原子核結(jié)合能的協(xié)方差分析

王夢(mèng)茹，郭文軍，郗梓涵，張霄吉

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

原子核質(zhì)量的精確計(jì)算與測(cè)量對(duì)于核物理以及核天體物理等許多領(lǐng)域的研究具有很高的應(yīng)用價(jià)值，例如，快中子俘獲過(guò)程（r-過(guò)程）中原子核質(zhì)量起著重要作用[1]。通常考慮原子核核力的飽和性、同位旋對(duì)稱性等基本性質(zhì)的核質(zhì)量模型包括有限力程的小液滴模型（FRDM）[2]、Duflo-Zuke模型[3]、 Hartree-Fock-Bogoliubov（ HFB） 模 型[4]和Weizs?cker-Skyrme（WS）質(zhì)量公式[5-7]等，這些模型參數(shù)通常由約2 000多個(gè)原子核質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[8]來(lái)確定，由它所預(yù)言的原子核質(zhì)量，精度可以達(dá)到0.3～0.6 MeV[7]?；谀硞€(gè)未知原子核的鄰近幾個(gè)已測(cè)量核的質(zhì)量，結(jié)合一些幾何關(guān)系來(lái)預(yù)言原子核質(zhì)量的模型有同量異位多重態(tài)質(zhì)量方程（MME）[9]、Garvey-Kelson關(guān)系[10]、質(zhì)子-中子殘余相互作用[11]等。

高精度的核質(zhì)量數(shù)據(jù)在核結(jié)構(gòu)以及核天體的研究中具有重要的應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們建立了一批批新的放射性束流線和高精度質(zhì)量譜儀，原子核質(zhì)量測(cè)量成為一個(gè)越來(lái)越熱門的研究領(lǐng)域。Jiang等[12]在計(jì)算相鄰的原子核的質(zhì)量時(shí)提出了一種新方法，末尾的1個(gè)質(zhì)子和2個(gè)中子之間的質(zhì)子-中子相互作用為V1p-2n,末尾的2個(gè)質(zhì)子和1個(gè)中子之間的相互作用為V2p-1n,對(duì)于核子數(shù)A≥60的核子，通過(guò)實(shí)驗(yàn)提取相鄰的原子核的結(jié)合能。使用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)描述V1p-2n和V2p-1n,并能計(jì)算出相鄰原子核的質(zhì)量，且提高了計(jì)算的精度。Hove等[13]提出了一種新的預(yù)測(cè)核質(zhì)量的方法，能用已知的核結(jié)合能推出其相鄰的核結(jié)合能，他們選擇4個(gè)特定的質(zhì)量關(guān)系構(gòu)建用來(lái)消除核結(jié)合能光滑誤差的核子數(shù)函數(shù)，并且通過(guò)比較核子相同的奇偶性來(lái)消除其快速的奇-偶變化。磁鋼度-飛行時(shí)間、離子阱、等時(shí)性模式質(zhì)量譜儀、肖特基質(zhì)量譜儀等方法可以直接測(cè)量原子核的質(zhì)量。偏離β穩(wěn)定線的奇異核質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)要比長(zhǎng)壽命的穩(wěn)定核的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)少很多[8]。精細(xì)核譜學(xué)研究小組自2007年以來(lái)，利用放射性束流線（RIBLL2）產(chǎn)生的放射性束和冷卻儲(chǔ)存環(huán)（CSRe）等時(shí)性模式對(duì)67Se等短壽命奇異核的質(zhì)量進(jìn)行了直接測(cè)量[14-18]。Tu等[19]利用蘭州重離子加速器冷卻儲(chǔ)存環(huán)（HIRFL-CSR）裝置，首次對(duì)100 ms量級(jí)的短壽命近質(zhì)子滴線核素63Ge,65As和67Se的質(zhì)量進(jìn)行了測(cè)量。在等時(shí)性模式下，質(zhì)量精度達(dá)到百萬(wàn)分之一。該項(xiàng)研究得到的65As核素的高精度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)解決了核天體物理中的一個(gè)重要問(wèn)題，即對(duì)于第一類X射線暴，64Ge不是快質(zhì)子俘獲過(guò)程中的一個(gè)重要的“等待點(diǎn)”核,消除了X射線暴的一個(gè)不確定性。Zhang等[20]精確測(cè)量了近質(zhì)子滴線短壽命核素41Ti，45Cr，49Fe和53Ni的質(zhì)量，實(shí)驗(yàn)精度達(dá)到0.02～0.04 MeV。此項(xiàng)研究利用新得到的高精度原子核質(zhì)量數(shù)據(jù)，首次在fp殼層對(duì)同位旋多重態(tài)質(zhì)量公式（IMME）進(jìn)行了嚴(yán)格的檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于質(zhì)量數(shù)A=53，同位旋多重態(tài)T=3/2，IMME公式失效。這一現(xiàn)象是現(xiàn)有的核理論無(wú)法解釋的。該研究發(fā)現(xiàn)IMME公式失效，意味著人們對(duì)原子核同位旋對(duì)稱性及其破缺的認(rèn)識(shí)是不完備的。Yan等[21]測(cè)量了一系列短壽命T=-3/2核素，包括45Cr，實(shí)驗(yàn)精度達(dá)到千萬(wàn)分之一?；谌〉玫膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，特別是精確測(cè)定的45Cr的質(zhì)量，確定了X射線暴模型計(jì)算在低質(zhì)量區(qū)rp過(guò)程核反應(yīng)路徑的走向，否定了理論預(yù)言的Ca-Sc循環(huán)的存在。

