Mecanum輪結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法研究

李 義 ，蔣 剛 ，楊劍鋒

1 引言

Mecanum輪作為全方位移動(dòng)機(jī)器人的關(guān)鍵承載技術(shù)，在機(jī)器人、重裝搬運(yùn)設(shè)備上已有廣泛應(yīng)用[1-3]?；贛ecanum輪的全方位移動(dòng)機(jī)器人具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡潔、運(yùn)動(dòng)控制靈活、通過性好等優(yōu)點(diǎn)[1-7]。由3個(gè)或3個(gè)以上的該輪按特殊方式排列可以組成具有平面內(nèi)的任意方向平移以及任意半徑和角度旋轉(zhuǎn)的全方位移動(dòng)平臺。該特殊結(jié)構(gòu)的輪子由文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)；Mecanum輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中輥?zhàn)优c地面接觸的軌跡為空間軌跡，其結(jié)構(gòu)為復(fù)合結(jié)構(gòu)，目前采用的輥?zhàn)幽妇€普遍為近似母線建模方法[3]。文獻(xiàn)[4]采用切面與投影相結(jié)合的方法計(jì)算輥?zhàn)虞喞匠?，運(yùn)用Solidworks API和VC++進(jìn)行仿真論述，使得全方位輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)快捷、簡單。文獻(xiàn)[5]提出了圓弧逼近理論母線的方法，并進(jìn)行了仿真分析其近似效果優(yōu)于等速螺旋線法和橢圓弧法，該方法設(shè)計(jì)的理論圓周最大誤差為0.17%。張學(xué)玲等人對Mecanum輪萬向輪滾子外輪廓曲面變形補(bǔ)償設(shè)計(jì)，針對輥?zhàn)釉诔袎汗r下的一個(gè)變形近似補(bǔ)償，提升了Mecanum輪運(yùn)行的平穩(wěn)性。上述文獻(xiàn)通過近似方法處理輥?zhàn)幽妇€軌跡[7]，采用輪子軌跡反推輥?zhàn)幽妇€以及軸線的設(shè)計(jì)思路，對輥?zhàn)拥慕铺幚碛幸欢ǖ男Ч?，但是在不同承載能力以及結(jié)構(gòu)方式的Mecanum輪建模中近似精確度有限，輪子中的核心輥?zhàn)硬考?shù)難以一次性確定。針對這一問題，通過解析輪子的結(jié)構(gòu)原理以及運(yùn)動(dòng)方式，重構(gòu)輥?zhàn)优c地面接觸的空間軌跡，并由此提出一種基于輪子半徑和輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)即R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的Mecanum輪設(shè)計(jì)方法。通過明確設(shè)計(jì)輪子直徑尺寸大小、輥?zhàn)訑?shù)量進(jìn)行輪子軸線方程以及輥?zhàn)幽妇€軌跡方程推導(dǎo)的主動(dòng)設(shè)計(jì)的思維進(jìn)行輪子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，一次性完成輪子參數(shù)確定并在給定輪子直徑參數(shù)的條件下仿真分析傳統(tǒng)橢圓弧方法和自研方法誤差分析。

2 Mecanum輪原理分析

2.1 Mecanum輪結(jié)構(gòu)解析

輪子由輪軸和環(huán)繞輪軸并以一定角度傾斜包圍的輥?zhàn)咏M成，其軸向視圖包絡(luò)線為連續(xù)圓周[2]。Mecanum輪由于棍子的特殊結(jié)構(gòu)在接觸地面運(yùn)行過程中區(qū)別于普通輪子呈點(diǎn)接觸。因此輥?zhàn)幽妇€的設(shè)計(jì)方法對Mecanum輪中輥?zhàn)影j(luò)成圓的精度會(huì)產(chǎn)生影響，因此直接決定輪子運(yùn)行的穩(wěn)定性。在輪子設(shè)計(jì)過程中輥?zhàn)拥脑O(shè)計(jì)參數(shù)主要影響因素為：偏置角、輪子直徑、輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)、輥?zhàn)又睾隙人膫€(gè)要素。由于輪子是由輥?zhàn)影j(luò)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，因此輥?zhàn)拥南嚓P(guān)參數(shù)是相互關(guān)聯(lián)的。其結(jié)構(gòu)特征，如圖1所示。輥?zhàn)拥脑O(shè)計(jì)和裝配關(guān)系必須滿足四項(xiàng)原則：（1）輥?zhàn)泳鶆蚍植加谳嗇炈闹?，輥?zhàn)娱g距清晰；（2）所有棍子母線軌跡沿輪緣的軸向視圖“包絡(luò)成完整圓周”在輪子滾動(dòng)過程中輥?zhàn)优c地面接觸點(diǎn)反向作用力方向必定經(jīng)過輥?zhàn)虞S與輪軸；（3）輥?zhàn)虞S線與輪軸成一定的空間夾角即偏置角，一般經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)選擇為45°偏置角。（4）輥?zhàn)又睆叫∮谳喿影霃街怠?/p>

