陳友明　潘冰冰　張訓(xùn)水　杜次元

摘要：為了快速并準確地計算鉆孔群地下土壤和鉆孔內(nèi)流體的溫度，在現(xiàn)有的模擬豎直埋管長期換熱的模型基礎(chǔ)上，提出了一種新的計算豎直地埋管鉆孔域溫度響應(yīng)的響應(yīng)因子——單位矩形脈沖熱負荷作用下熱響應(yīng)函數(shù)（δ函數(shù)）.通過將δ函數(shù)與快速傅里葉變換相結(jié)合來提高δ函數(shù)的模擬速度，將該響應(yīng)因子及算法與g函數(shù)進行了精度和計算速度的對比.結(jié)果表明：該響應(yīng)因子及算法不僅與g函數(shù)有相同的計算精度，而且計算速度有顯著的提高，當模擬5×8的鉆孔群30 a的溫度響應(yīng)時計算時間不到90 s.

關(guān)鍵詞：豎直埋管換熱器；單位矩形熱脈沖；δ函數(shù)；快速傅里葉變換；逐時模擬

中圖分類號：TK521.2文獻標志碼：A

A Thermal Response Factor Simulating

Vertical Ground Heat Exchanger of GCHP Systems

CHEN Youming， PAN Bingbing， ZHANG Xunshui， DU Ciyuan

（College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha410082， China ）

Abstract：To quickly and accurately compute the borehole fluid and ground temperature， a new thermal response factors （referred as δfunction） was proposed to calculate the ground temperature response of bore field to a unit rectangular heat pulse. The proposed model is based on the existing models for the long δterm simulation of vertical heat exchanger. In this paper， the δfunction was combined with the fast Fourier transform to improve the computation speed of the δfunction. Then， the response factor and algorithm were compared with the δ function in terms of accuracy and computation time. The results show that when combined with the fast Fourier transform， the gfunction not only has the same precision with that of the gfunction， but also has significantly faster computation speed than that of the gfunction. It only spends shorter than 90 seconds to complete the 30 year hourly simulation of a 5×8 bore field.

Key words：vertical ground heat exchanger； rectangular heat pulse； δfunction； fast Fourier transform； hourly simulation

土壤源熱泵系統(tǒng)作為一種高效、節(jié)能、清潔的空調(diào)系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用在住宅和商業(yè)建筑中，地埋管換熱器與周圍土壤間傳熱研究是土壤源熱泵技術(shù)研究與應(yīng)用的關(guān)鍵.豎直埋管換熱器傳熱性能研究也是土壤源熱泵系統(tǒng)研究與應(yīng)用的基礎(chǔ)，地埋管土壤源熱泵設(shè)計的最主要任務(wù)是保證土壤源熱泵在整個生命周期內(nèi)U型管內(nèi)循環(huán)介質(zhì)的溫度都在設(shè)計要求范圍內(nèi)，這要求對地埋管長期換熱性能進行模擬分析.但是，現(xiàn)有的計算U型管內(nèi)溫度響應(yīng)的方法普遍存在計算速度過慢的問題，不適用于進行長達數(shù)十年的傳熱模擬分析.因此對于地埋管技術(shù)的應(yīng)用和經(jīng)濟優(yōu)化而言，開發(fā)更加有效實用的地埋管傳熱分析工具顯得尤為重要.

對豎直埋管換熱性能的分析，通常以鉆孔壁為邊界將傳熱分為兩個計算區(qū)域：鉆孔內(nèi)區(qū)域按照穩(wěn)態(tài)傳熱過程計算，鉆孔外區(qū)域看作非穩(wěn)態(tài)傳熱計算.兩個區(qū)域分別求得鉆孔內(nèi)熱阻和鉆孔壁溫度響應(yīng)，從而得到鉆孔內(nèi)流體的溫度響應(yīng).