核物質(zhì)狀態(tài)方程是核物理研究的熱點(diǎn)之一[22-23]。在原子核質(zhì)量的液滴模型中，對(duì)稱能項(xiàng)與核物質(zhì)狀態(tài)方程緊密相關(guān)。而對(duì)稱核物質(zhì)狀態(tài)方程人們己經(jīng)有了比較清楚的了解，但是，對(duì)于非對(duì)稱的核物質(zhì)狀態(tài)方程還不確定，尤其是同位旋相關(guān)的部分，即核物質(zhì)的對(duì)稱能，人們頗有爭(zhēng)議。非對(duì)稱核物質(zhì)狀態(tài)方程的確定能極大地提高原子核質(zhì)量理論上的計(jì)算精度。對(duì)稱能在重離子反應(yīng)、核結(jié)構(gòu)、天體核物理等研究中具有重要的影響[24-29]。目前，在一定區(qū)域，關(guān)于對(duì)稱能范圍的結(jié)論產(chǎn)生重疊，達(dá)到了初步的共識(shí)[30]。但是，不同的模型方法對(duì)對(duì)稱能的約束結(jié)果仍然有很大的不確定性。因此，通過(guò)實(shí)驗(yàn)與模型計(jì)算相比較來(lái)獲取更精確的對(duì)稱能是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

Fattoyev利用協(xié)方差方法研究了中子皮和中子星[31]，首次給出了理論計(jì)算中的參數(shù)的誤差以及參數(shù)和參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。本文利用Fattoyev給出的協(xié)方差方法，通過(guò)對(duì)比系數(shù)間的關(guān)聯(lián)性、系數(shù)和結(jié)合能誤差的關(guān)聯(lián)系數(shù)，合并或優(yōu)化系數(shù)的個(gè)數(shù)的研究，為得到更為精確的原子核質(zhì)量提供理論依據(jù)。

1 理論模型

自1935年Weizs?cker根據(jù)液滴模型給出了半經(jīng)驗(yàn)的核質(zhì)量公式，在之后的幾十年里，人們對(duì)此公式進(jìn)行了反復(fù)的修改，最終得出了較為完整的原子核結(jié)合能 EB半經(jīng)驗(yàn)公式（Weizs?cker公式）：

式中：av，as，ac，asym，ap分別為體積能項(xiàng)系數(shù)、表面能項(xiàng)系數(shù)、庫(kù)侖能項(xiàng)系數(shù)、對(duì)稱能項(xiàng)系數(shù)、對(duì)能項(xiàng)系數(shù)；A，Z，N分別為原子核的質(zhì)量數(shù)、質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)；EBP為對(duì)能項(xiàng)對(duì)于偶偶核、奇A核和奇奇核分別取值

式（1）表示的原子核結(jié)合能EB由5項(xiàng)組成，依次為體積能項(xiàng)、表面能項(xiàng)、庫(kù)侖能項(xiàng)、對(duì)稱能項(xiàng)、對(duì)能項(xiàng)。

圖1是文獻(xiàn)[8]中給出的2 854個(gè)原子核的結(jié)合能分布，由圖可以看出，原子核的結(jié)合能在鐵元素附近達(dá)到最大，而遠(yuǎn)離β穩(wěn)定線核素的結(jié)合能迅速下降，整個(gè)核素圖中的結(jié)合能分布呈現(xiàn)環(huán)狀分布。現(xiàn)將對(duì)Weizs?cker公式中的5項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使其能夠滿足該文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。如表1所示。

