例析矢量合成與分解在解題中的應(yīng)用
——高考試題研究

黑龍江 沙希文

矢量的合成法與分解法是高中物理最重要的解題方法之一，矢量的合成與分解要遵循平行四邊形定則，通過作矢量圖來揭示物理過程、物理規(guī)律，具有形象直觀、簡單明了等優(yōu)點。高中物理從位移和路程的異同開始區(qū)分矢量和標(biāo)量，并逐步引入了矢量的合成與分解法，之后又通過對速度、加速度，力和運動的合成與分解逐漸把這一方法延伸開來，接下去是電場強度和磁感應(yīng)強度矢量問題的解決，高考中經(jīng)常出現(xiàn)此類題目。現(xiàn)以具體的高考題為例，剖析矢量的合成與分解法在高考解題中的應(yīng)用。

一、共點力的合成與分解

共點力平衡問題是力學(xué)的重點知識，能夠很好地考查合成與分解，在歷屆高考試題中都會出現(xiàn)，力的分解，動態(tài)圖解，正交分解等問題都是關(guān)于共點力的合成問題。

【例1】(2018·天津卷第7題)明朝謝肇淛的《五雜組》中記載：“明姑蘇虎丘寺塔傾側(cè)，議欲正之，非萬緡不可。一游僧見之曰：無煩也，我能正之?！庇紊刻鞂⒛拘◤乃韮A斜一側(cè)的磚縫間敲進去，經(jīng)月余扶正了塔身。假設(shè)所用的木楔為等腰三角形，木楔的頂角為θ，現(xiàn)在木楔背上加一力F，方向如圖1所示，木楔兩側(cè)產(chǎn)生推力FN，則

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圖1

A.若

F

一定，

θ

大時

F

N

大

B.若F一定，θ小時FN大

C.若θ一定，F(xiàn)大時FN大

D.若θ一定，F(xiàn)小時FN大

【答案】BC

圖2

【解題指導(dǎo)】由于木楔處在靜止?fàn)顟B(tài)，故可將力F沿與木楔的斜面垂直且向上的方向進行分解，根據(jù)平行四邊形定則，畫出力F按效果分解的圖示。并且可據(jù)此求出木楔對塔兩邊產(chǎn)生的壓力。對力進行分解時，一定要分清力的實際作用效果的方向如何，再根據(jù)平行四邊形定則或三角形定則進行分解即可。

【例2】(2017·全國卷Ⅱ第16題)如圖3，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運動。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運動。物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為

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圖3

【答案】C

【解題指導(dǎo)】此題考查了正交分解法在解決平衡問題中的應(yīng)用問題；關(guān)鍵是列出兩種情況下水平方向的平衡方程，聯(lián)立即可求解。

二、庫侖力和磁場力的合成與分解問題

庫侖力和磁場力的合成與分解也和力一樣遵守平行四邊形定則，在電場和磁場力的考查中需要學(xué)生的綜合能力，需要考慮電性，距離的大小，以及導(dǎo)線間的作用力方向等，比單純考查力的合成與分解，更能看出學(xué)生的能力。

【例3】(2018·全國卷Ⅰ第16題)如圖4，三個固定的帶電小球a、b和c，相互間的距離分別為ab=5 cm，bc=3 cm，ca=4 cm。小球c所受庫侖力的合力的方向平行于a、b的連線。設(shè)小球a、b所帶電荷量的比值的絕對值為K，則

( )

圖4

【答案】D

【解析】畫出c的受力圖如圖5兩種情況，從力的方向可以判斷a、b的電荷異號。

圖5

【解題指導(dǎo)】此題以庫侖定律為基礎(chǔ)考查矢量合成思想，關(guān)鍵還是得判斷力的方向，根據(jù)條件正確畫出力的方向，根據(jù)矢量合成和幾何關(guān)系找出力的關(guān)系，再根據(jù)庫侖定律求出電荷量的比值。

【例4】(2017·全國卷Ⅰ第19題)如圖6，三根相互平行的固定長直導(dǎo)線L1、L2和L3兩兩等距，均通有電流I，L1中電流方向與L2中的相同，與L3中的相反。下列說法正確的是

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圖6

A．L1所受磁場作用力的方向與L2、L3所在平面垂直

B．L3所受磁場作用力的方向與L1、L2所在平面垂直

【答案】BC

圖7 圖8 圖9

【解題指導(dǎo)】根據(jù)左手定則和右手螺旋定則可以得到兩個電流之間的相互作用力的規(guī)律：同向電流相互吸引，反向電流相互排斥。根據(jù)力的平行四邊形定則可以進行合成。

三、磁感應(yīng)強度的合成與分解問題

( )

圖10

【答案】AC

【例6】(2017·全國卷Ⅲ第18題)如圖11，在磁感應(yīng)強度大小為B0的勻強磁場中，兩長直導(dǎo)線P和Q垂直于紙面固定放置，兩者之間的距離為l。在兩導(dǎo)線中均通有方向垂直于紙面向里的電流I時，紙面內(nèi)與兩導(dǎo)線距離均為l的a點處的磁感應(yīng)強度為零。如果讓P中的電流反向、其他條件不變，則a點處磁感應(yīng)強度的大小為

( )

【答案】C

圖12 圖13

【解題指導(dǎo)】無限長通電導(dǎo)線在周圍產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度與導(dǎo)線中的電流大小成正比，與到導(dǎo)線的距離成反比。電流周圍磁場方向可以用安培定則判斷，畫出磁感應(yīng)強度的方向，利用平行四邊形定則進行計算。

四、運動的合成與分解問題

運動的合成與分解，實際是描述運動的物理量的合成與分解，涉及速度、位移和加速度的合成與分解，合成與分解是解決平拋運動的方法，也是解決復(fù)雜運動問題的基本方法。

( )

A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍

【答案】A

【解題指導(dǎo)】在斜面上平拋，當(dāng)落回斜面時，斜面的底角就為位移與水平方向的夾角，根據(jù)水平和豎直位移公式，合成平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系可以很好地找到速度大小關(guān)系。

【例8】(2015·全國卷Ⅱ第24題)如圖14，一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子在勻強電場中運動，A、B為其運動軌跡上的兩點。已知該粒子在A點的速度大小為v0，方向與電場方向的夾角為60°；它運動到B點時速度方向與電場方向的夾角為30°。不計重力。求A、B兩點間的電勢差。

圖14

【解析】設(shè)帶電粒子在B點的速度大小為vB，粒子在垂直于電場方向的分速度不變，即

vBsin30°=v0sin60°

設(shè)A、B兩點間的電勢差為UAB，由動能定理有

【解題指導(dǎo)】本題利用了速度的分解，根據(jù)水平和豎直兩個分運動的分解，再根據(jù)加速度關(guān)系可知，豎直方向重力不計，所以速度不變，可以求出末速度，之后才能利用動能定理把電勢差求出。所以本題的關(guān)鍵還是矢量的合成運算。解題指導(dǎo)：對于繩連物體的運動，把物體的實際速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的兩個分速度。