圖1 Mecanum三維結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The Three-Dimensional Structure Schematic Diagram of Mecanum

2.2 Mecanum輪棍子軌跡參數(shù)求解

根據(jù)輪子的復(fù)合結(jié)構(gòu)解析，對Mecanum輪的輥?zhàn)虞S線建立R-N模型的棍子空間軌跡坐標(biāo)系O-xyz，如圖2所示。圖中O點(diǎn)為輪子的幾何中心，輪子軸線為z軸；R為輪子半徑，b為輥?zhàn)虞S線與輪緣相交的最大平面距離即理論輪寬；l1和l2相鄰兩個(gè)輥?zhàn)虞S線，并且輥?zhàn)虞S線與z軸的空間夾角α為45°，l1垂直于x軸；M和N分別輥?zhàn)虞S線為l1和l2的方向向量；P為M和N的法向量。平面O-xy分別交輥?zhàn)虞S線為l1和l2于A、B點(diǎn)。其中θ為輥?zhàn)虞S線為l1和l2繞z軸的空間夾角。

圖2 Mecanum輪輥?zhàn)涌臻g軌跡示意圖Fig.2 The Space Trajectory Diagram SchematicDiagram ofMecanum

在圖2坐標(biāo)系O-xyz中M和N向量的值分別為M=（0，1，1），N=（-sinθ，cosθ，1） 因此可以求得法向量 P＝（1-cosθ，-sinθ，sinθ）。在Mecanum輪輥?zhàn)虞S線坐標(biāo)系O-xyz中，兩相鄰輥?zhàn)虞S線的距離d為：

由于輥?zhàn)泳鶆蚍植荚谳喚壷車佔(zhàn)觽€(gè)數(shù)N必須滿足以下關(guān)系：N=2π/θ且（N∈N*）。

在給定Mecanum輪半徑R的輥?zhàn)釉O(shè)計(jì)過程中，輥?zhàn)拥妮喞霃溅腞的大小取決于輥?zhàn)拥膫€(gè)數(shù)N與相鄰輥?zhàn)拥拈g距d。為了保證輥?zhàn)釉谳喿由夏軌颡?dú)立自轉(zhuǎn)，輥?zhàn)幼畲蟀霃溅腞max須滿足：

即兩個(gè)輥?zhàn)又g無干涉。

可求得單個(gè)棍子在輪子中分布的圓心角β值：

在輪子滾動(dòng)過程中輥?zhàn)拥慕拥攸c(diǎn)的反向作用力方向必經(jīng)過輥?zhàn)虞S和輪軸，所以輥?zhàn)虞S線l1參數(shù)方程為：

輥?zhàn)由系狞c(diǎn)M的軌跡曲線參數(shù)方程：

Mecanum輪結(jié)構(gòu)建模通過對輥?zhàn)优c地面接觸的空間軌跡建立的參數(shù)方程（7）在Z方向呈正弦軌跡接觸，因此也驗(yàn)證了通過橢圓弧法、等速螺旋線法[1]建立的輥?zhàn)榆壽E存在一定的誤差。