圖1 原子核結(jié)合能的分布Fig.1 Distribution of the nuclear binding energy

2 結(jié)果與討論

通過(guò)最小二乘法計(jì)算了文獻(xiàn)[8]中的2 854個(gè)原子核的結(jié)合能，并給出了對(duì)應(yīng)的5個(gè)參數(shù)。因?yàn)?，比原有公式考慮了更多的核素，所以，表面能、庫(kù)侖能、對(duì)能的系數(shù)改變很多，說(shuō)明遠(yuǎn)離穩(wěn)定線核素的結(jié)合能同這3項(xiàng)關(guān)系緊密。

表1 Weizs?cker公式原始數(shù)據(jù)以及本文得出數(shù)據(jù)Tab.1 Original data of Weizs?cker formula and the data obtained in this article

使用新的參數(shù)計(jì)算了質(zhì)子數(shù)在8～110之間總計(jì)2 854個(gè)核素的比結(jié)合能百分比誤差和絕對(duì)誤差，并且畫出圖2和圖3。

圖2 原子核比結(jié)合能的百分比誤差分布Fig.2 Percentage error distribution of the nuclear ratio binding energy

圖3 原子核比結(jié)合能的絕對(duì)誤差分布Fig.3 Absolute error distribution of the nuclear ratio binding energy

圖2 中灰色的部分表示誤差在1%以內(nèi)，可以看出，在穩(wěn)定線附近的核素的比結(jié)合能誤差都較小，而在豐中子區(qū)和缺中子區(qū)比結(jié)合能的誤差達(dá)到3%左右。圖3中灰色部分比結(jié)合能的誤差在0.1 MeV以內(nèi)，同樣可以看出，穩(wěn)定線附近核素的誤差較小。以上說(shuō)明遠(yuǎn)離穩(wěn)定線的核素可能會(huì)有不同的結(jié)構(gòu)，本文將采用協(xié)方差的方法找出什么因素導(dǎo)致遠(yuǎn)離穩(wěn)定線核素的比結(jié)合能誤差較大。

為了得出各個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系，采用了Fattoyev給出的協(xié)方差方法，對(duì)系數(shù)間的關(guān)聯(lián)系數(shù)進(jìn)行了研究。在原子核中起主導(dǎo)作用的是核力，而核力又有短程性、飽和性、強(qiáng)相互作用等的特點(diǎn)，至今人們無(wú)法得到核力的所有性質(zhì)，增加了原子核結(jié)合能的不確定性。傳統(tǒng)的描述核特征的模型有小液滴模型和費(fèi)米氣體模型等，Weizs?cker公式是小液滴模型的主要推論，其中體積項(xiàng)占主導(dǎo)作用。從表2給出的各系數(shù)間的關(guān)聯(lián)系數(shù)中可以看出，體積能項(xiàng)系數(shù)與其他4個(gè)系數(shù)的關(guān)聯(lián)程度較小，說(shuō)明液滴模型是可以較準(zhǔn)確地描述原子核核力的飽和性質(zhì)的，而核力的飽和性質(zhì)主要同原子核的體積相關(guān)。表面能項(xiàng)與庫(kù)侖能項(xiàng)關(guān)聯(lián)系數(shù)較大，且為負(fù)關(guān)聯(lián)，說(shuō)明兩者關(guān)系密切，如果原子核為橢球型，則其表面積增大，庫(kù)侖能減少，呈現(xiàn)負(fù)關(guān)聯(lián)。表面能項(xiàng)與對(duì)稱能項(xiàng)也關(guān)聯(lián)緊密，這同樣是因?yàn)檫h(yuǎn)離穩(wěn)定線原子核中中子質(zhì)子分布的不均勻，會(huì)出現(xiàn)中子皮或質(zhì)子皮現(xiàn)象，造成原子核的實(shí)際半徑增大。所以，隨著原子核遠(yuǎn)離穩(wěn)定線，原子核的表面積越來(lái)越大，兩者呈現(xiàn)正關(guān)聯(lián)。最后，庫(kù)侖能項(xiàng)也和對(duì)稱能項(xiàng)緊密相關(guān)，庫(kù)侖相互作用就是重要的同位旋效應(yīng)，系統(tǒng)的中子質(zhì)子分布越不均勻，系統(tǒng)的對(duì)稱能就越大，同時(shí)會(huì)有很明顯的中子皮、質(zhì)子皮出現(xiàn)，從而造成庫(kù)侖能計(jì)算中的半徑與對(duì)稱能負(fù)相關(guān)，最終造成兩者出現(xiàn)明顯的負(fù)相關(guān)。綜上所述，在結(jié)合能表達(dá)式中，體積能項(xiàng)相對(duì)獨(dú)立，而庫(kù)侖能項(xiàng)、表面能項(xiàng)、對(duì)稱能項(xiàng)緊密相關(guān)，當(dāng)原子核存在四極形變或中子（質(zhì)子）皮時(shí)，三者會(huì)出現(xiàn)明顯的關(guān)聯(lián)。