現(xiàn)有的模型主要以數(shù)值方法和解析方法為主，基于g函數(shù)法分析土壤源熱泵地埋管的換熱性能的算法是目前使用最多的方法.早期的豎直埋管換熱傳熱模型主要以“線熱源”[1-2]模型或者“柱熱源”[3-4]為主，這類模型基于無限長熱源的假定且忽略了軸向的熱流，因此不能分析長期傳熱的模擬.Eskilson[5]考慮軸向熱流和地面定溫條件的影響，提出有限長熱源模型，并得出了單鉆孔地埋管換熱器在階躍熱流作用下的溫度響應(yīng)（即g函數(shù)）.由于模型中g(shù)函數(shù)是由數(shù)值方法得出，需先得出不同埋管形式的g函數(shù)，計算耗時且靈活性差.Zeng等[6]在Eskilson算法基礎(chǔ)上得到了g函數(shù)的解析表達式，然而此模型解析式是二重數(shù)值積分形式，計算速度慢.Lamarche和Beauchamp等[7]改進了g函數(shù)解析式得到了一維積分形式，同時改進了計算精度和速度.杜次元[8]提出了改進g函數(shù)的解析式，在滿足計算精度的同時進一步提高了計算效率，但是改進的g函數(shù)用于鉆孔群長期的傳熱模擬時耗時較多，仍舊不能滿足工程計算的要求.

本文在改進g函數(shù)[8]的基礎(chǔ)上提出了單位矩形脈沖熱流作用下無量綱溫度響應(yīng)函數(shù)（即δ函數(shù)），引入了快速傅里葉變換算法（FFT算法）[9]來改造δ函數(shù)中的卷積.δ函數(shù)與快速傅里葉變換相結(jié)合的方法用于計算土壤和鉆孔壁溫度響應(yīng)時，在滿足土壤源熱泵系統(tǒng)設(shè)計模擬精度的同時極大地提高了計算速度.

1基于矩形脈沖熱流的響應(yīng)因子

1.1改進的g函數(shù)

為了導(dǎo)出單位矩形脈沖熱流作用下的熱響應(yīng)因子，需要對豎直地埋管有限長線源g函數(shù)進行改造.在有限長線源模型的基礎(chǔ)上，通過對熱響應(yīng)因子g函數(shù)采用調(diào)換積分次序的方法可導(dǎo)出積分范圍為[0，F(xiàn)o]，任意位置（r，z）的土壤溫度g函數(shù)解析式[8]，其表達式如下：

g（β，η，F(xiàn)o）=∫Fo0g′Fo（β，η，F(xiàn)o）dFo=

∫Fo0exp （-β2/4Fo）4Fo[2-erfc（1-η2Fo）+

erfc（1+η2Fo）-2erfc（η2Fo）]dFo （1）

式中：Fo=ατ/H2表示τj時刻的傅里葉時間間隔；α為土壤熱擴散系數(shù)；τ為時間；β=r/H；η=z/H；r為距鉆孔中心的徑向距離；z為沿鉆孔的深度；H為鉆孔深度.當r=rb時，公式（1）表示鉆孔壁溫度響應(yīng)的g函數(shù)解析式，且式中βb=rb/H.該調(diào)換積分次序的方法在文獻[11]中也得到應(yīng)用.

單鉆孔壁中點（r=rb，η=0.5）溫度的g函數(shù)表達式為：

b=g（βb，0.5，F(xiàn)o）=∫Fo0g′Fo（βb，0.5，F(xiàn)o）dFo=

∫Fo0exp （-β2b/4Fo）4Fo[2-3erfc（0.52Fo）+

erfc（1.52Fo）]dFo （2）

單鉆孔壁（r=rb）平均溫度g函數(shù)表達式為：

b=（βb，F(xiàn)o）=∫Fo0′Fo（βb，F(xiàn)o）dFo=

∫Fo0exp （-β2/4Fo）4Fo[2-4erfc（12Fo）+

2erfc（1Fo）-A（Fo）]dFo （3）

式中：A（Fo）=2Fo[exp （-1Fo）-4exp （-14Fo）+3]/π.