2.3 棍子模型建立

通過對Mecanum輪結(jié)構(gòu)解析，以及對輥?zhàn)咏拥剀壽E的求解可以為輥?zhàn)拥慕Ｌ峁┫鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型。在參照Mecanum輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，為保證輪子在運(yùn)行過程中穩(wěn)定性，該輪的軸向視圖必須包絡(luò)成一個(gè)完整圓周。輥?zhàn)釉O(shè)計(jì)除了滿足空間軌跡包絡(luò)成完整圓周，單個(gè)輥?zhàn)釉O(shè)計(jì)必須滿足一定的軸徑比（即輥?zhàn)虞S和輥?zhàn)幼钚“霃降谋戎店P(guān)系）。并且需要對輥?zhàn)影矊?、輥?zhàn)虞S、輥?zhàn)觾?nèi)嵌入的輥?zhàn)颖３旨?、滾針軸承、端面軸承等因素考慮。

通過討論輥?zhàn)虞S向重合度、以及輥?zhàn)虞S徑比等影響因素可以確定在給定半徑參數(shù)的Mecanum輪的輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)N。由式（1）、式（2）、式（3）可以求得δRmax與相鄰棍子圓心角θ的關(guān)系式：

根據(jù)輥?zhàn)优c接地點(diǎn)的空間軌跡建立輥?zhàn)涌臻g模型示意圖，如圖3所示。

圖3 輥?zhàn)涌臻g模型示意圖Fig.3 The Space Model Schematic Diagram of Mecanum

在輪子滾動(dòng)過程中，相鄰兩個(gè)輥?zhàn)忧袚Q時(shí)必須有共同的接地點(diǎn)；模型中可以得出相鄰兩個(gè)輥?zhàn)又g輥?zhàn)虞喚壍呐R界重合點(diǎn)M是在輪子與地面接觸時(shí)，如圖3（a）所示。輪子與地面的反向作用力剛好經(jīng)過兩個(gè)輥?zhàn)拥妮S心。因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)輥?zhàn)映瘦S對稱關(guān)系，可以求得相鄰輥?zhàn)又睾宵c(diǎn)的角度臨界點(diǎn)角度γcmin=θ/2。

根據(jù)軌跡點(diǎn)M在輪子上的空間幾何關(guān)系可以建立與γ相關(guān)關(guān)系式：

所以M點(diǎn)的與輥?zhàn)虞Sl1實(shí)時(shí)角度參數(shù)的取值范圍γ∈

過M點(diǎn)做輥?zhàn)虞S線的垂線，結(jié)合式（5）、式（7）求得輥?zhàn)拥陌霃溅谋磉_(dá)式為：

式中：Ai—由初始輥?zhàn)拥降趇個(gè)輥?zhàn)拥淖鴺?biāo)變換矩陣。

根據(jù)以式（6）中的約束關(guān)系，模型可以求得不同輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)條件下Mecanum相關(guān)參數(shù)，如表1所示。在給定半徑R的輪子設(shè)計(jì)中輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)N≥5才能符合設(shè)計(jì)要求。

表1 不同輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)列表（半徑單位：mm）Tab1.Different Roll Number Corresponding to the Related Parameter List

圖4 獨(dú)立輥?zhàn)幽Ｐ虵ig.4 The Independent Model of Mecanum

圖5 輥?zhàn)臃植寄Ｐ虵ig.5 The Distributed Model of Mecanum

圖6 輥?zhàn)影j(luò)軸視圖Fig.6 The Enveloping Axial View of Mecanum

通過該方法求解出的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)對輥?zhàn)幼畲蟀霃胶团R界半徑有很大的影響。給定半徑的輪子設(shè)計(jì)中輥?zhàn)訑?shù)為8個(gè)時(shí)，臨界半徑取得最大值。以設(shè)計(jì)輪子直徑為500mm，輥?zhàn)訑?shù)為8個(gè)為例進(jìn)行整輪實(shí)例設(shè)計(jì)，可以確定θ=45°。

運(yùn)用Matlab對輥?zhàn)幽Ｐ瓦M(jìn)行參數(shù)化建模，根據(jù)式（8）、式（9）可以求得輥?zhàn)优R界軸線長度下的輥?zhàn)悠拭孢吔缇€如圖4中輥?zhàn)虞喞€所示。通過繞輥?zhàn)虞S線旋轉(zhuǎn)生產(chǎn)的獨(dú)立輥?zhàn)幽Ｐ?，如圖4所示。通過式（10）中坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)換最終得到的mecanum輪輥?zhàn)臃植寄Ｐ停鐖D5所示。以及包絡(luò)成完整圓周的圖像，如圖6所示。

