楊 昆

（1.興義民族師范學院， 貴州 興義 562400 2.貴州省人工智能與醫(yī)學診斷重點實驗室， 貴州 興義 562400）

1 引言

追蹤重建重離子碰撞的整個動力學演化過程的方法，這種方法稱為輸運理論（Transport Theory）。中能重離子反應(yīng)的反應(yīng)機制非常復(fù)雜，模擬中能重離子碰撞的動力學演化過程本質(zhì)上是處理一個在強相互作用和庫侖場下的有限量子多體體系的動力學過程，發(fā)展這種輸運理論有助于理解同位旋自由度和相關(guān)的物理量——同位旋矢量勢、核介質(zhì)內(nèi)同位旋相關(guān)的核-核（NN）截面和泡利阻塞等。量子多體體系的演化是一個十分復(fù)雜的過程，尤其是在費米能區(qū)重離子碰撞處于兩體碰撞占主導(dǎo)的高能重離子碰撞和以平均場耗散和泡利阻塞效應(yīng)占主導(dǎo)的低能重離子碰撞的過渡區(qū)域。任何想要描述中能重離子碰撞的理論模型都必須同時考慮到兩體碰撞、平均場和泡利不相容原理的作用，解決起來比較困難。

在過去的二十年里，中能重離子核反應(yīng)半經(jīng)典微觀輸運模型的發(fā)展取得了重要的進展。這些半經(jīng)典微觀輸運模型主要有兩類，Boltzmann-Uehling-Ulenbeck（BUU/VUU）模型[1]以及量子分子動力學（QMD）模型。[2-4]

BUU模型的理論基礎(chǔ)可追溯到描寫稀薄氣體粒子相空間分布函數(shù)隨時間演化的Boltzmann積分微分方程，[5]后來由 Nordheim、[6]Vehling和Uhlenbeck[7]等人在考慮量子效應(yīng)后對碰撞項做出了修正，還有一個修正來自于Vlasov[8]提出的漂移項。BUU模型綜合考慮了碰撞項和平均場效應(yīng)，通過數(shù)值求解BUU方程模擬核-核碰撞的時空演化。然而，BUU模型丟失了核子間的關(guān)聯(lián)和漲落，無法研究多體可觀測量，特別是無法處理中能重離子碰撞中十分重要的多重碎裂現(xiàn)象和團簇的形成。

由于BUU在計算多體觀察量時存在著上述困難，人們基于經(jīng)典分子動力學（CMD）方法，通過考慮了測不準原理和泡利阻塞原理而發(fā)展了能夠處理碎片形成問題的量子分子動力學（QMD）模型，每一個核子不再被看作點粒子，而是采用坐標和動量空間中具有有限寬度的高斯波包來描述。QMD模擬計算每次碰撞事件中N每個核子的運動軌跡，觀察的物理量則按事件進行統(tǒng)計平均，從而保留了部分漲落和多體效應(yīng)。

近年來QMD模型又有了很大的發(fā)展，比如考慮了核子反對稱化而發(fā)展的反對稱化分子動力學模型（AMD）。[9]AMD類似于QMD模型。在分子動力學模型中核子的空間波函數(shù)采用高斯波包描述，復(fù)雜的量子多體體系采用相空間分布函數(shù)方法處理得到系統(tǒng)的密度和動量分布，計算核子位置和動量的波包中心服從的正則方程模擬反應(yīng)系統(tǒng)的動力學演化過程。AMD模型與傳統(tǒng)的QMD模型相比，最根本的區(qū)別在于對描述每個核子的高斯波包進行了反對稱化的處理，本質(zhì)上引入了Pauli不相容原理，從而避免由于人為檢查碰撞事件的Pauli阻塞而引入的誤差。另外，通過考慮波包的彌散（Diffuse）和收縮（Shrink）效應(yīng)[10]而引入了塊之間的關(guān)聯(lián)，使得AMD/DS給出的重碎片多重性的分布更加合理，更有利于描述多重碎裂過程。

2 AMD模型

發(fā)展AMD模型最初的想法來自于完全反對稱化描述所有描述核子的高斯波包，這樣便能自然地處理Pauli不相容原理。波包質(zhì)心隨時間的演化可以從時間相關(guān)的變分原理導(dǎo)出，中能重離子碰撞的動力學過程就是量子多體系統(tǒng)隨時間 的演化過程。反應(yīng)道的量子分支則由動力學系統(tǒng)的隨機性加以處理。在AMD中不僅考慮了核子-核子碰撞效應(yīng)，還考慮了平均場中單粒子波函數(shù)的波包分裂。下面對AMD模型進行簡要描述，具體細節(jié)請參閱文獻。[9]

