買酒還瓶

興趣數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)課上，老師向我們推薦了一個(gè)題目：

某飯店啤酒2元一瓶，2個(gè)空瓶或4個(gè)瓶蓋均可換1瓶啤酒，問(wèn)10元錢可喝幾瓶啤酒？

感覺此題只要有足夠的耐心、細(xì)心，一定能搞定.下面是我的求解過(guò)程.

第1步：10元買5瓶啤酒，喝完后，此時(shí)共喝酒5瓶，有5個(gè)空瓶和5個(gè)瓶蓋.

第2步：4個(gè)空瓶換2瓶啤酒，4個(gè)瓶蓋換1瓶啤酒后，剩下1個(gè)空瓶和1個(gè)瓶蓋，新增3瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒8瓶，新增3個(gè)空瓶，3個(gè)瓶蓋.加上原來(lái)剩下的1個(gè)空瓶和1個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有4個(gè)空瓶和4個(gè)瓶蓋.

第3步：4個(gè)空瓶換2瓶啤酒，4個(gè)瓶蓋換1瓶啤酒后，新增3瓶啤酒.沒有原來(lái)剩下的空瓶和瓶蓋.喝完后，此時(shí)共喝酒11瓶，新增3個(gè)空瓶，3個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有3個(gè)空瓶和3個(gè)瓶蓋.

第4步：2個(gè)空瓶換1瓶啤酒后，剩下1個(gè)空瓶和3個(gè)瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒12瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.加上原來(lái)剩下的1個(gè)空瓶和3個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有2個(gè)空瓶和4個(gè)瓶蓋.

第5步：2個(gè)空瓶換1瓶啤酒，4個(gè)瓶蓋換1瓶啤酒后，新增2瓶啤酒.沒有原來(lái)剩下的空瓶和瓶蓋，喝完后，此時(shí)共喝酒14瓶，新增2個(gè)空瓶，2個(gè)瓶蓋.此時(shí)共有2個(gè)空瓶和2個(gè)瓶蓋.

第6步：2個(gè)空瓶換1瓶啤酒，剩下2個(gè)瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒15瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.加上原來(lái)剩下的2個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有1個(gè)空瓶和3個(gè)瓶蓋.

若飯館老板不允許賒賬，最多能喝15瓶酒.整個(gè)過(guò)程如圖1所示：

數(shù)一下▲可以看出：若飯館老板不允許賒賬，最多能喝15瓶酒.

若飯館老板允許賒賬呢？

先向飯館老板賒一個(gè)空瓶，加上原來(lái)剩下的1個(gè)空瓶和3個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有2個(gè)空瓶和3個(gè)瓶蓋.

第7步：2個(gè)空瓶換1瓶啤酒后，剩下3個(gè)瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒16瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.加上原來(lái)剩下3個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有1個(gè)空瓶和4個(gè)瓶蓋.

第8步：4個(gè)瓶蓋換1瓶啤酒，剩下1個(gè)空瓶，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒17瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.此時(shí)共有2個(gè)空瓶和1個(gè)瓶蓋.

第9步：2個(gè)空瓶換1瓶啤酒后，剩下1個(gè)瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒18瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.加上原來(lái)剩下1個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有1個(gè)空瓶和2個(gè)瓶蓋;再向飯館老板賒2個(gè)瓶蓋，加上原來(lái)剩下的2個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有1個(gè)空瓶和4個(gè)瓶蓋.

第10步：4個(gè)瓶蓋換1瓶啤酒，剩下1個(gè)空瓶，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒19瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.此時(shí)共有2個(gè)空瓶和1個(gè)瓶蓋.

第II步：2個(gè)空瓶換1瓶啤酒后，剩下1個(gè)瓶蓋，新增1瓶啤酒.喝完后，此時(shí)共喝酒20瓶，新增1個(gè)空瓶，1個(gè)瓶蓋.加上原來(lái)剩下1個(gè)瓶蓋，此時(shí)共有1個(gè)空瓶和2個(gè)瓶蓋;正好把1個(gè)空瓶、2個(gè)瓶蓋還給飯館老板，手中再無(wú)資產(chǎn)，也無(wú)欠款，兩清，完美解決.

綜上所述，若飯館老板允許賒賬，最多能喝20瓶酒.整個(gè)過(guò)程如圖2所示：

問(wèn)題雖然得以解決，但卻解決得不夠漂亮.思考過(guò)程復(fù)雜反復(fù)，一不留神就會(huì)出錯(cuò)，能否有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的解決方法呢？注意到在能賒賬的情況下，10元錢恰好能喝20瓶酒，若能說(shuō)明2元錢能喝4瓶啤酒，也就能說(shuō)明10元錢恰好能喝20瓶酒了.去柜臺(tái)對(duì)老板說(shuō)：“老板，拿4瓶啤酒.”喝完后剩4個(gè)空瓶，4個(gè)瓶蓋，此時(shí)欠老板4瓶啤酒錢.但4個(gè)空瓶頂賬2瓶啤酒，4個(gè)瓶蓋頂賬1瓶啤酒，所以相當(dāng)于還了老板3瓶啤酒錢.這時(shí)手里空空如也，既沒有空瓶，也沒有瓶蓋，但還欠老板1瓶啤酒錢，這時(shí)給老板2元錢即可，也就是說(shuō)，2元錢能喝4瓶啤酒，問(wèn)題得以簡(jiǎn)化解決.

問(wèn)題到此結(jié)束了么？我忽然想起買櫝還珠的故事，一下激發(fā)了我的靈感.事實(shí)上我們消費(fèi)的只是酒水，空瓶和瓶蓋我們是不需要的.這樣來(lái)看的話，因?yàn)橐黄科【?元，2元錢能購(gòu)買的所有價(jià)值包括了一瓶酒水、一個(gè)空瓶和一個(gè)瓶蓋.因?yàn)閮蓚€(gè)空瓶可換一瓶啤酒，也就是說(shuō)一個(gè)空瓶的價(jià)值相當(dāng)于1元錢.4個(gè)瓶蓋可換1瓶啤酒，也就是說(shuō)一個(gè)瓶蓋的價(jià)值相當(dāng)于0.5元錢.用1瓶啤酒的2元錢，減去一個(gè)空瓶的1元錢，一個(gè)瓶蓋的0.5元錢，剩下的一瓶酒水的實(shí)際價(jià)值是0.5元錢.因?yàn)槲覀冎幌M(fèi)酒水，10÷0.5=20，所以我們最多能喝20瓶啤酒.

至此，問(wèn)題可稱得上得以完美解決.

指導(dǎo)老師王懷興評(píng)語(yǔ) 從不允許賒賬最多能喝15瓶啤酒的推理中，足見楊杰同學(xué)思維的細(xì)膩和縝密，且能從傳統(tǒng)文化買櫝還珠的故事中獲得靈感，可見楊杰同學(xué)文理兼修，值得鼓勵(lì).