1.2單位矩形脈沖熱流作用下熱響應(yīng)因子——δ函數(shù)

土壤源熱泵系統(tǒng)負荷是隨時間變化的，對應(yīng)的

地埋管換熱器熱流也是隨時間變化的.為了便于分析，用圖1所示的一系列矩形脈沖熱流來近似表示隨時間變化的熱負荷，矩形脈沖寬度為模擬的時間步長Δτ，通常選用一個小時作為時間步長，且τ<0時q=0.

利用g函數(shù)方法（即疊加原理[10，12]）得到單個鉆孔在任意變負荷作用下τj時刻的任意位置（r，z）土壤溫度響應(yīng)為：

T（r，z，τj）-T0=12πk∑ji=1[q（τi）-

q（τi-1）]g（β，η，F(xiàn)oj-Foi-1） （4）

式中：Foi=ατi/H2；k為土壤導(dǎo)熱系數(shù).

如圖2所示，應(yīng)用矩形脈沖熱流的概念，任一作用時間[τi-1，τi]內(nèi)的單個矩形脈沖熱流可以表示為兩個階躍熱流的疊加.由此可知，在任一作用時間[τi-1，τi]內(nèi)的矩形脈沖熱流作用下的τj時刻，任意位置（r，z）土壤溫度響應(yīng)表示式為：

T（r，z，τj）-T0=

12πkq（τi）[g（β，η，F(xiàn)oj-Foi-1）-

g（β，η，F(xiàn)oj-Foi）]（j≥i） （5）

定義時間間隔為Δτ（Δτ=τi-τi-1）的矩形脈沖熱流作用下無量綱溫度響應(yīng)函數(shù)為響應(yīng)因子δ函數(shù)，其表達式為：

δ（β，η，F(xiàn)o）=g（β，η，F(xiàn)o）-g（β，η，F(xiàn)o-ΔFo）=

∫ΔFo0g′Fo（β，η，F(xiàn)o-τ）dτ （6）

式中：ΔFo（ΔFo=Foi-Foi-1=Δτ·α/H2）為傅里葉時間間隔，表1中列出了兩種土壤種類對應(yīng)的ΔFo取值.

3）當模擬鉆孔數(shù)目多和模擬時間跨度大時，無論g函數(shù)還是δ函數(shù)，采用CTD的計算速度都不夠理想.通過δ函數(shù)與FFT變換相結(jié)合，顯著提升了δ函數(shù)的模擬計算速度，完成40孔30 a的地埋管換熱模擬只需要不到90 s的時間.

4結(jié)論

1）本文提出了豎直地埋管在單位矩形脈沖熱負荷作用下的熱響應(yīng)因子——δ函數(shù).δ函數(shù)有2個顯著特點：①δ函數(shù)的積分區(qū)間遠遠小于g函數(shù)的積分區(qū)間；②用δ函數(shù)進行逐時模擬時，逐時熱負荷不分解為兩個階躍熱負荷的疊加，可以直接用于計算土壤、鉆孔壁和流體溫度.因此與g函數(shù)相比，δ函數(shù)的計算速度得到了很大提升.

2）在相同綜合負荷條件下，比較不同響應(yīng)因子和算法模擬鉆孔內(nèi)流體溫度時的計算誤差.結(jié)果表明， δ函數(shù)和g函數(shù)都是有限長線源模型的精確解，有很高計算精度.積分區(qū)間也影響著響應(yīng)因子計算結(jié)果的精確性，積分區(qū)間越大時數(shù)值積分誤差越大.

3）本文將δ函數(shù)與快速傅里葉變換（FFT方法）相結(jié)合來代替溫度響應(yīng)計算的卷積，顯著加快了模擬計算速度.在模擬多鉆孔長時間運行的溫度響應(yīng)時，僅需要幾十秒～幾分鐘的時間，為土壤源熱泵鉆孔外溫度響應(yīng)逐時模擬提供了快速、準確的計算方法，對于土壤源熱泵系統(tǒng)設(shè)計優(yōu)化、能耗模擬等研究具有重要價值.

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