐵路的橋梁、涵洞，港口工程的碼頭，水利工程的堤壩、渡槽、水閘，給水排水構(gòu)筑物的水池、水管等，統(tǒng)稱為工程結(jié)構(gòu)。工程結(jié)構(gòu)可靠度是指工程結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間和在規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的能力。關(guān)于可靠度理論的研究國(guó)際上起始于20 世紀(jì)20 、30 年代的軍事領(lǐng)域， 并逐步擴(kuò)展到工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域之中。這無(wú)疑是結(jié)構(gòu)工程學(xué)科的重大進(jìn)展之一， 從此可靠度的理論得到了較快的發(fā)展。目前國(guó)際上（Borges 等人）把可靠度理論的發(fā)展分為三個(gè)水準(zhǔn)[1]：即半經(jīng)驗(yàn)半概率法， 它是把對(duì)影響結(jié)構(gòu)可靠度的某些參數(shù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析， 并與經(jīng)驗(yàn)結(jié)合， 再引入某些經(jīng)驗(yàn)系數(shù)來(lái)計(jì)算；近似概率法， 亦即一次二階矩法， 它是運(yùn)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)工程結(jié)構(gòu)的可靠概率進(jìn)行計(jì)算；全概率法是嚴(yán)格基于概率論的結(jié)構(gòu)可靠度的精確的分析計(jì)算方法， 由于此方法存在不易解決的數(shù)學(xué)困難， 目前尚處于研究段。

1 可靠度分析方法綜述

結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算按研究對(duì)象可分為單一失效模式的可靠度計(jì)算和系統(tǒng)可靠度計(jì)算。單一失效模式按求解手段可分為采用數(shù)學(xué)近似方法的解析概率法和應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的數(shù)值模擬法兩種，系統(tǒng)可靠度計(jì)算主要分為點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法。工程結(jié)構(gòu)可靠度的分析具有大量的不確定性，如結(jié)構(gòu)外部環(huán)境的不確定性， 包括荷載類型和結(jié)構(gòu)所處的位置等；結(jié)構(gòu)本身的不確定性， 包括構(gòu)件材料的性能， 截面幾何參數(shù)和計(jì)算模型的精度等?？煽慷鹊挠?jì)算方法從研究對(duì)象來(lái)說(shuō)可以分為結(jié)構(gòu)點(diǎn)（構(gòu)件）可靠度計(jì)算法和結(jié)構(gòu)體系可靠度計(jì)算法。由于可靠度研究本身的復(fù)雜性和全概率法中的難以解決的數(shù)學(xué)困難， 結(jié)構(gòu)體系的可靠度的研究目前還很不成熟， 仍處于探索階段[2]。

趙國(guó)藩提出了實(shí)用分析法，引用加權(quán)分位值、靈敏系數(shù)的概念，正態(tài)化隨機(jī)變量求可靠指標(biāo)β值[3]。

2 一次二階矩方法

一次二階矩法是將非線性功能函數(shù)做了線性化處理， 所以它是計(jì)算可靠指標(biāo)（β）的最簡(jiǎn)單的方法。只需要考慮隨機(jī)變量的前一階矩（均值）和二階矩（標(biāo)準(zhǔn)差）以及功能函數(shù)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)， 以隨機(jī)變量為前提在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)來(lái)求解可靠指標(biāo)。由于一次二階矩計(jì)算法相對(duì)較簡(jiǎn)便， 大多數(shù)情況下計(jì)算精度可以滿足工程要求， 因此廣泛應(yīng)用于各工程計(jì)算中[4]。一次二階矩方法分為中心點(diǎn)法和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法。中心點(diǎn)法不顧及變量的概率分布；基本的驗(yàn)算點(diǎn)法只處理正態(tài)隨機(jī)變量，JC法、映射法和使用分析法還能夠處理其他概率分布隨機(jī)變量。

2.1 中心點(diǎn)法

中心點(diǎn)法是結(jié)構(gòu)可靠度研究初期提出的一種方法，其基本思想是首先將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值（中心點(diǎn)）處作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并保留至一項(xiàng)，然后近似計(jì)算功能函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差?？煽慷戎笜?biāo)直接用功能函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差表示。其結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)表示為[2]：

（1）

由于中心點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果比較粗糙，一般只用于結(jié)構(gòu)可靠度要求不高的情況，如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)的可靠度分析。

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)具有一般形式，即：

（2）

其中基本隨機(jī)向量各個(gè)分量相互獨(dú)立，其均值為 標(biāo)準(zhǔn)差為。

將功能函數(shù)Z在均值點(diǎn)X處展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)并保留至一次項(xiàng)，即

