■河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 郭宏彬

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、零點(diǎn)、極值、最值等),以及利用含參函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍是近幾年高考的熱點(diǎn)。通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減,尋找與函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)個(gè)數(shù)等的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵。本文通過(guò)對(duì)2 0 1 8年的一道高考題進(jìn)行一題多解、一題多變的詳細(xì)剖析,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、題目及分析

例題 (2 0 1 8年全國(guó)卷Ⅱ理2 1)已知函數(shù)f(x)=ex-a x2。

(Ⅰ)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1;

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),求a。

分析：(Ⅰ)常規(guī)思路是求導(dǎo),無(wú)法求解時(shí)二次求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求解問(wèn)題時(shí)注意導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著導(dǎo)函數(shù)的增減,導(dǎo)函數(shù)的增減對(duì)應(yīng)著二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)。一般導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)無(wú)法判斷時(shí)可以利用二階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的增減情況及最大(小)值,進(jìn)而比較導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)情況,最后確定原函數(shù)的增減情況。(Ⅱ)確定原函數(shù)的增減情況,再結(jié)合極值利用零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)唯一存在定理討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

二、一題多解

(Ⅰ)方法一:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=exx2,f'(x)=ex-2x,令f″(x)=ex-2=0,得x=l n2,即x＞l n2時(shí)f'(x)為增函數(shù),x＜l n2時(shí)f'(x)為減函數(shù),所以x=l n2時(shí),f'(x)min=2-2 l n2＞0,所以原函數(shù)為R上的增函數(shù),即當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥f(0)=1。

方法二:當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)e-x-1≤0。

令g(x)=(x2+1)e-x-1,則g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x。

當(dāng)x≠1時(shí),g'(x)＜0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

而g(0)=0,故當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≤0,即f(x)≥1。

方法三:當(dāng)a=1時(shí),即證,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-x2≥1,由于f'(x)=ex-2x≥ex-2x＞0(因?yàn)閤≥1時(shí)ex-1≥x且0≤x＜1時(shí)ex-1≥x),所以原函數(shù)為R上的增函數(shù),即當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥f(0)=1。

(Ⅱ)方法一:當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)=ex-2a x≥ex-2a x≥0,此時(shí)f(x)≥f(0)=1恒成立,即f(x)在0,+∞()上無(wú)零點(diǎn),當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在0,+∞()上只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件為f(x)=ex-a x2=0有且只有一根,圖像相切,則可得在0,+∞()上有且只有可知

方法二:構(gòu)造函數(shù)h(x)=1-a x2e-x。

(1)當(dāng)a≤0時(shí),h(x)＞0,h(x)沒(méi)有零點(diǎn);

(2)當(dāng)a＞0時(shí),h'(x)=a x(x-2)e-x。

當(dāng)x∈(0,2)時(shí),h'(x)＜0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

由(Ⅰ)知,當(dāng)x＞0時(shí),ex＞x2。

故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn),因此h(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)。

方法三:當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)=ex-2a x≥ex-2a x≥0,此時(shí)f(x)≥f(0)=1恒成立,即f(x)在0,+∞()上無(wú)零點(diǎn)。

當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在0,+∞()上只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件為f(x)=ex-a x2=0有有且只有一根。

點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,緊緊圍繞導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的增減對(duì)應(yīng)關(guān)系處理此類問(wèn)題才不容易出錯(cuò)。靈活把握導(dǎo)數(shù)為零與函數(shù)極值最值之間的關(guān)系,正確合理地應(yīng)用分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分離參數(shù)等思想方法是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

三、一題多變

變式1 試討論函數(shù)f(x)=ex-a x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：(1)當(dāng)a＜0時(shí),f'(x)=ex-a＞0,f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=1-a＞0,以此時(shí)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)

(2)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex恒大于0,函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)。

(3)當(dāng)0＜a＜e時(shí),f(x)min=f(l na)=a(a-2 l na)＞0,函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng):本題隨著a的變化詳細(xì)地討論了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),要想很好地根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,可以在平時(shí)做題中對(duì)參數(shù)變化時(shí)零點(diǎn)的變化情況多加對(duì)比分析。

變式2 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍。

解析：(1)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,則f'x()=2ae2x+a-2( )ex-1=

①當(dāng)a≤0時(shí),aex-1＜0,2 ex+1＞0。從而f'x()＜0恒成立。f x()在R上單調(diào)遞減。

②當(dāng)a＞0時(shí),令f'x()=0,從而aex-1=0,得x=-l na。f(x)在(-∞,-l na)上單調(diào)遞減,在(-l na,+∞)上單調(diào)遞增。

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(-∞,-l na)上單調(diào)遞減,在(-l na,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f x()在R上單調(diào)遞減,故f x()在R上至多有一個(gè)零點(diǎn),不滿足條件。當(dāng)a＞0時(shí),f(x)min=g a()在0,+∞()上單調(diào)遞增。而g1()=0,故當(dāng)0＜a＜1時(shí),g a()＜0。當(dāng)a=1時(shí),g a()=0。當(dāng)a＞1時(shí),g a()＞0。

點(diǎn)評(píng):同一個(gè)知識(shí)點(diǎn),高考?？汲Ｐ?。對(duì)于含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,需要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行合理的分類,需要著重分析隨著參數(shù)的變化,導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)變化情況。仔細(xì)挖掘高考題所要考查的知識(shí)點(diǎn),培養(yǎng)自己分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

四、小結(jié)

有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題,在近幾年的全國(guó)高考題中都作為壓軸題出現(xiàn),難度較大。通過(guò)上面的分析,不管是判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還是求參數(shù)的取值范圍,所涉及的知識(shí)無(wú)非就是函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、零點(diǎn)唯一存在定理及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等,先把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為方程f(x)=0或f(x)=m的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)畫出y=f(x)及y=0(y=m)的圖像,判斷兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn),進(jìn)而求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或參數(shù)的取值范圍。