浙江金華第一中學(xué) 浙江金華 321000
在高中數(shù)學(xué)知識體系中,排列組合學(xué)習是非常重要組成部分,它不但在數(shù)學(xué)學(xué)習中具有重要作用,而且在實際生活中也有著較為廣泛的應(yīng)用范圍。在實際解題過程中,排列組合十分容易出現(xiàn)解題錯誤。為了保證解題質(zhì)量和效率,本文就排列組合題目的解題要點進行分析,以期提高高中生解答此類題目的效率。
排列組合不同于其他數(shù)學(xué)知識,其定義、概念比較簡單,學(xué)習時比較容易理解,但是在實際應(yīng)用過程中卻存在一定的難度,若是學(xué)生對此概念記憶不深刻或者應(yīng)用不熟練,就會導(dǎo)致解題錯誤[1]。就目前數(shù)學(xué)排列組合的學(xué)習內(nèi)容而言,很多學(xué)生對數(shù)學(xué)練習比較重視,往往忽略了基礎(chǔ)概念。基礎(chǔ)概念是學(xué)習數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),也是形成解題思路的前提。以排列組合中分類計數(shù)與分步計數(shù)為例,很多學(xué)生對這兩個定義內(nèi)容并未充分掌握,由于概念理解錯誤,導(dǎo)致無法求得正確答案。
在排列組合中,應(yīng)用加法原理與乘法原理進行解題較為常見。作為排列組合題目常用的解題方法,大多數(shù)學(xué)生對其并不夠重視,甚至無法明確加法原理與乘法原理應(yīng)用條件的差異性,在解題過程中無法判斷與之相適應(yīng)的解題方法,進而導(dǎo)致解題失敗。除此之外,還有一部分學(xué)生在解題時,雖然選對了解題方法,但是卻沒有得到正確的結(jié)論,這是對解題方法應(yīng)用不熟練所導(dǎo)致的。
高中數(shù)學(xué)排列組合相關(guān)知識在生活中的應(yīng)用比較廣泛,與實際生活有著極為密切的聯(lián)系。因此,求解排列組合題目,對培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用能力十分重要。通過排列組合解決實際問題,學(xué)生需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容建立解題模型,在此基礎(chǔ)上解決問題。然而,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型需要學(xué)生有較為完整的基礎(chǔ)知識體系,能夠準確把握對應(yīng)的解題方法。但是大多數(shù)高中生在這方面存在不足,往往無法通過建立數(shù)學(xué)模式進行答題。
在排列組合學(xué)習中,學(xué)生需要掌握基礎(chǔ)概念,明確解題思路,從而解決問題[2]。在日常學(xué)習中,學(xué)生應(yīng)該加強基礎(chǔ)概念的學(xué)習與記憶,在解題之前結(jié)合概念定義,確定解題思路。只有在深入了解基礎(chǔ)概念的前提下,才能保證解題過程的準確性,提高解題質(zhì)量。
例1:在一塊并排的10壟田地中,選擇兩壟分別種植A、B兩種作物,每種種一壟有利于農(nóng)作物生長。要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟,共有幾種不同選法?
首先,根據(jù)“A、B兩種作物的間隔不少于6壟”的要求,該條件不符合包含排列數(shù)組數(shù)的條件,因此可以采用分類分析方法進行解題。分析:當A在第一壟時,B有3種選擇;當A在第二壟時,B有2種選擇;當A在第三壟時,B有1種選擇;若AB位置交換,則共有12種選法。
加法原理與乘法原理在排列組合解題中具有十分重要的作用,屬于最基本解題方法。因為兩者之間的解題條件不同,解題思路與解題順序均不相同,所以二者存在較大差異。在實際解題過程中學(xué)生應(yīng)注意以下幾點:首先,判斷問題是哪一種排列組合問題,如排列問題、組合問題、混合問題;其次,根據(jù)問題條件,判斷問題應(yīng)該應(yīng)用哪種解決方法;最后,注意限定問題中的附加條件,避免重復(fù)解題。
例2:某施工現(xiàn)場使用四個彩燈一字排開作安全警戒提醒,每一個彩燈的顏色都不一樣,根據(jù)安全等級,最低可以亮一盞,最高亮四盞。根據(jù)排列組合原理,一共有多少種組合?
根據(jù)題意可知,這是簡單的排列組合問題,該問題可以采用加法原理進行解答。由于安全等級不同,亮燈的數(shù)量存在差異,因此,學(xué)生在此過程中應(yīng)考慮所有的排列組合類型。在最低安全等級的情況下,有4種方式;當亮兩個彩燈時,有12種;亮三個彩燈時,有24種;亮四個燈時,有24種。因此共有4+12+24+24=64種。
在實際解題過程中,由于無法將實際問題與相關(guān)理論結(jié)合在一起,使得學(xué)生的建模能力較弱,從而無法建模解決問題。這則需要學(xué)生通過大量的練習,掌握解題技巧,進而提高解題效率。
例3:從1、2、3...20這二十個數(shù)中取出三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列,這樣不同的等差數(shù)列有幾個?在解決這類問題時,學(xué)生需要根據(jù)實際問題結(jié)合排列組合的定義進行解題,這樣將降低解題難度。
總而言之,在高中數(shù)學(xué)排列組合相關(guān)知識點的學(xué)習過程中,學(xué)生除了要加強對基礎(chǔ)概念的理解以外,還應(yīng)結(jié)合排列組合的實際應(yīng)用進行分析。掌握排列組合解題方法,不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習效率,還而且能培養(yǎng)學(xué)生的實際應(yīng)用能力,有利于提高高中生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。