（3）

則Z的均值和方差可分別表示為

（4）

（5）

將式 （4）和（5）帶入得到式（1）。

上述非線性功能函數(shù)Z的近似值和近似標(biāo)準(zhǔn)差所用的Taylor級(jí)數(shù)方法通常稱為 方法，工程師通常稱式（5）為誤差傳播公式。這種方法將功能函數(shù)Z在隨機(jī)變量X的均值點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)并取一次項(xiàng)，利用X的一階矩和二階矩計(jì)算Z的可靠度，所以稱為均值一次二階矩法或中心點(diǎn)法。當(dāng)已知X的均值和方差時(shí)，可用此方法方便的估計(jì)結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的近似值。但此方法對(duì)于相同意義但形式不同的極限狀態(tài)方程，可能會(huì)給出不同的可靠度指標(biāo)。這是因?yàn)橹行狞c(diǎn)不在極限狀態(tài)面上，在中心點(diǎn)處做Taylor展開(kāi)后的超曲面可能會(huì)明顯偏離原極限狀態(tài)面。此外，中心點(diǎn)法沒(méi)有利用基本隨即變量的概率分布，只利用了隨機(jī)變量的前兩階矩陣，這也是它的明顯不足之處。中心點(diǎn)法計(jì)算簡(jiǎn)便，若分析精度要求不太高，仍有一定的使用價(jià)值。

2.2 中心點(diǎn)法算例及在MATLAB中的編程

例：圓截面直桿承受軸向拉力P=100KN。設(shè)桿的材料的屈服極限和直徑d為隨機(jī)變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 =290N/mm2， =25 N/mm2； =30mm， =3mm。求桿的可靠度指標(biāo)。

解： 由式（1）得到桿的可靠度指標(biāo)

（b）

以軸力表示的極限狀態(tài)方程為Z=g（，d）=—P=0 （c）

將式（c）中的g（，d）代入式（b）并化簡(jiǎn)，得桿的可靠度指標(biāo)

以應(yīng)力表示的極限狀態(tài)方程為Z=g（，d）=—=0 （d）

將式（d）中的g（，d）代入式b并化簡(jiǎn)，得桿的可靠度指標(biāo)

在MATLAB中的程序清單如下：

clear；clc；

muX=[290；30]；sigmaX=[25；3]；

g=pi/4*muX（2）^2*muX（1）-1e5；

gX=[pi/4*muX（2）^2；；pi/2*muX（1）*muX（2）]；

bbetaC1=g/norm（gX.*sigmaX）

g=muX（1）-4/pi*1e5/muX（2）^2；

gX=[1；8*1e5/pi/muX（2）^3]；

bbetaC2=g/norm（gX.*sigmaX）

計(jì)算結(jié)果為bbetaC1= 2.3517；bbetaC2= 3.9339。

3 結(jié)語(yǔ)

中心點(diǎn)法是針對(duì)基本隨機(jī)變量服從正態(tài)分布或是對(duì)數(shù)正態(tài)分布， 狀態(tài)函數(shù)為線性形式或可以等效轉(zhuǎn)化為線性形式且結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β =1 ～ 2 的情況， 計(jì)算結(jié)果比較粗糙， 一般適用于結(jié)構(gòu)可靠度要求不高的情況， 而設(shè)計(jì)點(diǎn)法僅適用于β 值較大（β >4 .5）或是設(shè)計(jì)值遠(yuǎn)不滿足極限狀態(tài)方程的情況采用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度的數(shù)值計(jì)算，可充分發(fā)揮利用矩陣運(yùn)算功能及各種工具箱的快速和便捷，從而大大提高編程和計(jì)算的效率。對(duì)結(jié)構(gòu)體系可靠度而言，通過(guò)MATLAB編程語(yǔ)言，以高效精確的算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，避免很多重復(fù)性的勞動(dòng)，解決了結(jié)構(gòu)可靠度的分析問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1]解偉， 李昆良， 彭萬(wàn)春.水工結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)[ M] .鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社， 1997 .

[2]姚澤良，李寶平，周雪峰.結(jié)構(gòu)可靠度分析的一次二階矩方法與二次二階矩方法[J].西北水利發(fā)電.2005.

[3]李艷.基于最優(yōu)化方法的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算及MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)[D].武漢：武漢工業(yè)學(xué)院，2012.

[4]李秋實(shí)，歐可活.工程結(jié)構(gòu)可靠度分析方法研究[ J] .公路與汽運(yùn)， 2004 .12

作者簡(jiǎn)介

張焱飛（1995-），男，漢族，河南三門峽市人，碩士，河南大學(xué)土木建筑學(xué)院建筑與土木工程專業(yè)，研究方向：巖土邊坡穩(wěn)定分析。