3 誤差分析

在mecanum輪輥?zhàn)釉O(shè)計(jì)中，由于輥?zhàn)拥目臻g復(fù)合結(jié)構(gòu)，采用不同的方法設(shè)計(jì)的輥?zhàn)忧€存在一定的誤差。

傳統(tǒng)的橢圓弧通過對圓柱進(jìn)行45°刨切，并以圓柱面與斜切面的交線作為輥?zhàn)拥妮喞€進(jìn)行輥?zhàn)幽Ｐ徒ⅰ?/p>

對比這里的設(shè)計(jì)方法，運(yùn)用傳統(tǒng)橢圓弧方法建立的模型的輥?zhàn)虞S線和最大半徑采用與這里相同的數(shù)值。橢圓弧法建模的輥?zhàn)影霃溅?可以表示為：

采用Matlab運(yùn)用式（11）的半徑參數(shù)建立三維輥?zhàn)幽Ｐ?，為了對比模型的質(zhì)量，建立輥?zhàn)拥耐瑫r(shí)，在輥?zhàn)舆呇亟⒁粋€(gè)和模型高度一致，半徑與目標(biāo)半徑一致的圓柱進(jìn)行對比分析。傳統(tǒng)的橢圓弧方法模型在模型的邊沿存在對稱的凸起，如圖7所示。誤差值為3.595mm，相對于半徑誤差為1.438%。

圖7 橢圓弧法輪子模型Fig.7 The Way of Ellipse Arc about Mecanum

采用結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法建立的輥?zhàn)幽Ｐ?，如圖8所示。途中輥?zhàn)影j(luò)成完整圓周，誤差范圍為［-0.138，0.067］mm，相對于半徑誤差最大為0.055%。

圖8 R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)法輪子模型Fig.8 The Way of R-N Architectural Feature Parameters about Roll Model

通過Matlab提取兩種方法建立的輪子包絡(luò)線邊緣特征值與理論圓周的的誤差對比分析，如圖9所示。輪子邊沿的誤差呈周期性變化，采用的R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法相對于傳統(tǒng)橢圓弧方法有顯著提高。

4 應(yīng)用案例

在國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)“基于小型加速器中子源的可移動(dòng)式中子成像檢測儀”（項(xiàng)目編號2012YQ130226）子項(xiàng)“多功能承載系統(tǒng)”研制中，為了進(jìn)一步驗(yàn)證Mecanum輪結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法的可靠性。設(shè)計(jì)研制的直徑為500mm單輪承載為2噸的Mecanum輪，應(yīng)用于多功能承載系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中。承載平臺通過8輪組合設(shè)計(jì)，以及Mecanum的左旋和右旋方式軸對稱布置，實(shí)現(xiàn)了平臺在平面內(nèi)的全方位移動(dòng)。通過VANTAGE激光跟蹤測量系統(tǒng)對系統(tǒng)檢測，該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)行程為1000mm，10次單向運(yùn)動(dòng)重復(fù)定位精度：X向 1.16 mm，Y向0.34mm。該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了重載檢測設(shè)備的精確定位控制，Mcanum輪作為承載平臺的關(guān)鍵承載機(jī)構(gòu)能夠有效的保證系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和可靠性。

圖10 mecanum應(yīng)用于多功能承載平臺Fig.10 Being Applied to Multifunctional Bearing Platform about Mecanum

5 結(jié)論

提出的R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法，邏輯清晰，有效的指導(dǎo)Mecanum輪參數(shù)化建模，實(shí)現(xiàn)工程化應(yīng)用。并通過對比分析驗(yàn)證得出輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)對輥?zhàn)訁?shù)的影響。通過對輪子中輥?zhàn)觽€(gè)數(shù)設(shè)置對輪子相關(guān)參數(shù)的分析，得出Mecanum輪中輥?zhàn)訑?shù)設(shè)置為8個(gè)時(shí)輥?zhàn)优R界半徑最大。

R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法解決了輥?zhàn)釉O(shè)計(jì)參數(shù)一次性確定的關(guān)鍵問題，相對于傳統(tǒng)方法建模精度有一定優(yōu)勢，存在一定的系統(tǒng)誤差。為進(jìn)一步研究mecanum輪的相關(guān)特性提供了相應(yīng)的建模方法基礎(chǔ)。