在AMD中，A-核子系統(tǒng)的波函數(shù)由包A個高斯波包的Slater行列式描述：

由于AMD中波函數(shù)反對稱化，波包矩心不再具有物理坐標的意義。即使相同自旋和同位旋的兩個波包在相空間中非常接近，也不能說它們表示的兩個核子在相空間中占據(jù)同一位置，因為核子必須自動地遵從Pauli不相容原理。只有矩心采用了物理坐標時，用高斯波包來描述核子才近似有效。在t=t0時刻具有真實物理坐標ri和動量pi的第i個核子在相空間中的密度分布可表示為：

總單體分布函數(shù)便為所有的fi求和。由相空間中密度分布函數(shù)可以得到系統(tǒng)的密度分布及其動量分布。

3 中能重離子碰撞核反應(yīng)過程模擬

AMD常被用于模擬中能重離子反應(yīng)動力學過程。應(yīng)用AMD理論計算的許多觀察量，如輕粒子和中等質(zhì)量碎片的多重性、能譜和角分布等，都與實驗符合得很好[14-18]。AMD模擬重離子核反應(yīng)動力學步驟包括初始化彈核、靶核和核子-核子的演化，根據(jù)AMD演化結(jié)果提取的每個核子的相空間分布。

3.1 AMD初始化

AMD理論模擬的第一步是初始化彈核和靶核。首先利用Skyrme-Hartree-Fock方法給出彈核與靶核的核子密度分布，利用Monta Caro隨機抽樣方法分別抽樣得到彈核與靶核的核子空間坐標，并通過4π空間立體角抽樣核子坐標的方向。然后基于抽樣得到的原子核密度分布，由費米氣體模型計算得到費米動量kF，利用Monta Caro方法從[0,kF]進行隨機均勻抽樣便得到核子動量的模，核子動量方向亦由4π空間立體角均勻抽樣。最后通過摩擦冷卻AMD波函數(shù)演化到的方法2000fm/c獲得每一時刻核子的狀態(tài)。摩擦冷卻波函數(shù)后得到的核子狀態(tài)經(jīng)Lorentz變化轉(zhuǎn)換到實驗室系后，可得到由核子及其坐標、動量和自旋為內(nèi)容的初始核子表。

采用摩擦冷卻方法，對彈核64Ni和靶核112Sn分別進行初始化。初始化后需要檢查演化得到的初始核的真實性和穩(wěn)定性。基態(tài)初始核的真實性一般是通過比較理論計算與實驗測量的結(jié)合能和電荷半徑等加以證實，而穩(wěn)定性則是觀察原子核內(nèi)核子的相空間分布并結(jié)合電荷半徑、平均結(jié)合能等隨時間的演化加以檢驗。下面以靶核112Sn為例加以說明。

初始核112Sn的結(jié)合能和均方根電荷半徑隨時間的演化如圖1所示。左圖所示的比結(jié)合能在200fm/c時刻后便不再劇烈變化，保持在8.3MeV/A左右，并與實驗測量值8.51367MeV/A[19]相近。右圖所示的均方根電荷半徑在100fm/c時刻后也沒有明顯的變化，保持在4.5fm左右，與實驗測量值4.5943±0.0018fm[20]非常接近。可見AMD采用的摩擦冷卻方法演化得到的初始核基態(tài)的性質(zhì)（結(jié)合能和均方根電荷半徑）與實驗測量值符合很好，且在0-2000fm/c寬時間尺度內(nèi)均沒有明顯的變化，說明該初始化原子核穩(wěn)定，可以作為中能核-核碰撞的靶核甚至是低能時形成復(fù)合核的初始核。研究發(fā)現(xiàn)，初始化核質(zhì)量數(shù)越大，其結(jié)合能和均方根電荷半徑隨時間的漲落越小，這反映了越大的原子核其平均場效應(yīng)越強。

圖1 AMD理論演化的初始核112Sn的比結(jié)合能和均方根電荷半徑隨時間的演化

初始化后還需要編寫程序檢查初始化原子核的相空間分布，圖2給出了90fm/c時刻112Sn原子核坐標空間中核子的分布。從圖中可以看出，所有核子都很穩(wěn)定地結(jié)合在一起，也沒有粒子蒸發(fā)和大塊團簇產(chǎn)生，分布比較合理。

圖2 坐標空間中112Sn原子核的核子分布

綜合考慮原子核比結(jié)合能和均方根電荷半徑，本研究將其與實驗數(shù)據(jù)很接近且粒子相空間分布比較合理的6個原子核作為初始核，在一定程度上比選取一個原子核作為初始核包含進了更多的漲落。當然，在彈核和靶核形成初始系統(tǒng)時，它們內(nèi)部核子在碰撞初態(tài)時的方向是隨機選取的。即使是相同的初始狀態(tài)，由于量子力學的概率本質(zhì)，核子-核子碰撞具有隨機性，因而系統(tǒng)演化的終態(tài)亦不相同。

3.2 AMD動力學演化

在構(gòu)建系統(tǒng)動力學演化初始狀態(tài)的時候，因為考慮到彈核和靶核之間的庫侖相互作用，會根據(jù)碰撞參數(shù)和入射靶核的能量而把兩個近似基態(tài)的碰撞核放在一定遠的地方，如相距15fm處。碰撞參數(shù)范圍包括0-12fm，基本上涵蓋了從中心碰撞到外圍周邊碰撞的所有核反應(yīng)類型。