表2 各個(gè)系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)Tab.2 Correlation coefficient between various coefficients

表3給出5個(gè)系數(shù)的誤差，從中可以看出，體積能項(xiàng)系數(shù)的相對(duì)誤差最小，僅為千分之一，說(shuō)明體積能項(xiàng)的表達(dá)式較為準(zhǔn)確，可以正確描述原子核結(jié)合能中的主要部分。而對(duì)稱能項(xiàng)系數(shù)的相對(duì)誤差較大，也就是說(shuō)對(duì)稱能項(xiàng)不能夠完全描述體系中的對(duì)稱能部分，這主要是因?yàn)樽髡邔?duì)對(duì)稱能了解的信息還較少。當(dāng)前核物理中一個(gè)主流的研究方向就是研究對(duì)稱能，在不同核密度情況下，物理學(xué)家給出的對(duì)稱能的數(shù)值也千差萬(wàn)別，作者需要更為準(zhǔn)確的表達(dá)式來(lái)描述體系中的對(duì)稱能部分。表3中對(duì)能項(xiàng)系數(shù)的相對(duì)誤差最大,造成這樣的原因有待進(jìn)一步討論。

表3 各個(gè)系數(shù)的相對(duì)誤差Tab.3 Relative error of each coefficient %

表4給出了5個(gè)系數(shù)與結(jié)合能的關(guān)聯(lián)系數(shù)?？梢钥闯?，體積能項(xiàng)系數(shù)與結(jié)合能誤差的關(guān)聯(lián)系數(shù)接近于0，同樣說(shuō)明體積項(xiàng)的表達(dá)式較為準(zhǔn)確，不需要進(jìn)一步調(diào)整。而表面能項(xiàng)、庫(kù)侖能項(xiàng)、對(duì)稱能項(xiàng)對(duì)結(jié)合能的誤差貢獻(xiàn)很大，一方面說(shuō)明這三項(xiàng)作者研究得不夠清楚或者是因?yàn)楹雎缘袅怂臉O形變和皮結(jié)構(gòu)等因素；另一方面為作者給出更為精確的結(jié)合能公式指明了道路。最后對(duì)能項(xiàng)對(duì)結(jié)合能的誤差貢獻(xiàn)很小，這可能是因?yàn)閷?duì)能項(xiàng)奇偶相錯(cuò)，其影響被平均掉了，也造成了對(duì)能項(xiàng)系數(shù)的誤差很大。

表4 5個(gè)系數(shù)與結(jié)合能的關(guān)聯(lián)系數(shù)Tab.4 Correlation coefficient between the five coefficients and the binding energy

3 結(jié) 論

采用Weizs?cker公式計(jì)算了2 854個(gè)核素的結(jié)合能，并與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了比較，通過(guò)協(xié)方差的分析手段，研究了各系數(shù)的隱含信息，得出結(jié)論：

a. 對(duì)稱能項(xiàng)、庫(kù)侖能項(xiàng)、表面能項(xiàng)關(guān)聯(lián)程度很大，對(duì)結(jié)合能的誤差貢獻(xiàn)也最大。這是因?yàn)樵雍舜嬖谒臉O形變和皮結(jié)構(gòu)造成的。

b. 體積能項(xiàng)對(duì)結(jié)合能誤差的貢獻(xiàn)很小，其系數(shù)的誤差也很小，說(shuō)明體積能項(xiàng)表達(dá)式較為準(zhǔn)確，進(jìn)一步研究中可以保持不變。

c. 對(duì)能項(xiàng)對(duì)結(jié)合能的誤差貢獻(xiàn)也很小，系數(shù)的誤差卻很大，其對(duì)結(jié)合能的影響可能被平均掉了，需要進(jìn)一步的研究。

致謝：感謝F. J. Fattoyev，B. A. Li參與協(xié)方差分析方法的討論。