規(guī)范靈活的思維是解決壓軸題的關(guān)鍵

陳博文

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心之一，在高考命題中常常作為壓軸題出現(xiàn).我們?cè)诖祟愵}型的解題過程中經(jīng)常步履艱難，不知從何下手，以至于最后對(duì)其產(chǎn)生了畏懼之心，

其實(shí)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題型的難度，在于它的邏輯思維戰(zhàn)線長(zhǎng)，中間一波三折，又可穿插考查分類討論、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思維.在解題過程中，我們的思維易出現(xiàn)混亂，往往說理不清甚至不能繼續(xù)答題，因此，把自己的解題思維變得規(guī)范、靈活、有條理、簡(jiǎn)潔，是十分必要的.

規(guī)范的思維，首先在于如何去分析問題、解決問題，并快速地從知識(shí)儲(chǔ)備中提取所用知識(shí)，常見題型的各種問題，每一步的操作步驟，甚至具體到在哪一點(diǎn)上自己易出錯(cuò)，都應(yīng)熟記于心，基礎(chǔ)扎實(shí)，不僅是指知識(shí)上的準(zhǔn)確，更在于運(yùn)用的熟練，即能形成一套規(guī)范的解題程序，而這種規(guī)范思維的養(yǎng)成，需要平時(shí)多整理、多思考、多練習(xí).

下面，我以一道題目為例來說明.

題目 （2017年山東理科卷第20題）已知函數(shù)f（x）=x2 +2cosx，g（x）=ex（cos xsinx+2x-2），其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（工）求曲線y=f（x）在（π，f（π）處的切線方程；

（Ⅱ）令h（x）=g（x）-af （x）（a∈R），討論h（z）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值，

分析 （I）明顯是切線問題.對(duì)于這一類問題，我們的基本思維為抓住切點(diǎn)建方程，列出點(diǎn)斜式便可較快地得出答案.

（Ⅱ）是探究函數(shù)的單調(diào)性和極值.其基本步驟為：求出h'（z），并探究它與零的關(guān)系.通過對(duì)參數(shù)討論的手法來描繪出函數(shù)圖象的特點(diǎn).

解題歷程 （I）由題意可得f（π）=π2-2，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（π，π2-2）.

又f '（-）一22 2sinx，故f'（π）= 2π，因此，切線方程l：y-（π）= f'（π）（x-π），

整理得l：2xπ-y-π2-2 =0.

（Ⅱ）由題意，h'（x）=ex（cosx-sinx+2x-2）+e x（sin x-cosx+2）-a（2x2sinx）.

自問1：h'（x）的表達(dá)式過于冗長(zhǎng)，應(yīng)該如何處理呢？

自答1：由于h'（x）的表達(dá)式過于冗長(zhǎng)，（Ⅱ）問大部分同學(xué)因此折戟沉沙.那么我們是如何通過導(dǎo)數(shù)來研究圖象的？我們通過討論導(dǎo)數(shù)與零的關(guān)系來畫出草圖研究極值，但對(duì)于現(xiàn)在的h'（x），我們似乎很難討論它與零的關(guān)系.此時(shí)，規(guī)范的程序性思維便派上了用場(chǎng)，對(duì)這種和差形式的導(dǎo)數(shù)，最通常的辦法是通過因式分解求出變號(hào)零點(diǎn)，再進(jìn)行討論.

于是可得：h'（x）=2ex（x-sinx）2a（x-sinx）一2（ex-a）（x-sinz）.

自問2：因式ex-a與零的關(guān)系需要進(jìn)行分類討論，因式zSln z不含有任何參數(shù)，那么x-sinx與零的關(guān)系如何？

自答2：既然因式x-sinx不含有任何參數(shù)，那么x-sinx與零的關(guān)系只與變量x，有關(guān)，可以新設(shè)函數(shù)，進(jìn)行研究；對(duì)于因式ex-a，可令ex- a=0，即e x=a，若使得該方程有解，只需要討論參數(shù)a與0的關(guān)系，當(dāng)a≤0時(shí)，顯然ex-a>0，當(dāng)a>0時(shí)，方程ex=a的解為x=lna，此時(shí)需要綜合x-sinx的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論.

設(shè)m（x）=x-sinx.

由于m'（x） =1- COS x≥0，則m（x）在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閙（0）=0，所以當(dāng)x<0時(shí)，m（x）O時(shí)，m（x）>m（0），即x-sinx>0.