AMD采用時間步長法模擬中能重離子核-核碰撞，始終逐個地對每一個核子進行演化和跟蹤。在步長為的時間內(nèi)所有的核子在相互作用勢下按照各自一定的軌跡運動，結(jié)束時則按照一定的演化規(guī)律進行動力學演化，反復(fù)執(zhí)行該過程直至動力學過程結(jié)束。本研究模擬了40AMeV64Zn+112Sn系統(tǒng)。采用了標準的Gogny相互作用。AMD計算考慮了庫侖相互作用的影響。波包寬度選取V=0.16fm-2。通過AMD計算后，得到了每一次核反應(yīng)事件中每一步長內(nèi)所有核子的位置、空間立體角、動量、能量和自旋構(gòu)成的粒子表。根據(jù)粒子表，可以編寫程序構(gòu)造成碎片。

AMD演化結(jié)果如圖3所示，這是一次典型的碰撞事件，展示了系統(tǒng)密度隨時間的演化。其中第一行為炮彈核和靶核的核子密度投影到反應(yīng)平面上隨時間的演化圖，而第二、三行分別是投影到反應(yīng)平面的質(zhì)子和中子密度隨時間的演化圖。隨著反應(yīng)的進行，炮彈核和靶核相互穿透，在t～50fm/c反應(yīng)時刻完全重疊，之后系統(tǒng)開始膨脹并經(jīng)歷多重碎裂過程。這里的多重碎裂與統(tǒng)計多重碎裂的描述有些不同，統(tǒng)計多重碎裂中系統(tǒng)膨脹和碎片形成均處于較低的Freeze-out密度。AMD模擬中大約在80fm/c左右發(fā)射核子。

圖3 40AMeV 64Zn+112Sn反應(yīng)系統(tǒng)的密度投影到反應(yīng)平面（x-z平面，z是束流方向）上隨時間的演化。反應(yīng)時間從0fm/c到200fm/c，彈核和靶核相距15fm的時刻作為時間零點。第一行是炮彈核和靶核的密度，第二、三行分別是中子和質(zhì)子的密度。等高線的標度為線性的，最小的獨立的圈代表核子。本次反應(yīng)的碰撞參數(shù)為3.97fm，觀察的區(qū)域大小為10fm×10fm。

從圖3模擬結(jié)果可以看出，中能重離子碰撞的物理圖像可用火球模型來表征。其中炮彈和靶核重疊區(qū)域的核子經(jīng)歷激烈的核子-核子相互作用，稱為中速（NN）源。而重疊部分以外的核子不再經(jīng)歷激烈的相互作用，這部分稱為類彈（PLF）源和類靶（TLF）源。NN源部分的演化是十分復(fù)雜的。在動力學演化早期，其被壓縮形成熱致密 核系統(tǒng)，核子-核子發(fā)生硬碰撞。在動力學演化后期，高溫高密的復(fù)合核將膨脹到極低密度，并經(jīng)由多重碎裂過程分解，形成碎片或團簇。經(jīng)歷碰撞后的PLF源僅受到較小的擾動，并以接近0.9倍炮彈的速度出射。它仍然是冷的，以至于能產(chǎn)生相當大的碎片。從N/Z比值來看，PLF的比值和炮彈的比值相近，因而可用于產(chǎn)生豐中子源。TLF源同樣也是冷的，碰撞后的速度約為0.1倍炮彈速度。PLF和TLF均是受激發(fā)的源，激發(fā)能可能來源于附加的表面能以及進入它們的少數(shù)核子的動能，這個能量并不按體積均勻分布，所以它們只能分裂為一個或幾個重碎片和若干核子。三個源（NN、PLF、TLF源）的性質(zhì)都具有強的碰撞參數(shù)依賴性，小碰撞參數(shù)表示碰撞程度激烈，而對于大碰撞參數(shù)碰撞程度則緩和一些。

4 結(jié)果討論

反對稱化分子動力學（AMD）模型采用反對稱化的高斯波包來描述核子，可以自然地引入Pauli不相容原理，求解量子多體系統(tǒng)隨時間的演化可用于模擬中能重離子動力學過程。本研究采用隨機摩擦冷卻方式演化獲得64Zn彈核和112Sn靶核的基態(tài)原子核分布，其結(jié)合能和均方根電荷半徑與實驗值保持一致。并對40AMeV64Zn+112Sn系統(tǒng)動力學過程進去模擬，獲得演化過程系統(tǒng)的密度分布，觀察到了演化中NN、TLF、PLF三個源的動力學過程。結(jié)果顯示，AMD模型可以較好地重現(xiàn)中能重離子核反應(yīng)動力學過程，可應(yīng)用于核物質(zhì)對稱能、液氣相變等前沿可以研究。