設(shè)n（x）=e x-a，則h'（x）=2m（x）.n（x），

（l）當(dāng)a≤0時(shí)，ex-a>0恒成立.

則當(dāng)x <0時(shí)，h'（x）<0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，h'（x） >o，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x=0時(shí)有最小值矗（0）=-2a-1，無極大值.

（2）當(dāng)a>0時(shí)，令ex-a=0得x=Ina.

①若Ina <0，即O0，所以h（x）在（-∞，Ina）上單調(diào)遞增；當(dāng)Ina0，故h'（x）<0，故h（x）在（Ina，0）上單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，m（x）>0，n（x）>0，故h'（x）>0，因此h（x）在（O，+∞）上單調(diào)遞增；因此x=Ina時(shí)，h（x）取到極大值為h（Ina），x=0時(shí)，h（x）取到極小值-2a-1；

②若Ina=0，即a=l，當(dāng)x<0時(shí)，m（x）0，當(dāng)x>0時(shí)，m（x）>0，n（x）>0，h'（x）>o，因此h（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；無極值；

③若Ina >O，即a>1，當(dāng)x<0時(shí)，m（z）<0，n（x）<0，故h'（x）>0；當(dāng)0Ina時(shí)，h'（z）>0，h（x）在（Ina，+∞）上單調(diào)遞增；因此x=0時(shí)，h（x）取到極大值，h（0）=-2a-1.x=lna時(shí)，h（x）取得極小值為h（Ina）.

綜上（1）、（2）分類，便可得最終答案.

評(píng)注：細(xì)思本題，仍然考查處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的通性通法，本題能作為壓軸題，重點(diǎn)在于考查數(shù)學(xué)的基本功，如因式分解、分類討論等，只不過對(duì)這些通性通法的考查，換了復(fù)雜的的函數(shù)背景.我們?cè)谌粘５膹?fù)習(xí)過程中，應(yīng)該注入研究性思維，尋找萬變不離其宗之“宗”，揭示問題的本質(zhì)，例如本題涉及的切線問題，核心在于抓住切點(diǎn)建方程，那么由切點(diǎn)引發(fā)的結(jié)論是什么？切點(diǎn)可得切線斜率、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上，利用關(guān)于切點(diǎn)的這三條，關(guān)于切線甚至于較難的問題我們也會(huì)迎刃而解，對(duì)于（Ⅱ）問，我們要始終確信，在我們應(yīng)該掌握的知識(shí)范疇內(nèi)，只要研究導(dǎo)數(shù)，就一定是研究導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，這樣我們也就清楚了單調(diào)性、極值點(diǎn)的問題了，對(duì)于分類討論，是因需要才討論，不是去欣賞怎樣討論對(duì)不對(duì)的問題，而是解決為什么要討論的問題，很明顯，弄清楚了兩個(gè)因式m（x），n（x）與0的關(guān)系，我們得到了關(guān)于參數(shù)a的一級(jí)討論點(diǎn)“0”，但又無法區(qū)分兩因式與0的關(guān)系，需要比較Ina與0的大小，從而得到了關(guān)于參數(shù)a二級(jí)討論點(diǎn)“1”，綜合起來，即對(duì)以的討論分為a≤0，O1.這就是規(guī)范的思維總結(jié).

規(guī)范、靈活的數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成，對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)大題的解決起到了至關(guān)重要的作用.我認(rèn)為在平常學(xué)習(xí)中應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

1.數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成，需要做到“整理、思考、練習(xí)”，步步為營(yíng).平時(shí)多問自己幾個(gè)為什么，加強(qiáng)對(duì)解題步驟中細(xì)節(jié)的揣摩，將其思想融人心中，才能在舊題型上做到既快又準(zhǔn)，在新題型上有所突破.

2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，問題的深入也是思維的升華，不斷地自問自答、平時(shí)多獨(dú)立思考、總結(jié)并積累自己的解題模式并加以必要的練習(xí)，才能在考場(chǎng)上游刃有余.

如果說數(shù)學(xué)考試是一場(chǎng)思維的博弈，那函數(shù)與導(dǎo)數(shù)便是其最精彩的部分，愿我們一起靜下心來，去感悟數(shù)學(xué)思維的魅力，在探究數(shù)學(xué)的過程中找到自己的樂趣！